第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性、周期性”专题，依据课标要求和考情分析，系统梳理奇偶性定义、图象特征、周期性判定等核心知识，对接高考评价体系中数学抽象、逻辑推理素养考查，明确以基本初等函数为载体的选择题型及综合应用热点，归纳出判断、求参数、解不等式等高频考法，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融合与应试策略指导，如结合2023全国乙卷偶函数求参数题、甲卷奇偶性与导数衔接题，通过“定义域对称判断—等量关系验证—性质应用转化”三步法突破考点，培养学生逻辑推理和直观想象素养。配套诊断自测与知能达标训练，助力学生掌握周期性转化、奇偶性不等式求解等技巧，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

第3讲　函数的奇偶性、周期性 第二章　函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 栏目导航 第二章　函数 1 f(x＋T)＝f(x) 正数 正数 最小正周期 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 × × √ 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性及其应用．函数的奇偶性与单调性、周期性和综合问题是高考热点，常以选择题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． 1．函数的奇偶性 类别 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么称f(x)为偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，都有－x∈D，且__________________，那么称f(x)为奇函数 图象 特征 关于________对称 关于________对称 [微提醒]　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D都有x＋T∈D，且满足___________________，那么函数y＝f(x)就称作周期函数．非零常数T称作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的________，那么这个最小________就称作f(x)的______________． 1．函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) 2．(北师大版必修一P69习题A组第3题改编)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝ln |x| D．y＝2－x 解析　根据奇函数的定义知奇函数满足f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数． 答案　A 3．(苏教必修一P127T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝. 答案　B 4．(北师大版必修二P4习题A组第3题改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2 026)＝____________． 解析　因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝5. 答案　5 5．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝____________． 解析　由结论知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7. 答案　－7 考点一　函数奇偶性的判断　重难考点　师生共研 (多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是(　　) A．f(x)＝(x－1)是偶函数 B．f(x)＝是奇函数 C．f(x)＝－x2＋是非奇非偶函数 D．f(x)＝是奇函数 [解析]　对于A，由≥0，解得－1≤x<1， 所以该函数的定义域是[－1，1)，不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A错误； 对于B，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x2－x，则f(－x)＝－f(x)， 同理当x>0时，f(－x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，故B正确； 对于C，由x2－3≥0，解得x≥或x≤－， 所以函数的定义域是(－∞，－]∪[，＋∞)，关于原点对称， 又f(－x)＝－(－x)2＋＝－x2＋＝f(x)，所以该函数是偶函数，故C错误； 对于D，由即 所以该函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]，f(x)＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以该函数是奇函数， 故D正确． [答案]　BD 判断函数的奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 1．下列函数中是奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝ln |x| C．f(x)＝sin D．f(x)＝ex－e－x 解析　对于A，f(x)＝x3＋1，f(1)＝2，f(－1)＝0，故f(x)为非奇非偶函数； 对于B，f(x)＝ln |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|，f(x)为偶函数； 对于C，函数定义域为R，f(x)＝sin ＝cos x，f(x)为偶函数； 对于D，易知定义域为R，f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，f(x)为奇函数． 答案　D 2．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的有(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 解析　因为f(x)＝，定义域为R，则f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)|f(x)|为奇函数． 因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数． 答案　ABC 考点二　函数奇偶性的应用　多维探究　发散思维 角度1　利用奇偶性求值(解析式) (1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－a，则f(－1)＝(　　) A．3 B．－3 C．－2 D．－1 (2)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝(　　) A．－＋2 B．1 C．＋2 D．3 [解析]　(1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝1－a＝0，所以a＝1. 又当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1， 所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3. (2)因为函数f(x)是偶函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，所以f＝f＝2sin ＝.又因为当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，所以f(4)＝log24＝2，所以f＋f(4)＝＋2. [答案]　(1)B　(2)C 角度2　根据函数的奇偶性求参数(考教衔接) 高考真题 1．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0，又因为x不恒为0，可得ex－e(a-1)x＝0，即ex＝e(a-1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 答案　D 2．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝____________． 解析　因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意． 答案　2 教材溯源 (北师大版必修一P73习题B组第7题改编)对于函数f(x)＝a－(a∈R)，是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 解析　假设存在实数a使函数f(x)为奇函数．则有f(－x)＋f(x)＝0，即a－＋a－＝0，解得a＝1.故存在实数a使函数f(x)为奇函数． 预测高考 若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．±1 解析　方法一(定义法)　因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－a2x－1，－f(x)＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C. 方法二(特殊值法)　因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即－a2－1＝－(1＋a)，解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C. 答案　C 角度3　利用函数奇偶性解不等式 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋2).若f(3＋m)＋f(3m－7)＞0，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) [解析]　当x≥0时，f(x)的对称轴为x＝－1，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增．函数在x＝0处连续，又f(x)是定义域为R的奇函数，故f(x)在R上是增函数．因为f(－x)＝－f(x)，由f(3＋m)＋f(3m－7)＞0，可得f(3＋m)＞f(7－3m)，又因为f(x)在R上是增函数，所以3＋m＞7－3m，解得m＞1.故选D. [答案]　D 函数奇偶性的应用类型及解题策略 (1)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式； (2)求函数值：利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解； (3)求参数值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解； (4)解不等式：利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解． 3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 024)＋f(2 026)的值为____________． 解析　由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0，所以f(2 024)＋f(2 026)＝f(2 025－1)＋f(2 025＋1)＝0. 答案　0 4．已知奇函数f(x)＝则g(x)＝____________． 解析　当x>0时,－x<0，f(x)＝g(x)＋1＝－f(－x)＝－[(－x)2－3－(－x)]＝－x2＋3x，则g(x)＝－x2＋3x－1. 答案　－x2＋3x－1 考点三　函数的周期性　重难考点　师生共研 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 026)＝____________． [解析]　因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 026＝6×337＋4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 026)＝337×1＋1＋2－1＋0＝339. [答案]　339 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 5．(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立， 于是f＝f＝f＝5－2×＝－. 故选A. 答案　A 6．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝，且f(2)＝2，则f(2 026)＝____________． 解析　因为f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝2. 答案　2 $