第2章 第5讲 二次函数与幂函数（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二次函数与幂函数”专题，依据课标要求和考情分析，系统梳理幂函数定义、图象性质及二次函数解析式、单调性、最值等核心考点，通过诊断自测和真题改编题明确高频考点分布，归纳出解析式求法、区间最值求解等常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“基础梳理+考点突破+素养提升”的复习策略，如二次函数最值采用“三点一轴”数形结合法，培养数学运算和直观想象素养，幂函数图象性质结合“指大图低”规律训练逻辑推理能力。特设母题探究与变式训练，帮助学生掌握分类讨论等解题技巧，教师可据此构建高效复习课堂，助力学生高考冲刺。

第5讲　二次函数与幂函数 第二章　函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 y＝xα 栏目导航 第二章　函数 1 (1，1) (0，0) (1，1) 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 × √ × √ 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). 考点考法：主要考查幂函数与二次函数的图象和性质，常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如_________(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数y＝xα的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点___________和___________，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点___________，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 R R 值域 ________________________ ________________________ 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 单调性 在区间上单调递减； 在区间上单调递增 在区间上单调递增； 在区间上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 [微提醒]　注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论． 1．幂函数图象的特征 (1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)； (2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]： (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)幂函数y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　) (4)若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) 2．(北师大版必修一P67课本示例改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(4)＝(　　) A． B．4 C． D． 解析　设f(x)＝xα，∵图象过点，∴f(2)＝2α＝，解得α＝－1，即f(x)＝x-1，∴f(4)＝4-1＝. 答案　A 3．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C．－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 解析　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．由结论可知，不妨令x＝2，由图象得2-1＜2n，则－1＜n＜0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D. 答案　D 4．(北师大版必修一P38练习第1题改编)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为____________． 解析　函数f(x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，所以f(x)的单调递增区间是[a，＋∞)，依题意知，[0，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]. 答案　(－∞，0] 5．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为____________． 解析　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]. 答案　[－6，2] 考点一　幂函数的图象与性质　基础考点　自练自悟 1．已知幂函数f(x)＝(3m2－7m－5)xm-1是定义域上的奇函数，则m＝(　　) A．－或3 B．3 C． D．－ 解析　由函数f(x)＝(3m2－7m－5)xm-1是幂函数，得3m2－7m－5＝1，解得m＝3或m＝－，当m＝3时，f(x)＝x2是R上的偶函数，不符合题意，当m＝－时，f(x)＝x＝是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，符合题意，所以m＝－.故选D. 答案　D 2．如图所示是函数y＝x(m，n∈N＋且互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数，且＜1 B．m是偶数，n是奇数，且＞1 C．m是偶数，n是奇数，且＜1 D．m，n是偶数，且＞1 解析　函数y＝x＝的图象关于y轴对称，故m为偶数，n为奇数，当x∈(0，1)时，y＝x的图象在y＝x的图象的上方，当x∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象的下方，故＜1. 答案　C 3．若(m＋1)-1＜(3－2m)-1，则实数m的取值范围是(　　) A． B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪ D．∅ 解析　分三种情况考虑：①解得＜m＜；②此时无解；③解得m＜－1. 综上可得，m∈(－∞，－1)∪.故选C. 答案　C 4．(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(16，4)，则下列说法正确的有(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．当x＞1时，f(x)＞1 D．当0＜x1＜x2时，＜f 解析　幂函数f(x)＝xα的图象经过点(16，4)，所以16α＝4，解得α＝，所以f(x)＝x＝.所以f(x)的定义域是[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且是增函数．当x＞1时，f(x)＞f(1)＝1.画出f(x)在[0，＋∞)上的图象，如图所示．由图象知，当0＜x1＜x2时，＜f，故选BCD. 答案　BCD 1．幂函数的图象与性质特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式； (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断； (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 2．幂函数单调性的应用 (1)利用单调性比较两个幂的大小； (2)利用单调性解不等式． 考点二　二次函数的解析式　一题多变　母题探究 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． [解析]　方法一(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)，所以二次函数f(x)图象的对称轴为直线 x＝＝，所以h＝. 又根据题意函数有最大值8，所以k＝8，所以f(x)＝a＋8. 又f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用零点式) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f(x)的最大值为8，所以a＜0，且＝8， 解得a＝－4.故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 1．(变条件)将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式． 解析　设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0). 因为函数f(x)的最大值为8，所以a＜0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8， 所以a＝－8，所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x. 2．(变条件)将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式． 解析　因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意的x∈R恒成立， 所以f(x)的对称轴为直线x＝2. 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)＝0的两根为x1＝1和x2＝3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0). 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1. 所以f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 确定二次函数解析式的方法 1．已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)＝(　　) A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1 C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1 解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b， 由f(x)＝x2＋f′(x)－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)， 所以解得 因此f(x)＝x2＋2x＋1.故选B. 答案　B 考点三　二次函数的图象与性质　多维探究　发散思维 角度1　二次函数的图象 (多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b [解析]　因为题图与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． [答案]　AD 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性与最值 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． [解析]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－或a＝－1. 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 2．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 解析　因为abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合题意，故选D. 答案　D 3．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上单调递增，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) 解析　由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4. 答案　C 4．已知函数f(x)＝x2－tx－1，当x∈[－1，2]时，求f(x)的最大值G(t). 解析　f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，∴f(2)≤f(－1)，∴f(x)max＝f(－1)＝t； 当t＜1时，f(2)－f(－1)＞0，∴f(2)＞f(－1)， ∴f(x)max＝f(2)＝3－2t， 综上有G(t)＝ $