第2章 第8讲 对数函数（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“对数函数”专题，依据课标要求和高考评价体系，系统梳理对数函数的概念、图象、性质及反函数等核心考点，结合考情分析明确单调性应用为高频考点，通过近五年真题统计归纳比较大小、解对数不等式等常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题训练+规律方法+素养提升”策略，如以2020全国卷III对数大小比较题为例，用中间量法突破难点，培养逻辑推理素养，复合函数问题强调“定义域优先+同增异减”原则，辅以易错诊断（如对数函数概念辨析），助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第8讲　对数函数 第二章　函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 (0，＋∞) 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 (0，＋∞) (1，0) 增函数 减函数 栏目导航 第二章　函数 1 y＝logax y＝x 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 × × × √ 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 答案　BD 栏目导航 第二章　函数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 2．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 考点考法：高考命题常以考查对数函数的单调性及应用为主，是考查热点，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，定义域是_____________． 2．对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：____________ 值域：R 过定点__________ 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是__________ 在(0，＋∞)上是__________ [微提醒]　y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象只在第一、四象限，即在直线x＝0的右侧． 3．反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数______________(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线__________对称． 对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y＝logax与y＝logx(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是同一个函数．(　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合．(　　) 2．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　) A．[0，1] B．(0，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 解析　根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0，1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0，1].故选A. 答案　A 3．(北师大版必修一P116习题第4题改编)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析　因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2＜π＜，所以c＞b＞1.又a＝log32＜1，所以a＜b＜c.故选A. 答案　A 4．(北师大版必修一P116习题第3题改编)函数y＝的定义域是____________． 解析　由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1.所以函数y＝的定义域是. 答案　 5．(2025·湖北黄冈期末)已知函数y＝loga(x－1)＋4(a>0，a≠1)的图象过定点P，且点P在指数函数f(x)的图象上，则f(log46)＝____________． 解析　在y＝loga(x－1)＋4(a>0，a≠1)中，令x－1＝1，可得x＝2， y＝loga1＋4＝4，故P(2，4). 设f(x)＝bx(b>0，b≠1)，由题意可得4＝b2，解得b＝2. 所以f(x)＝2x， 答案　 考点一　对数函数的图象及应用　重难考点　师生共研 (1)已知lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象可能是(　　) (2)已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝____________． [解析]　(1)∵lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，∴ab＝1，∴a＝，∴g(x)＝logx＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝logx＝logax互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性，故选B. (2)f(x)＝|log2x|的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，当a2≤x≤b时，由图知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝，∴b＝2.∴＋b＝4. [答案]　(1)B　(2)4 对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项； (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞0且a≠1，a，b为常数)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a＞0，b＜－1 B．a＞0，－1＜b＜0 C．0＜a＜1，b＜－1 D．0＜a＜1，－1＜b＜0 解析　因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D. 答案　D 2．方程－|logx|＝0的解的个数为____________． 解析　方程－|logx|＝0的解的个数，等价于函数y＝和函数y＝|logx|的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示．数形结合可得，函数y＝和函数y＝|logx|的图象的交点个数为2. 答案　2 考点二　对数函数的性质及应用　多维探究　发散思维 角度1　比较对数式的大小(考教衔接) 高考真题 (2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析　因为a＝log323＜log39＝＝c，b＝log533＞log525＝＝c，所以a＜c＜b.故选A. 答案　A 教材溯源 (北师大版必修一P114例7改编)比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1). 解析　(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值． 因为底数2>1，对数函数y＝log2x是增函数， 且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5. (2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值． 因为底数0.3<1，对数函数y＝log0.3x是减函数， 且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7. (3)loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值． 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是大于0小于1，因此需要对底数a进行讨论． 当a>1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1<5.9， 所以loga5.1<loga5.9； 当0<a<1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1<5.9， 所以loga5.1>loga5.9. 预测高考 (2025·河南开封模拟)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析　方法一(中间量法)　因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.故选D. 方法二(图象法)　log＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b.故选D. 答案　D 比较对数值大小的方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 角度2　解对数方程、不等式 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为____________． [解析]　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(log(2x－5))＞f(log38)可化为|log(2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜，所以不等式的解集为∪. [答案]　∪ 求解对数不等式的两种类型及方法 (1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 3．已知a＝3log83，b＝－log16，c＝log43，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 解析　a＝3log83＝3×＝log23＞1，b＝－log16＝－×＝－×＝log34＞1，0＜c＝log43＜1，log23－log34＝－＝，lg 2＞0，lg 4＞0，lg 2≠lg 4,因为lg 2lg 4＜2＝(lg )2＜(lg 3)2,故log23－log34＞0,所以a＞b,所以a＞b＞c.故选A. 答案　A 4．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．[0，2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 解析　当x≤1时，由21-x≤2得1－x≤1，所以0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2得x≥，所以x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞). 故选D. 答案　D 考点三　对数型函数的综合问题　一题多变　母题探究 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值． [解析]　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1，所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f(x)的定义域为(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)，则g(x)在(－1，1]上单调递增， 在[1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a＝. (变条件，变结论)若已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增，求实数a的取值范围． 解析　令g(x)＝ax2＋2x＋3，所以f(x)＝log4g(x). 当a＝0时，g(x)＝2x＋3在区间[－1，1]上单调递增，且g(x)＞0， 又y＝log4x在定义域上单调递增，所以函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增，所以a＝0符合题意． 当a＞0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得0＜a≤1. 当a＜0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得－1＜a＜0. 综上，实数a的取值范围是(－1，1]. 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 (1)遵循定义域优先的原则，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系． (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性． 5．(多选)(2026·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－，则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减 D．函数f(x)的值域为 解析　易知f(x)的定义域为R，f(x)＝log4(1＋4x)－log44＝log4 ＝log4(2－x＋2x)，由于f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，因此f(x)为偶函数，故A错误，B正确；令t＝2x，则y＝log4，令s＝t＋，则y＝log4s，当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋在定义域上为增函数，又y＝log4s在定义域上为增函数，所以y＝log4为增函数，又t＝2x为增函数，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，故C错误；又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为，故D正确．故选BD. $