第2章 第4讲 函数性质的综合应用（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数性质的综合应用”专题，依据课标要求和考情分析，覆盖函数奇偶性、单调性、周期性、对称性四大核心性质的交汇应用，明确选择填空题为主的考查形式及中等偏上难度定位，通过主干知识整合与核心考点突破，系统梳理常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“考点拆解+规律总结+对点训练”的实战设计，如结合数学抽象与逻辑推理素养，通过奇偶性与单调性综合题的“符号转化”技巧、周期性与对称性的“周期推导公式”等规律方法，帮助学生掌握性质交汇题的解题思路。配备典型例题解析与高仿真训练，助力学生提升得分率，教师可据此精准开展专题复习，实现高效备考。

第4讲　函数性质的综合应用 第二章　函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 答案　C 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论，会利用对称公式解决问题． 2．会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题． 考点考法：以理解函数的对称性、会用函数的对称性为主，常与函数的单调性、周期性与奇偶性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，为中等偏上难度． 核心素养：数学抽象、逻辑推理． 1．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)中心对称． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称． 特别地，当c＝0时，即f(a＋x)＋f(b－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点对称． 考点一　函数的奇偶性与单调性　重难考点　师生共研 (1)已知函数f(x)＝－3x，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 (2)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝f(2)＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．f>－1 B．f(－1)>f(1) C．f(3)>1 D．f>－1 [解析]　(1)函数f(x)的定义域为R， 因为f(－x)＝3x－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 又因为函数y＝，y＝－3x在R上都是减函数， 所以函数f(x)＝－3x在R上是减函数． (2)根据题意可得函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(x)为R上的奇函数且f(－1)＝f(2)＝1可得f(1)＝f(－2)＝－1.由f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f>f(－2)＝－1，故A正确；由f(－1)＝1，f(1)＝－1，得f(－1)>f(1)，故B正确；由函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，得f(3)>f(2)＝1，故C正确；由函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，得f<f(1)＝－1，故D错误． [答案]　(1)C　(2)ABC 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，进而利用函数的单调性比较函数值的大小． 1．已知函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，f(－2)＝0，则f(2－3x)>0的解集为(　　) A．(－∞，0)∪ B． C． D．(－∞，0)∪ 解析　因为函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，则该函数在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝f(－2)＝0，由f(2－3x)>0可得f(|3x－2|)>f(2)，所以|3x－2|>2，可得3x－2<－2或3x－2>2，解得x<0或x>.因此，不等式f(2－3x)>0的解集为(－∞，0)∪. 答案　D 2．已知函数f(x)＝lg (|x|－1)＋2x＋2－x，则不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．∪(1，＋∞) 解析　对于函数f(x)＝lg (|x|－1)＋2x＋2－x，令|x|－1>0，解得x>1或x<－1，所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，又f(－x)＝lg (|－x|－1)＋2－x＋2x＝lg (|x|－1)＋2x＋2－x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，当x>1时，f(x)＝lg (x－1)＋2x＋2－x，则y＝lg (x－1)在(1，＋∞)上单调递增，令g(x)＝2x＋2－x，x∈(1，＋∞)，所以g′(x)＝2x ln 2－2－xln 2＝(2x－2－x)ln 2>0，所以g(x)＝2x＋2－x在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而得到f(x)在(－∞，－1)上单调递减，则不等式f(x＋1)<f(2x)等价于解得x>1或x<－2，所以不等式的解集为(－∞，－2)∪ (1，＋∞). 考点二　函数的奇偶性与周期性　重难考点　师生共研 (1)(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f，f(0)＝－2，且f为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是一个周期为3的周期函数 D．f(2 025)＝－2 (2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列选项正确的是(　　) A．f(x)＝f(x－16) B．f(19)＝0 C．f(2 024)＝f(0) D．f(2 026)＝f(1) [解析]　(1)函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误； 定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f，变形可得f(x)＝－f，而f为奇函数，则f＝－f，则f(－x)＝－f，则有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确； 已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f，即f(x)＝－f， 则有f(x＋3)＝－f＝f(x)， 即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确；f(x)是偶函数且周期为3，则f(2 025)＝f(0)＝－2，故D正确． (2)因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(1＋2x)， 即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)， 因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)， 则f(－x－2)＝－f(x)＝－f(2－x)，即f(x－2)＝－f(2＋x)， 则f(x)＝－f(x＋4)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数的周期是8. 则f(x)＝f(x－16)成立，故A正确； 令x＝0，由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－1)＝－f(－1)，得f(－1)＝0， f(3)＝0， 则f(19)＝f(3)＝0，故B正确； f(2 024)＝f(8×253＋0)＝f(0)成立，故C正确； f(2 026)＝f(8×253＋2)＝f(2)，故D错误． [答案]　(1)BCD　(2)ABC 综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期； (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化； (3)代入已知的解析式求解，即得欲求的函数值． 3．已知函数f(x)为奇函数，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 025)＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 解析　依题意，函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2 025)＝f(－3＋507×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2 025)＝2. 答案　A 4．(多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4) 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2). 因为f(x－1)是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2). 所以f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数． 因为f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，所以f(x＋3)是偶函数． 答案　CD 考点三　函数的奇偶性与对称性　重难考点　师生共研 (1)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．函数f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．在区间(2，3)上，f(x)单调递减 D．f>f (2)(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是(　　) A．f(x＋2)＝f(x) B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．函数y＝f(x＋1)是偶函数 D．f(2－x)＝f(x－1) [解析]　(1)f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2，0)对称，因为f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A，B错误； 根据题意可得，f(x)在(0，1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，关于点(2，0)对称，则f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确； 又因为f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4，则f＝f<f，故D错误． (2)对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)， 则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，A错误； 对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 故函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，B正确； 对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数， C正确； 对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错误． [答案]　(1)C　(2)BC 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，如若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于x＝a对称等，常用于化简求值、比较大小等． 5．已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称．当x>0时，f(x)＝，则f(－2)＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 解析　因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，所以y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1. 答案　C 考点四　函数的周期性与对称性　重难考点　师生共研 (1)(2026·衡水调研)已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x－1)为偶函数，f(x－2)为奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则f(7)等于(　　) A．－1 B．－ C． D．1 (2)(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，且满足f(x＋1)为奇函数，当x∈[0，1)时，f(x)＝－cos ，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝0 B．f(x)的周期为2 C．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 D．f＝－ [解析]　(1)因为f(2x－1)为偶函数，所以f(－2x－1)＝f(2x－1)，即f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(－x－2)＝f(x)，又f(x－2)为奇函数，所以f(－x－2)＝－f(x－2)，所以f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(x－2)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)，又当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，所以f(1)＝21－1＝1，所以f(7)＝－1，故选A. (2)因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)，所以f(1)＝0，故A正确； 因为当x∈[0，1)时，f(x)＝－cos ， 所以f(0)＝－cos 0＝－1， 因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 所以f(2)＝－f(0)＝1，故f(2)≠f(0)， 所以2不是f(x)的周期，故B错误； 因为f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故C正确； 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0，可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，周期为4，所以f＝f＝f＝f， 又当x∈[0，1)时，f(x)＝－cos ， 所以f＝f＝－cos ＝－，故D正确． [答案]　(1)A　(2)ACD 1．函数的双对称与周期问题 函数y＝f(x)的图象 关于直线x＝a，x＝b对称 f(x)的一个周期为2|b－a| 关于点A(a，y0)，B(b，y0)对称 f(x)的一个周期为2|b－a| 关于点A(a，y0)，直线x＝b对称 f(x)的一个周期为4|b－a| 2．函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆． 6．(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在[－1，0]上是增函数．则下列命题正确的是(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f(x)在[1，2]上是增函数 D．f(2)＝f(0) 解析　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数，故A正确； 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x＋2)＝－f(－x).又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确； 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在[－1，0]上为增函数，且f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．因为f(x)关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数，故C错误； 因为f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)，故D正确． 答案　ABD $