第2章 第12讲 实际问题中的函数模型（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“实际问题中的函数模型”专题，依据新课标要求和高考评价体系，梳理了指数、对数、幂函数等六种函数模型的应用，明确了函数图象刻画、已知模型求解、构建模型解决问题三大核心考点，通过考情分析指出与数学文化、社会热点结合的选择题为高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编+规律方法+核心素养”的备考设计，如以2025北京卷训练时间模型题为例，详解对数函数模型应用步骤，培养数学建模和数学运算素养。特设“规律方法总结”和“对点训练”，通过血药浓度图象分析、矩形造价优化等典型题，帮助学生掌握函数模型识别与应用技巧，教师可据此系统开展考点突破，提升复习效率。

第12讲　实际问题中的函数模型 第二章　函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y轴 x轴 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 × × × √ 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用． 考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现． 核心素养：直观想象、数学运算、数学建模． 1．六种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋(a为常数，a＞0) 2．三种函数模型性质比较 类别 函数模型 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的单调性 __________ __________ __________ 增长速度 ____________ ____________ 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与________接近平行 随x值增大，图象与________接近平行 随n值变化 而不同 [微提醒]　幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长速度的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． 幂函数y＝xn(n＞0)可以描述增长速度的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (3)不存在x0，使<x<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(　　) 2．(北师大版必修一P120习题第1题改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 解析　当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). 答案　B 3．(北师大版必修一P136例2改编)在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如表所示： x 0.50 1.09 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析　在直角坐标系中,描点连线画出图象(图略),观察图象知选D. 答案　D 4．(北师大版必修一P144复习题C组第1题改编)某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是(　　) 解析　∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，随着t的增大c的增长速度越来越快，c关于t的函数图象下凹．又后3年年产量保持不变，∴当3＜t≤6时，c随着t的增大保持固定的增长速度．故选A. 答案　A 5．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为____________元． 解析　因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的日利润最大时，当日售价为150元． 答案　150 考点一　用函数图象刻画变化过程　基础考点　自练自悟 1．如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是(　　) 解析　开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢．故选D. 答案　D 2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 解析　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求． 答案　D 3．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中正确的是(　　) A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 解析　从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确； 根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确； 服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确； 首次服用1单位该药物3小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． 答案　ABC 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案． 考点二　已知函数模型求解实际问题　重难考点　师生共研 (1)(2025·甘肃天水三模)科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f(单位：心跳次数·min-1)与体重W(单位：kg)的次方成反比．若A，B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2 kg、脉搏率为210次·min-1，B的脉搏率是70次·min-1，则B的体重为(　　) A．6 kg B．8 kg C．18 kg D．54 kg (2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2 B．4 C．20 D．40 [解析]　(1)依题意，设f＝(k>0)，由W＝2，f＝210， 得k＝210×2，则f＝， 当f＝70时，W＝＝3×2，所以W＝54.故选D. (2)设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3， 由题意，T1＝klog2106＝6klog210， T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)， T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)， 因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2， 所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4， 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B. [答案]　(1)D　(2)B 根据给定函数模型解决实际问题的技巧 (1)认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数； (2)根据已知条件，确定模型中的待定系数； (3)分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题． 1．(多选)根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音、建筑施工噪音、交通运输噪音和社会生活噪音四大类．根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准．通常我们以分贝(dB)为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v的声音对应的分贝数为f(v)(dB)，那么满足f(v)＝10×lg .对几项生活环境的分贝数要求如下：城市道路交通主干道为60～70 dB，商业、工业混合区为50～60 dB，安静住宅区、疗养院为30～40 dB.已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为v1，v2，v3，则(　　) A．v1≥v2 B．v2>100v3 C．若声音强度由v1降到v3，则需降为原来的 D．若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍 解析　由题意可知，60≤10×lg ≤70，即6≤lg ≤7，得10-6≤v1≤10-5； 50≤10×lg ≤60，即5≤lg ≤6，得10-7≤v2≤10-6； 30≤10×lg ≤40，即3≤lg ≤4，得10-9≤v3≤10-8. 对于A，B，10-7≤100v3≤10-6，所以v1≥v2，v2与100v3大小关系不确定，所以A正确，B错误； 对于C，因为10-6≤v1≤10-5，10-9≤v3≤10-8，所以≤≤，所以C错误； 对于D，当声音强度的等级为60 dB时，有10×lg ＝60，即lg ＝6，得＝106，此时对应的强度v＝106×10-12＝10-6， 当声音强度的等级为40 dB时，有10×lg ＝40，即lg ＝4，得＝104，此时对应的强度v＝104×10-12＝10-8， 所以60 dB的声音与40 dB的声音强度之比为＝102＝100，所以D正确，故选AD. 答案　AD 考点三　构建函数模型解决实际问题　重难考点　师生共研 (1)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学 习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过____________天，甲的“日能力值”是乙的20倍．(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)(　　) A．23 B．100 C．150 D．232 (2)在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x(m). ①求总造价y(元)关于长度x(m)的函数； ②当x(m)取何值时，总造价最低，并求出最低总造价． [解析]　(1)设甲和乙刚开始的“日能力值”为1，且n天后，甲的“日能力值”是乙的20倍，则n天后甲、乙的“日能力值”分别为(1＋2%)n，(1－1%)n，依题意，得＝20，即＝20，两边取常用对数得n lg ＝lg 20，因此n＝≈≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍．故选B. (2)①由矩形的长为x m，得矩形的宽为 m，则中间区域的长为(x－4)m，宽为 m，定义域为x∈(4，50). 则y＝100(x－4)＋200×， 整理得y＝18 400＋400，x∈(4，50). ②因为x＋≥2＝20，当且仅当x＝， 即x＝10∈(4，50)时等号成立． 所以当x＝10时，总造价最低为(18 400＋8 000)元． [答案]　(1)B　(2)略 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，并返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 2．为了解过滤净化原理，某中学科创实践小组的学生自制多层式分级过滤器，用于将含有沙石的河水进行净化．假设经过每一层过滤可以过滤掉五分之一的沙石杂质，若要使净化后河水中沙石杂质含量不超过最初的三分之一，则最少要经过的过滤层数为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析　由题知，设最少要经过的过滤层数为n，沙石杂质含量最初为a，则a≤a，即n lg ≤lg ，所以n≥＝＝≈4.8，故最少要经过的过滤层数为5.故选C. 答案　C 3．李冶(1192—1279年)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩，若方田的四边到水池的最近距离均为20步，则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝____________，水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，r＝____________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算). 解析　已知水池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步， 由题意得，(2r＋40)2－πr2＝y×240，得y＝r2＋r＋， ＝＋＋≥1，当且仅当r＝40时等号成立． 答案　r2＋r＋　40 $