第03讲 整式的概念（暑假预习讲义）新七年级数学新教材湘教版

第03讲 整式的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1 单项式的相关概念 题型 2 利用单项式的相关概念求值 题型 3 多项式及整式的有关概念 题型 4 利用多项式的相关概念求值 题型 5 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 题型 6 整式中结论开放性问题 题型 7 单项式中的规律探究问题 题型 8 多项式中的规律探究问题 题型 9 判断两单项式是否同类项 题型 10 由同类项的定义求值 题型 11 判断合并同类项的正误 题型 12 由合并同类项的法则求值 题型 13 合并同类项的计算 题型 14 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型 15 代数式的化简求值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单项式、系数、次数、多项式、项、常数项、多项式次数、整式 1.区分单项式与多项式，掌握整式的概念，理清代数式、整式、单项式、多项式的包含关系。 2.会找单项式的系数和次数，分清π是常数，不是字母，系数包含前面符号。 3.能准确找出多项式的项、常数项，判断多项式是几次几项式。 能对整式进行分类，规避系数、次数常见易错陷阱。 学习重点：1.识别含π的单项式系数，区分常数与字母；2.判断多项式次数（取最高次项次数），忽略常数项次数。1.单项式的系数、次数判断； 2.多项式的项、次数、几次几项式判断。 学习难点：1.识别含π的单项式系数，区分常数与字母； 判断多项式次数（取最高次项次数），忽略常数项次数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 单项式 ◆1、单项式的定义： 由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. ◆2、判断单项式的方法： （1）单独一个数或一个字母也是单项式. （2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算. （3）单项式数字因数与字母可能一个或多个. （4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． ◆3、单项式的系数、次数 （1）系数：单项式中数与字母相乘，通常把数字因数叫作系数； （2）次数：所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. （3）确定单项式的系数及次数时，应注意： ① 圆周率 π 是常数； ② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写； ③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； ④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0. 即时即下列各式，，，，，m，，，中单项式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点02 多项式 ◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. ◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. （1） 单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就 叫b次a项式． （2）多项式的每一项包含它前面的符号． ◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. （1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的； （2）一个多项式的最高次项可以不唯一. （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式. 即时即练1.下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．是多项式 2．将代数式按a的升幂排列的是（　　） A． B． C． D． 知识点03 整式 ◆1、单项式和多项式统称整式. ◆2、单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，但反过来不一定成立. ◆3、整式一定是代数式，但代数式不一定是整式。分母中含有字母的代数式都不是整式，如代数式 就不是整式。 即时即练在代数式，，，，，中，整式有（  ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 知识点04 同类项 ◆1、同类项的概念：把含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项. ◆2、同类项的判别方法： （1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关（即“两无关”）； （2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可. （3）不要忘记几个单独的数也是同类项. 即时即练下列代数式中，是同类项的是（） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点05 合并同类项 ◆1、合并同类项定义：一般地，在多项式中，要把同类项的系数相加合并一项，叫作合并同类项. ◆2、合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. ◆3、“合并同类项”的步骤： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 即时即练合并同类项： (1)． (2)． 题型1 单项式的相关概念 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列整式中，是二次单项式的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列式子不是单项式的是（   ） A． B． C． D．3.14 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南张家界·期中）式子，，，，中，单项式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】下列代数式：①；②；③6；④．其中单项式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型2 利用单项式的相关概念求值 【例2】若单项式的系数是m，次数是n，则________． 【技巧归纳】 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）单项式的系数和次数分别是（　　） A．，5 B．1，5 C．，6 D．1，6 【变式2-2】若单项式的系数是m，次数是n，则______． 【变式2-3】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知是关于x，y的四次单项式，则m的值是_______ ． 题型3 多项式及整式的有关概念 【例3】下列各式是多项式的是（    ） A．2x+1 B． C． D． 【技巧归纳】 1、几个单项式的和叫做多项式. 2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. 【变式3-1】在下列整式，，，中多项式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】在下列代数式：，，，，，中，多项式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 题型4利用多项式的相关概念求值 【例4】式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【技巧归纳】 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出 方程的解即可. 【变式4-1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于的三次三项式，则m的值等于（   ） A． B．1 C． D．以上都不对 【变式4-2】多项式是关于的二次三项式，则取值为（      ） A．3 B． C．3或 D．或1 【变式4-3】多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求______． 题型5 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 【例5】已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数为b，c是最小的正整数，求的值． 【技巧归纳】 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． 【变式5-1】已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【变式5-2】已知单项式与的次数相同． (1)求的值． (2)当时，求单项式的值． 【变式5-3】（25-26七年级上·湖南永州·期中）已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 题型6 整式中结论开放性问题 【例6】请列举一个单项式，使它满足系数为负数，次数为3，含有字母a，b，单项式可以为______． 【技巧归纳】 本题考查了单项式的系数和项数，多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 【变式6-1】写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①与是同类项；②系数和次数互为相反数．这个单项式是_______． 【变式6-2】有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：　 　． 【变式6-2】写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件： （1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母． 题型7 单项式中的规律探究问题 【例7】（25-26七年级上·湖南常德·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第2025个单项式是_______． 【技巧归纳】 对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 【变式7-1】【观察与发现】 ，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【变式7-3】观察下列单项式：，，，，，，写出第个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？ (4)请你根据猜想，写出第2020个，第2021个单项式． 题型8 多项式中的规律探究问题 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）已知多项式，则第100项是_____，第2007项是_____，第n项是_______． 【技巧归纳】 对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 【变式8-1】有一组多项式：，，，，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第个多项式为________． 【变式8-2】有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去． （1）写出它的第六项和最后一项； （2）这个多项式是几次几项式？ 【变式8-3】（2024七年级上·全国·专题练习）观察多项式的构成规律，并回答下列问题： (1)它的第100项是什么？ (2)它的第为正整数项是什么？ (3)当时，求前2014项的和． 题型9判断两单项式是否同类项 【例9】（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【技巧归纳】 ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【变式9-1】（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【变式9-3】下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型10 由同类项的定义求值 【例10】如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 【技巧归纳】 主要利用的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，根据题意得到关于某个字母的方程求解即可． 【变式10-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知与是同类项，那么的值分别是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】若与是同类项，则的值为______． 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·暑假作业）若单项式与是同类项，则________，________． 题型11判断合并同类项的正误 【例11】（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 根据合并同类项的法则判断合并同类项的正误即可. 【变式11-1】下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型12 由合并同类项的法则求值 【例2】若单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【技巧归纳】 根据合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.利用合并的系数特点来解决问题. 【变式12-1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）若整式与的差是单项式，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-2】如果单项式与单项式可以合并为一个单项式，请你求出、与的值． 【变式12-3】如果两个关于x，y的单项式与是同类项（其中）． (1)求a的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 题型13 合并同类项的计算 【例13】化简： (1)； (2)． 【技巧归纳】 “合并同类项”的步骤： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 【变式13-1】化简： (1) (2) 【变式13-2】 （25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2) ． 【变式13-3】（24-25七年级上·四川遂宁·期中）化简下列式子： (1)； (2) 题型14 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例14】（24-25七年级上·湖南永州·阶段检测）将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 确定排序字母，拆分所有项并带符号； 标出各项该字母次数，无该字母为 0 次； 指数从大到小为降幂，从小到大是升幂。 【变式14-1】多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）多项式按的降幂排列为_________． 【变式14-3】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 题型15代数式的化简求值 【例15】先化简，再求值： ，其中． 【技巧归纳】 先对原式进行合并同类项的化简，再把数值代入到化简后的式子求值即可，在代入时若数值是负数，要加上括号． 【变式15-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式15-2】（24-25七年级上·北京石景山·期中）化简求值，其中． 【变式15-3】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）求多项式的值，其中． 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）整式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南永州·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．9是单项式 C．与不是同类项 D．是二次三项式 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）关于多项式，下列说法中正确的是（    ） A．它是五次三项式 B．它的最高次项的系数是4 C．它的常数项是1 D．它是三次三项式 5．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）下列结论正确的是（　　） A．的系数是1，次数是2 B．是二次二项式 C．多项式是按照的降幂排列 D．的系数是2，次数是3 7．如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 8．（22-23七年级上·湖南永州·期中）在代数式，中属于整式的有_______个． 9．（24-25七年级上·全国·单元复习）关于、的多项式是四次二项式，则________． 10．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与单项式的和仍然是单项式，则的值为_____． 11．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）已知请你根据以上规律写出第2025个式子是______． 12．（25-26七年级上·吉林通化·期中）有这样一道题：“当，时，求代数式：的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件，是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？ 13．（24-25七年级上·天津·期中）若关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 14．已知，代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a、b的值． 15．已知多项式的次数是a，单项式与单项式是同类项，求代数式的值． 16．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知单项式与单项式是同类项，是多项式的次数． (1)______，______，______； (2)若关于的二次三项式的值是3，求代数式的值． 18．先合并同类项，再求值． (1)，其中； (2)，其中，，； (3)已知，求多项式的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 整式的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1 单项式的相关概念 题型 2 利用单项式的相关概念求值 题型 3 多项式及整式的有关概念 题型 4 利用多项式的相关概念求值 题型 5 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 题型 6 整式中结论开放性问题 题型 7 单项式中的规律探究问题 题型 8 多项式中的规律探究问题 题型 9 判断两单项式是否同类项 题型 10 由同类项的定义求值 题型 11 判断合并同类项的正误 题型 12 由合并同类项的法则求值 题型 13 合并同类项的计算 题型 14 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型 15 代数式的化简求值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单项式、系数、次数、多项式、项、常数项、多项式次数、整式 1.区分单项式与多项式，掌握整式的概念，理清代数式、整式、单项式、多项式的包含关系。 2.会找单项式的系数和次数，分清π是常数，不是字母，系数包含前面符号。 3.能准确找出多项式的项、常数项，判断多项式是几次几项式。 能对整式进行分类，规避系数、次数常见易错陷阱。 学习重点：1.识别含π的单项式系数，区分常数与字母；2.判断多项式次数（取最高次项次数），忽略常数项次数。1.单项式的系数、次数判断； 2.多项式的项、次数、几次几项式判断。 学习难点：1.识别含π的单项式系数，区分常数与字母； 判断多项式次数（取最高次项次数），忽略常数项次数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 单项式 ◆1、单项式的定义： 由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. ◆2、判断单项式的方法： （1）单独一个数或一个字母也是单项式. （2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算. （3）单项式数字因数与字母可能一个或多个. （4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． ◆3、单项式的系数、次数 （1）系数：单项式中数与字母相乘，通常把数字因数叫作系数； （2）次数：所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. （3）确定单项式的系数及次数时，应注意： ① 圆周率 π 是常数； ② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写； ③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； ④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0. 即时即下列各式，，，，，m，，，中单项式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：根据题意，单项式有，，，m，共4个， 故选：B． 知识点02 多项式 ◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. ◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. （1） 单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就 叫b次a项式． （2）多项式的每一项包含它前面的符号． ◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. （1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的； （2）一个多项式的最高次项可以不唯一. （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式. 即时即练1.下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．是多项式 【答案】B 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，据此判断即可． 【详解】解：A、是二次三项式，故正确，不符合题意； B、的次数是4，故错误，符合题意； C、的系数是，故正确，不符合题意； D、是多项式，故正确，不符合题意； 故选：B． 2．将代数式按a的升幂排列的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式的项的定义，可知此多项式的项为、、、，再由加法的交换律及多项式的升幂排列得出结果． 【详解】解：多项式的各项为、、、． 按字母a升幂排列为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式升幂排列的定义．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 知识点03 整式 ◆1、单项式和多项式统称整式. ◆2、单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，但反过来不一定成立. ◆3、整式一定是代数式，但代数式不一定是整式。分母中含有字母的代数式都不是整式，如代数式 就不是整式。 即时即练在代数式，，，，，中，整式有（  ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查整式的辨认，掌握好整式的定义是关键． 根据整式的定义（整式包含单项式与多项式，且分母中不含字母），逐个判断所给代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵整式是分母不含字母的单项式和多项式， ∴对各代数式逐一判断：①可化为，是多项式，属于整式；②是单项式，属于整式；③中是常数，该式是多项式，属于整式；④分母含字母，是分式，不属于整式；⑤是单独的常数，属于单项式，是整式；⑥分母含字母，是分式，不属于整式； 综上，整式共有4个． 故选：B． 知识点04 同类项 ◆1、同类项的概念：把含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项. ◆2、同类项的判别方法： （1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关（即“两无关”）； （2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可. （3）不要忘记几个单独的数也是同类项. 即时即练下列代数式中，是同类项的是（） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查同类项的概念，根据同类项定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项为同类项，几个常数项是同类项），逐一判断选项即可． 【详解】解：根据同类项的定义判断： ∵选项A中，和所含字母不相同， ∴不是同类项； ∵选项B中，含字母，是常数项，所含字母不相同， ∴不是同类项； ∵选项C中，和中，相同字母的指数分别为和，指数不相同， ∴不是同类项； ∵选项D中，和所含字母都是，且的指数都是，符合同类项定义， ∴是同类项． 知识点05 合并同类项 ◆1、合并同类项定义：一般地，在多项式中，要把同类项的系数相加合并一项，叫作合并同类项. ◆2、合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. ◆3、“合并同类项”的步骤： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 即时即练合并同类项： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 题型1 单项式的相关概念 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列整式中，是二次单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，熟练掌握单项式以及单项式次数的意义是解题的关键． 根据单项式以及单项式次数的意义，判断即可． 【详解】解：A、是多项式，故A不符合题意； B、是二次单项式，故B符合题意； C、是三次单项式，故C不符合题意； D、是一次单项式，故D不符合题意； 故选：B． 【技巧归纳】 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列式子不是单项式的是（   ） A． B． C． D．3.14 【答案】C 【分析】本题考查单项式的概念．单项式是由数字与字母的乘积或单独的数字、字母构成的式子，不含加减运算，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：单项式的定义为数字与字母的乘积或单独的数字、字母，且不含加减运算， A、是数字2与字母x的乘积，属于单项式，不符合题意； B、是单独的字母，属于单项式，不符合题意； C、含有加法运算，是多项式，不属于单项式，符合题意； D、3.14是单独的数字，属于单项式，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南张家界·期中）式子，，，，中，单项式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义（只由数字与字母的乘积或单独数字或字母的代数式），逐一判断每个式子是否为单项式． 【详解】解：单项式有、、共个， 故选：C． 【变式1-3】下列代数式：①；②；③6；④．其中单项式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式是单项式，单独的数字或字母也是单项式． 根据单项式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① 是多项式，不是单项式；② 是单项式；③ 是单独的数字，是单项式；④ 是多项式，不是单项式． 综上，单项式有②和③，共2个． 故选C． 题型2 利用单项式的相关概念求值 【例2】若单项式的系数是m，次数是n，则________． 【答案】// 【分析】本题考查单项式、代数式求值，熟知单项式的系数、次数是解题的关键． 先根据单项式的系数和次数的定义，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：单项式的系数是，即； 次数是的指数1与的指数3之和，即， ∴ ． 故答案为：． 【技巧归纳】 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）单项式的系数和次数分别是（　　） A．，5 B．1，5 C．，6 D．1，6 【答案】C 【分析】此题考查了单项式的知识，掌握单项式的系数及次数的定义是解答此类问题的关键． 根据单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母指数的和作答即可． 【详解】解：的系数为，次数为， 故选：C． 【变式2-2】若单项式的系数是m，次数是n，则______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数概念，关键是运算中注意“负号”不能遗漏． 根据单项式的系数、次数概念，来得到单项式的系数为，次数为3，则得到，的值，再求二者的积，即可得到结果． 【详解】解：的系数为，次数为3， ，， ． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知是关于x，y的四次单项式，则m的值是_______ ． 【答案】或 【分析】本题考查的是单项式的概念，根据单项式的次数定义，单项式中所有字母的指数之和称为次数．本题中单项式为，是关于和的四次单项式，因此的指数1与的指数之和等于4，即．同时，单项式的系数不能为零． 【详解】解：由次数定义得：简化得：因此， 解得或． 又因为系数，即， ∴和均满足条件． 故答案为：或． 题型3 多项式及整式的有关概念 【例3】下列各式是多项式的是（    ） A．2x+1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，逐项验证即可解答． 【详解】解：A、2x+1是多项式，故此选项符合题意； B、是分式，不是多项式，故此选项不符合题意； C、是分式，不是多项式，故此选项不符合题意； D、是等式，不是多项式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查多项式的定义，正确把握多项式的定义是解题的关键． 【技巧归纳】 1、几个单项式的和叫做多项式. 2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. 【变式3-1】在下列整式，，，中多项式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查多项式定义，根据多项式是几个单项式的和差理解，逐项验证即可得到答案，熟记多项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：整式，，，中多项式有，，共2个， 故选：B． 【变式3-2】在下列代数式：，，，，，中，多项式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】几个单项式的和叫做多项式，据此判断即可． 【详解】解：多项式有：，，，，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 【变式3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 【答案】(1)③④⑨ (2)①②③④⑤⑨ (3)②⑤ 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． （1）根据单项式的定义即可求解． （2）根据整式的定义即可求解． （3）根据二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨； 故答案为：③④⑨． （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； 故答案为：①②③④⑤⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：②⑤． 题型4利用多项式的相关概念求值 【例4】式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【答案】B 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式． 根据题意得出，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案 【详解】解：∵多项式是关于x的一次式， ∴， ∴， ∴a、b的值可能为1，2； 故选：B． 【技巧归纳】 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出 方程的解即可. 【变式4-1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于的三次三项式，则m的值等于（   ） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查整式中的多项式的有关概念．根据多项式中的每个单项式叫做多项式的项、这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数解答即可． 【详解】解：因为多项式是关于，的三次三项式， 所以，， 所以． 故选：B． 【变式4-2】多项式是关于的二次三项式，则取值为（      ） A．3 B． C．3或 D．或1 【答案】B 【分析】根据题意可得：且，即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且且， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键． 【变式4-3】多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求______． 【答案】 【分析】本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，根据题意，则，求出，，即可． 【详解】∵是关于的三次四项式，二次项系数是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型5 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 【例5】已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数为b，c是最小的正整数，求的值． 【答案】16 【分析】根据多项式是五次四项式，可得，，由单项式的次数为b，c是最小的正整数，得出，，代入即可得出答案． 【详解】∵多项式是五次四项式， ∴，． ∵单项式的次数为b，c是最小的正整数， ∴，， ∴． ∴的值为16． 【点睛】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义． 【技巧归纳】 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． 【变式5-1】已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】． 【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得的值，进而求得的值． 【详解】因为多项式是六次四项式， 所以，  解得． 因为单项式的次数与这个多项式的次数相同， 所以， 所以，解得． 故． 【点睛】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式的次数和项数是解题的关键． 【变式5-2】已知单项式与的次数相同． (1)求的值． (2)当时，求单项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于 m的方程，解方程即可求得m的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把x，y的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：因为，所以． 当，时，原式． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的值是解题关键． 【变式5-3】（25-26七年级上·湖南永州·期中）已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和，叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据多项式的定义可得，即可求解； （2）由题意可得，结合，求出即可求解． 【详解】（1）解：多项式是关于，的四次三项式， ， 解得； （2）多项式与单项式的次数相同， ， 又 ， ， ． 题型6 整式中结论开放性问题 【例6】请列举一个单项式，使它满足系数为负数，次数为3，含有字母a，b，单项式可以为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了单项式，要根据单项式系数和次数的定义来写，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数的和是单项式的次数． 【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个系数为负数，次数为3，含有字母a，b的单项式可以写为：． 故答案为：（答案不唯一） 【技巧归纳】 本题考查了单项式的系数和项数，多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 【变式6-1】写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①与是同类项；②系数和次数互为相反数．这个单项式是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了同类项，单项式，相反数．根据同类项的定义、单项式的系数、次数的定义解答即可． 【详解】解：满足条件的单项式是， 故答案为：． 【变式6-2】有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：　 　． 【答案】x3+y3（答案不唯一）． 【分析】根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解． 【解答】解：多项式x3+y3中x3的次数为3，y3的次数为3． 故答案为：x3+y3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 【变式6-2】写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件： （1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母． 【分析】根据题意，所写多项式符合4个条件即可． 【详解】解：根据题意得出：ab4+ab3+a3b2+a4b． 【点睛】此题主要考查了多项式的定义，熟练根据多项式定义得出是解题关键． 题型7 单项式中的规律探究问题 【例7】（25-26七年级上·湖南常德·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第2025个单项式是_______． 【答案】 【分析】此题考查数字类规律探究，观察单项式的系数和指数的变化规律，系数是序数的平方，指数是序数加1，据此解答． 【详解】由题意得，第个单项式的系数为，次数为， 因此第个单项式为， 当时，系数为，次数为， 故第2025个单项式为， 故答案为：． 【技巧归纳】 对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 【变式7-1】【观察与发现】 ，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)； (2)；系数为：，次数为： 【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为： 的指数依次为： 故第7个单项式是： 第8个单项式是： （2）解：由（1）可得出第个单项式为： 故第个单项式是：，它的系数为：，次数为： 【点睛】本题是以单项式为背景的规律题目．确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 【变式7-3】观察下列单项式：，，，，，，写出第个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？ (4)请你根据猜想，写出第2020个，第2021个单项式． 【答案】(1)，3，，7，，，39，；连续的奇数 (2)从1开始的连续的整数 (3) (4)； 【分析】（1）根据题目中的单项式，依次写出这组单项式的系数及其绝对值即可解决此问； （2）根据题目中的单项式，可以写出这组单项式的次数就可以得出规律； （3）根据（1）和（2）中的发现，可以写出第个单项式； （4）根据（3）中的猜想可以写出第2020个，第2021个单项式． 【详解】（1）解：（1）一组单项式：，，，，，，， 这组单项式的系数依次为，3，，7，，，39，，绝对值规律是从1开始的连续的奇数； （2）解：一组单项式：，，，，，，， ∴这组单项式的次数的规律是从1开始的一些连续的整数； （3）解：根据上面的归纳，猜想出第个单项式是； （4）解：当时，这个单项式是； 当时，这个单项式是． 【点睛】本题考查单项式规律变化、单项式系数和次数，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，写出相应的单项式． 题型8 多项式中的规律探究问题 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）已知多项式，则第100项是_____，第2007项是_____，第n项是_______． 【答案】 （为奇数）或（为偶数） 【分析】本题考查单项式规律探究，总结归出规律是解题的关键，难度不大． 各项的符号一负一正相隔出现，第奇数项含字母，系数是负数，指数是系数的绝对值；第偶数项含字母，系数是正数，指数是系数的绝对值，分情况讨论：当为奇数；当为偶数． 【详解】解：， 第100项是，第2007项是， 分情况讨论： ①当为奇数，第项是； ②当为偶数，第项是． 故答案为：；；（为奇数）或（为偶数）． 【技巧归纳】 对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 【变式8-1】有一组多项式：，，，，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第个多项式为________． 【答案】 【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n个多项式即可． 【详解】解：根据题意， ∵，，，，．．．， ∴第n个多项式为：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键． 【变式8-2】有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去． （1）写出它的第六项和最后一项； （2）这个多项式是几次几项式？ 【答案】（1）， ；（2）10次11项式． 【详解】试题分析：（1）根据多项式的项可以得到奇数项是正，偶数项是负，b的指数是项的序号减去1，而每项的指数都是10，据此即可判断． （2）根据（1）的规律应该有11项，每项的次数都是10． 试题解析：(1)第六项：−a5b5，最后一项：b10； (2)十次十一项式. 点睛：本题考查了多项式的有关概念，解题的关键是要理解多项式的项、次数、项数等概念的意义. 【变式8-3】（2024七年级上·全国·专题练习）观察多项式的构成规律，并回答下列问题： (1)它的第100项是什么？ (2)它的第为正整数项是什么？ (3)当时，求前2014项的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式规律探究， 弄清题中规律是解本题的关键 ． （1） 根据多项式得出规律， 确定出第 100 项即可； （2） 写出得出的规律即可； （3） 把代入多项式计算即可求出 ． 【详解】（1）解：根据题意得： 第 100 项为； （2）解：根据题意得： 第项为； （3）解：把代入得：个相加 ． 题型9判断两单项式是否同类项 【例9】（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 【技巧归纳】 ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【变式9-1】（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 【变式9-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A中，和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项； ∵ 选项B中，与所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项； ∵ 选项C中，与所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项； ∵ 选项D中，所含字母为m，所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项． 【变式9-3】下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 题型10 由同类项的定义求值 【例10】如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项中所含字母相同，且相同字母的指数相等列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项，同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数相等， ∴两个单项式中的指数均为，的指数相等， ∴可列方程，移项、合并同类项得，解得． 【技巧归纳】 主要利用的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，根据题意得到关于某个字母的方程求解即可． 【变式10-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知与是同类项，那么的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项中相同字母的指数相等的性质，列方程求解m和n的值即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数分别相等，即，， 解得，． 故选：A． 【变式10-2】若与是同类项，则的值为______． 【答案】 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：与是同类项， ，， ． 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·暑假作业）若单项式与是同类项，则________，________． 【答案】 / 1 【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，列出关于和的方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， 解得，． 题型11判断合并同类项的正误 【例11】（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 【技巧归纳】 根据合并同类项的法则判断合并同类项的正误即可. 【变式11-1】下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴A选项错误； B、 ∵与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴B选项错误； C、∵， ∴C选项正确； D、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并， ∴D选项错误． 【变式11-2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断是否为同类项，再根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，计算判断即可． 【详解】解：选项A：，计算正确，符合题意； 选项B：与所含字母不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 选项C：与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 选项D：，原计算错误，不符合题意． 【变式11-3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B计算错误，不符合题意； 选项C中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C计算错误，不符合题意； 选项D中，与是同类项，合并得，计算正确，D符合题意． 题型12 由合并同类项的法则求值 【例2】若单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵单项式与的和仍然是一个单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， 可得 ，， 解得 ，， ∴ ． 【技巧归纳】 根据合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.利用合并的系数特点来解决问题. 【变式12-1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）若整式与的差是单项式，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查同类项的定义，代数式求值，整体思想的运用，掌握同类项的定义是做题的关键．所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，得出，进一步得，最后整体代入求值即可． 【详解】解：由题意可知，与是同类项， ， ， ． 故选：A． 【变式12-2】如果单项式与单项式可以合并为一个单项式，请你求出、与的值． 【答案】m为任意实数， 【详解】本题考查同类项的定义，代数式求值，同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． 根据题意可得单项式与单项式为同类项，从而得到m为任意实数，，即可求解． 解：∵单项式与单项式可以合并为一个单项式， ∴单项式与单项式为同类项， ∴m为任意实数，， ∴m为任意实数，． 【变式12-3】如果两个关于x，y的单项式与是同类项（其中）． (1)求a的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同类项，合并同类项，熟练掌握同类项的定义，是解题的关键： （1）根据同类项的定义，得到，进行求解即可； （2）根据两个同类项的和为0，则两个同类项的系数之和为0，得到，整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）∵这两个单项式的和为零， ∴， ∴， ∴． 题型13 合并同类项的计算 【例13】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查合并同类项： （1）根据合并同类项的法则进行计算即可； （2）根据合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【技巧归纳】 “合并同类项”的步骤： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 【变式13-1】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式13-2】 （25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据合并同类项法则可求解； （2）根据合并同类项法则可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式13-3】（24-25七年级上·四川遂宁·期中）化简下列式子： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减．熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． （1）把同类项合并即可； （2）把同类项合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型14 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例14】（24-25七年级上·湖南永州·阶段检测）将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的降幂排列，搞清每项中x的次数是求解本题的关键．先确定各项中x的次数，再按从高到低排列即可． 【详解】解：多项式按x的降幂排列为， 故选：B． 【技巧归纳】 确定排序字母，拆分所有项并带符号； 标出各项该字母次数，无该字母为 0 次； 指数从大到小为降幂，从小到大是升幂。 【变式14-1】多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，各项以和的形式组成多项式（有时加号省略不写），所以在升幂或降幂排列时，各项要保持自己原有的符号．根据升幂排列的定义，将多项式的各项按照x的指数从小到大排列起来． 【详解】解∶多 项式按x的升幂排列为， 故选∶C． 【变式14-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）多项式按的降幂排列为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式的降幂排列，根据x的指数从高到低排列即可． 【详解】解：多项式按的降幂排列为． 故答案为： 【变式14-3】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 【答案】(1)十次十一项式 (2)第七项是，第八项是 【分析】本题考查了数字类变化规律，多项式的有关概念，解题的关键是要理解多项式的项、次数、项数等概念的意义． （1）该多项式按a的降幂排列，共十一项，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号，根据规律即可得解； （2）结合（1）的规律即可得这个多项式的第七项和第八项． 【详解】（1）解：这个多项式是按a的降幂排列的，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号； 所以这个多项式是十次十一项式； （2）解：由多项式的规律得，第项是， 所以这个多项式的第七项是，第八项是． 题型15代数式的化简求值 【例15】先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先合并同类项，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 【技巧归纳】 先对原式进行合并同类项的化简，再把数值代入到化简后的式子求值即可，在代入时若数值是负数，要加上括号． 【变式15-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】将原式化简后代入求值即可． 【详解】解： 将代入得：． 【变式15-2】（24-25七年级上·北京石景山·期中）化简求值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值．首先根据合并同类项的法则合并同类项可得：原式，再把代入化简后的代数式计算求值即可， 【详解】解： ， 当时， 原式， ． 【变式15-3】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）求多项式的值，其中． 【答案】35 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先根据整式的加减运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）整式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数与次数的定义，根据系数为单项式中的数字因数（含这类常数），次数为所有字母的指数之和即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据单项式系数和次数的定义： ∵单项式的系数是其数字因数，此整式的数字因数为， ∴该整式的系数为， ∵单项式的次数是所有字母的指数和，的指数为，的指数为， ∴该整式的次数为， 故选：． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 3．（25-26七年级上·湖南永州·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．9是单项式 C．与不是同类项 D．是二次三项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数、定义、同类项和多项式的次数，需逐项判断. 【详解】解：A: ∵ 单项式 的系数是，不是，∴ A错误； B: ∵ 9是常数，属于单项式，∴ B正确； C: ∵ 和都含有相同字母且指数相同，是同类项，∴ C错误； D: ∵ 中最高次项 的次数为3，∴ 是三次三项式，不是二次三项式，∴ D错误； 故选：B. 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）关于多项式，下列说法中正确的是（    ） A．它是五次三项式 B．它的最高次项的系数是4 C．它的常数项是1 D．它是三次三项式 【答案】D 【分析】本题考查多项式的相关定义，需根据多项式的次数、项数、最高次项系数、常数项的定义逐一分析选项 【详解】解：∵多项式由、、这三个单项式组成， ∴它是三项式， ∵其中次数最高的项是，次数为，最高次项的系数是，常数项是， ∴A选项（五次三项式）错误．B选项（最高次项系数是4）错误．C选项（常数项是1）错误．D选项（三次三项式）正确， 故选：D． 5．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式按某一字母降幂排列的定义，即把多项式各项按该字母的指数从大到小的顺序排列，不含该字母的项放在最后． 【详解】解：∵多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的指数从大到小排列，不含a的项排在末尾， 又∵各项中a的指数分别为：中不含字母a，中a的指数为3，中a的指数为2，中a的指数为1， ∴按a的降幂排列为：， 故选：D． 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）下列结论正确的是（　　） A．的系数是1，次数是2 B．是二次二项式 C．多项式是按照的降幂排列 D．的系数是2，次数是3 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的系数、次数及项数的概念．掌握单项式的系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母指数的和；多项式的次数是最高次项的次数，常数项是不含字母的项是解题的关键． 根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，不是1，∴ A错误； B、多项式的最高次项次数为1，不是二次式，∴ B错误； C、多项式中a的指数从2到1到0，是降幂排列，∴ C正确； D、单项式的系数是，不是2，∴ D错误， 故选：C． 7．如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 【答案】D 【分析】根据二次三项式的定义，可知多项式的最高次数是二次，共有三项，据此列出n的关系式，从而确定m、n满足的条件． 【详解】解：∵多项式是关于a的二次三项式， ∴且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0． 8．（22-23七年级上·湖南永州·期中）在代数式，中属于整式的有_______个． 【答案】4 【分析】根据单项式和多项式统称为整式即可进行解答． 【详解】解：是整式，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了整式的定义，解题的关键是熟练掌握整式的定义．单项式和多项式统称为整式． 9．（24-25七年级上·全国·单元复习）关于、的多项式是四次二项式，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，熟练掌握多项式的次数和项数的定义是解决本题的关键．根据多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【详解】解：由题意，得当，时，，原多项式为； 当时，，原多项式为， 综上所述，m的值为2或， 故答案为：2或． 10．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与单项式的和仍然是单项式，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义、合并同类项、代数式求值，掌握以上知识是解答本题的关键； 两个单项式的和仍是单项式，则它们必须是同类项，即相同字母的指数相等，进而求出、，然后即可求解； 【详解】解：∵ 单项式 与 的和是单项式， ∴ 它们是同类项， ∴的指数相等，即 ；的指数相等，即， ∴， 故答案为：； 11．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）已知请你根据以上规律写出第2025个式子是______． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式规律探索，根据题意找出规律，根据此规律进行解答是解答此题的关键．根据题意找出规律为当n为奇数时，第n个单项式为；当n为偶数时，第n个单项式为；根据此规律即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴当n为奇数时，第n个单项式为；当n为偶数时，第n个单项式为； 根据以上规律第2025个式子是， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·吉林通化·期中）有这样一道题：“当，时，求代数式：的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件，是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？ 【答案】 小明的说法有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减法，其运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项；掌握整式加减的运算法则是解题关键．原式合并同类项得到最简的结果，即可进行判断． 【详解】解：原式， 结果与，的取值无关，所以题中给出的条件“，”是多余的， 故小明的说法有道理． 13．（24-25七年级上·天津·期中）若关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中无关类型，正确的求得的值是解题的关键．先合并同类项，根据不含三次项，得出m、n的值，进而即可求解． 【详解】解： ， ∵关于x，y的多项式不含三次项， ∴，， 解得，， ∴． 14．已知，代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a、b的值． 【答案】 【分析】先合并同类项，再根据题意列式计算即可； 【详解】原式=， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得， 所以； 【点睛】本题主要考查了整式加减运算中无关型问题，准确计算是解题的关键． 15．已知多项式的次数是a，单项式与单项式是同类项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数以及同类项的定义，解题的关键是准确理解多项式次数和同类项的概念并据此求出相关字母的值。 先根据多项式次数的定义求出的值，再依据同类项的定义求出和的值，最后代入代数式计算。 【详解】解：多项式的次数是6，即． 因为单项式与单项式是同类项， 所以， 所以． 16．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知单项式与单项式是同类项，是多项式的次数． (1)______，______，______； (2)若关于的二次三项式的值是3，求代数式的值． 【答案】(1)1；3；2 (2)2022 【分析】此题考查同类项的定义，多项式的次数的定义，已知代数式的值求整式的值，根据同类项的定义，多项式的次数的定义列式计算是解题的关键； （1）根据同类项的定义可得，根据多项式的次数的定义可得，即可求出a，b，c的值； （2）先求出，再整体代入变形后的代数式即可． 【详解】（1）解：单项式与单项式是同类项， ， 解得， c是多项式的次数， ， （2）解：由（1）可得：， ， ， 代数式的值为． 18．先合并同类项，再求值． (1)，其中； (2)，其中，，； (3)已知，求多项式的值． 【答案】(1)， (2)，1 (3)， 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． （1）先计算整式的加减，再将代入计算即可得； （2）先计算整式的加减，再将的值代入计算即可得； （3）先计算整式的加减，再根据绝对值和偶次方的非负性可求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ， 将代入得：原式． （2）解：原式 ， 将，，代入得：原式． （3）解：原式 ， ∵， ∴， ∴， 将代入得：原式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $