【第二章 代数式 04讲 整式的加法与减法】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年湘教版数学七年级上册

第二章 代数式 04讲 整式的加法与减法 目录 【知识点1. 去括号法则】………………………………………………………… 1 【知识点2. 整式加减的运算法则】……………………………………………… 3 【题型1. 去括号】………………………………………………………………… 5 【题型2. 添括号】………………………………………………………………… 5 【题型3. 整式的加减运算】……………………………………………………… 6 【题型4. 整式加减中的化简求值】……………………………………………… 8 【题型5. 带有字母的绝对值化简问题】………………………………………… 9 【题型6. 整式加减中的无关型问题】…………………………………………… 10 【题型7. 整式加减的应用】……………………………………………………… 11 【课后作业】………………………………………………………………………… 13 知识清单 1、去（添）括号法则 1）括号前是“+”，可以直接去掉括号，原括号里各项符号都不变； 2）括号前是“－”，去掉括号和它前面的“－”时，原括号里各项符号均要改变； 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 巩固基础 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了去括号和添括号，根据去括号和添括号法则运算即可判断求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形正确，符合题意； 故选：． 3．下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D． 4．下列各式去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了去括号法则，根据去括号法则逐一判断即可，解题的关键是正确掌握括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 5．与的结果相等的是 （   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式的加减运算，根据加法交换律和添括号法则，进行判断即可． 【详解】解：； 故选B． 6．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选D． 7．如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（   ） A．2 B． C．8 D． 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得，则． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．去括号： ． 【分析】本题考查了去括号法则，如果括号前是正号，去掉括号和括号前面的正号，括号里面各项符号不变；如果括号前是负号，去掉括号和括号前面的负号，括号里面各项符号改变．解决本题的关键是根据去括号的法则去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．化简： ． 【分析】本题考查了整式的加减．去括号，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．化简的结果是 ． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则逐步化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．已知，则 ． 【分析】本题考查了代数式的代入求值，掌握整体思想是关键． 根据题意，，代入求值即可． 【详解】解：，且， ∴原式， 故答案为：11 ． 12．已知代数式的值是，则代数式的值是 ． 【分析】本题考查代数式求值，添括号，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：当时， 原式， 故答案为：． 知识清单 2、整式加减的运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，具体步骤为： ① 将同类项找出，并放一起； ② 合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项； （2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项； （3）计算多项式的减法时，一般先把减法转化为加法； （4）习惯上将最后的结果按某字母进行降幂进行。 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式， ， 解：原式                        解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 直击考点 题型1：去括号 例1．去括号后应得（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查去括号的方法：若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 根据去括号法则求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查合并同类项，去括号，熟练掌握合并同类项和去括号法则是解题的关键． 根据合并同类项法则计算并判定A、C；根据去括号法则计算并判定B、D即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 例3．计算： ． 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则计算即可，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．下列式子中去括号错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键．当括号前是“”号时，去掉括号和前面的“”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“”号时，去掉括号和前面的“”号，括号内各项的符号都要变号．根据去括号的法则进行计算即可． 【详解】解：A、，去括号正确，不符合题意； B、，去括号错误，符合题意； C、，去括号正确，不符合题意； D、，去括号正确，不符合题意； 故选：B． 变式2．下列各题去括号不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．根据去括号与添括号的法则逐一计算即可． 【详解】解：A、，故本选项去括号正确，不符合题意； B、，故本选项去括号不正确，符合题意； C、，故本选项去括号正确，不符合题意； D、，故本选项去括号正确，不符合题意． 故选：B． 变式3．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据去括号的法则，依次计算，即可求解， 本题考查了去括号的法则，解题的关键是：熟练掌握去括号法则． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意， B、，该选项错误，不符合题意， C、，该选项错误，不符合题意， D、，该选项正确，符合题意， 故选：D． 变式4．计算： ． 【分析】先根据去括号法则化简，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型2：添括号 例1．下列各等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了去括号和添括号法则，根据去括号和添括号法则逐个判断即可，能熟记去括号和添括号法则的内容是解此题的关键． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：A． 例2．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了添括号．添括号的法则：添括号时，括号前是正号，括到括号里面的各项不改变符号；添括号时，括号前是负号，括到括号里面的各项符号都改变．解决本题的关键是根据添括号的法则添括号． 【详解】解：A、根据添括号的法则可知：，故A选项错误； B、根据添括号的法则可知：，故B选项错误； C、根据添括号的法则可知：，故C选项错误； D、根据添括号的法则添括号可得：，故D选项正确． 故选：D． 例3．在括号里填上适当的项： （1）( )； （2）( )． 【分析】本题考查的知识点是添括号，解题关键是熟练掌握添括号法则：“如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要变号”．根据添括号法则进行解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． 变式1．在等式1－中，括号里应填（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了添括号问题，根据减法的性质可知，减法后加括号去括号都是要变号的法则解答即可，熟练掌握添括号法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵ ∴括号里应填：， 故选：． 变式2．已知，则括号里的式子是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查添括号法则，解答此题的关键是熟练掌握添括号法则：添的括号前是正数时，被括到括号里的各项的符号都不变，添的括号前是负数时，被括到括号里的各项的符号都改变． 根据添括号法则解答即可，注意符号变化． 【详解】解：根据题意将添括号，， 故选：C． 变式3．在括号内填上恰当的项：（ ） 【分析】本题考查了整式的加减-添括号，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．根据添括号的方法进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式4．添括号：( )． 【分析】本题考查添括号法则，添括号时，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号．根据该法则即可解答． 【详解】解：． 故答案为： 题型3：整式的加减运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4：整式加减中的化简求值 例1．先化简，再求代数式的值，其中，． 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用整式加减的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 例2．先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 变式1．已知，求的值 【分析】本题考查了绝对值的非负性、整式的加减、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据绝对值的非负性求出和，化简代数式，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∵，， ∴，， 解得：，， ， 当，时， ． 变式2．先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，根据相反数的定义和非负数的性质求出的值，再代值计算即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵和互为相反数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 当，时，原式． （2）解： ， ∵， ∴原式． 变式3．化简并求值：已知，，．当，时，求的值． 【分析】本题考查了整式的加减，整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， 当，时， ． 题型5：带有字母的绝对值化简问题 例1．a、b、c是有理数且，则的值是（   ）． A． B．3或 C．或1 D．或 【分析】首先根据题意可知、、均不为0，再分两种情况即可分别求得、、的值，再分两种情况即可求得其值．本题考查了去绝对值符号法则，代数式求值问题，分类讨论是解决本题的关键． 【详解】解：、、是有理数且， 、、均不为0， 当时，，当时，，、同理， ， 、、中，一负两正或都是负数， 当、、三个数中一负两正时，原式， 当、、三个数都是负数时，原式， 故选：C． 例2．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0，________0，________0； (2)若，则________． (3)计算：． 【分析】（1）根据数轴判断a、b、c的符号和绝对值，进而即可判断各式的符号； （2）根据绝对值的意义，进行求解即可； （3）先去绝对值，再去括号计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴；；；； 故答案为：，，，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ． 变式1．已知a，b是有理数，且，请求出的值为（      ） A． B．2 C． D．1 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘除、代数式的求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得，，，根据a，b的正负性讨论和的值，再结合得出a，b的正负性，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， ， ，， ，， ， ． 故选：D． 变式2．如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 变式3．已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【分析】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 题型6：整式加减中的无关型问题 例1．已知两个多项式：，． (1)求：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 【分析】本题考查了多项式的化简求值以及与字母取值无关的问题，解题的关键是熟练运用去括号，合并同类项法则进行化简． （1）利用整式加减运算法则，先去括号，再合并即可； （2）再根据（1）中化简的式子的值与取值无关求出的值． 【详解】（1）解：， 已知，将其代入可得： ； （2）解：由（1）得到式子， 因为该式子的值与的取值无关，这意味着含有的项的系数为0， 即， 解得． 变式1．已知多项式的值与x的取值无关，求多项式的值． 【分析】本题考查了整式的加减—无关题型、求代数式的值，先去括号，再合并同类项即可化简，根据题意得出，，再代入所求式子计算即可得解． 【详解】解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 变式2．已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 变式3．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． (1)求代数式的值； (2)若多项式中不含项，求k的值． 【分析】本题考查了代数式求值，相反数，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据相反数，倒数，绝对值的意义可得，，，然后分两种情况进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后根据题意可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时，； 当时，； 代数式的值为4或； （2）解：，， ， 多项式中不含项， ， 解得：， 的值为． 题型7：整式加减的应用 例1．图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 【分析】本题主要考查对日历中数字规律的观察与应用，以及整式的加减运算和倍数的判断．准确把握日历数字的排列规律是解题的关键．本题通过观察日历表中数字的排列规律，以位置2上的数字为基础，分别分析其余位置数字与x的关系．再将四个位置数字相加，判断其是否为4的倍数，从而确定每个结论的正确性． 【详解】解：设位置2上的数字为x， 则位置1上的数字为；故①错误， 位置4上的数字为，故②正确， 位置3上的数字为；故③错误， 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故④正确． 故选：B． 例2．如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重叠的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，理解题意，找到三根木棒长度间的等量关系是解答的关键．设乙的长度为a公尺，根据题意得甲的长度为：公尺；丙的长度为：公尺，根据甲与乙重叠的部分长度乙与丙重叠的部分长度乙的长度列等量关系即可求解． 【详解】解：设乙的长度为a公尺， ∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺， ∴甲的长度为：公尺；丙的长度为：公尺， ∴甲与乙重叠的部分长度为：公尺；乙与丙重叠的部分长度为：公尺， 由图可知：甲与乙重叠的部分长度乙与丙重叠的部分长度乙的长度， ∴， 整理，得， 解得 ∴乙的长度为：公尺， 故选：A． 例3．如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【分析】本题考查代数式求值，列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据周长的定义求解； （2）利用（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：由图形可得阴影部分的周长为 （米）． （2）解：当时， （米）， （元）． 答：围栏的造价是2700元． 变式1．将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，首先设，则有，，根据矩形的面积公式可以用含的代数式分别表示出、，再利用整式的加减法求出即可． 【详解】解：如下图所示， 设， 则，， ，， ． 故选：A． 变式2．对于依次排列的整式，对任意相邻的两个整式求和，所得结果写在这两个整式之间，可以产生一列新的整式，称此为1次“合美操作”．例如：对于9，2进行1次“合美操作”得到9，11，2；对于9，2连续进行2次“合美操作”得到9，18，11，13，2；对于依次排列的5个整式，，，，，连续进行次“合美操作”后得到一列新的整式，关于所得的一列新的整式，下列说法： ①当时，这一列新的整式中共有17个整式； ②当时，这一列新的整式中有一个整式为； ③存在正整数，使得这一列新的整式中所有整式之和为； 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查定义新运算．根据给定的“合美操作”的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：①当时，，，，，，，，，，共个整式； 当时，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个整式，①正确； ②类比时，整式里有：，，，， 可知：当时，这一列新的整式中有一个整式为，②正确； ③当时，所有整式和： ， 当时，所有整式和： 整理得：， 由题意得：， 解得， ∴存在正整数，使得这一列新的整式中所有整式之和为；③正确； 综上，①②③都正确； 故选：D． 变式3．某市需要对一个综合展厅铺设地板砖，为了保证工程质量和进度，现有3家工程队同时施工，经过一段时间后，甲工程队铺设瓷砖面积，乙工程队所铺设的瓷砖面积比甲工程队铺设面积的多，丙工程队所铺设的瓷砖面积比甲工程队的2倍少． (1)甲、乙、丙三个工程队共铺设瓷砖面积多少平方米？ (2)如果铺设地砖面积的总工程量是，当时，他们完成任务了吗？ 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，有理数的混合运算等知识点，正确列代数式是解题的关键． （1）先列代数式，再进行整式的加减计算即可； （2）将代入（1）中化简得到的代数式，进行求值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，乙工程队铺设瓷砖面积为：， 丙工程队铺设瓷砖面积为：， 则甲、乙、丙三个工程队共铺设瓷砖面积为：； （2）解：把代入中， 得， 因为， 所以当时，他们没有完成任务． 课后作业 一、单选题 1．（2025·河北唐山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在到之间的是（   ） ，，，． A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，相反数的定义，有理数的加法和减法运算，根据数轴得出，再逐个判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可以知道：， ∴， ∴，符合题意； ∵， ∴， ∴，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意， 故选：． 3．（2025·浙江·模拟预测）某早餐店每天都要采购豆奶、牛奶和果汁三种饮品，其中豆奶瓶数是牛奶瓶数的2倍，豆奶、牛奶的采购价分别为2元/瓶、5元/瓶．若采购的总费用只与三种饮品的总瓶数有关，与三种饮品的瓶数比例变化无关，则果汁的采购价为（   ） A．2元/瓶 B．3元/瓶 C．5元/瓶 D．7元/瓶 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题；设牛奶买了x瓶，果汁买了y瓶，果汁的采购价为z元/瓶，则豆奶买了瓶，根据总费用只与总瓶数有关，列出方程即可求解． 【详解】解：设牛奶买了x瓶，果汁买了y瓶，果汁的采购价为z元/瓶，则豆奶买了瓶， 由题意得：采购总费用只与总瓶数有关， 则，其中k为系数 即， 由于采购的总费用与三种饮品的瓶数比例变化无关， 则，， ∴； 即果汁的采购价为3元/瓶； 故选：B． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．原式正确计算结果为95，而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错，据此分析即可． 【详解】解：， 而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错， 则看错的情况可能共有：①看成，看成； ②看成，看成； ③看成，看成． 所以，看错的情况可能共有3种． 故选：C． 5．（2025·江苏南通·二模）已知多项式，当时，多项式的值为；当时，多项式的值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．取任意实数，都有 D．取任意实数，都有 【分析】本题主要考查了整数运算，正确理解题意是解题关键．根据题意，可知，，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，可有， 当时，则有， ∵， ∴， ∴，，故选项A、B错误，不符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，符合题意； ∵，故选D错误，不符合题意． 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，数轴上、两点分别对应实数、，有以下结论： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查有理数的运算，绝对值的性质，数轴上的点表示有理数， 根据题意可知，且，结合有理数的加法和乘法法则判断①②③；再根据题意可知，结合有理数的乘法法则判断④；然后根据数轴上点的位置可知，即可判断⑤；最后根据可知，可解答⑥． 【详解】解：根据题意可知，且， ∴， 所以①不正确，②不正确，③正确； ∵，， ∴， 所以④正确； ∵， ∴， 所以⑤正确； ∵， ∴， ∴， 所以⑥正确． 综上所述，正确的个数是4个． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且，若，，则正方形①的边长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 【分析】本题主要考查整式的加减，设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决． 【详解】解：设，正方形①边长为a，正方形②边长为b， ∵， 则图（1）中阴影部分的周长和为 ， ∵， 图（2）中阴影部分的周长和为 ， ∵， ， 解得：， 则正方形①的边长为， 故选：B． 8．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）有依次排列的两个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串；，2，，这称为第一次操作：将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，，2，，，……以此类推．第2024次操作后，得到的整数串中所有整式的和为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了整式的加减，数字规律的探索，代数式求值，正确找出其中规律是解题关键． 根据整式的加减运算法则算出前三次操作后整式和，得出第次操作后整式和为，将2024代入求值即可． 【详解】解：第一次操作后的整式串是：，2，， 第一次操作后整式和为：， 第二次操作后的整式串是：， 第二次操作后整式和为：， 第三次操作后的整式串是， 第三次操作后整式和为：， 第次操作后整式和为：， 第2024次操作后，得到的整数串中所有整式的和为， 故选：B． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把第二个等式两边乘以2，再用第一个等式减去第二个等式两边乘以2后的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故选：A． 10．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，用“十“字形框，任意套中年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了整式加减的应用，设这五个数最小的数为，列式求出五个数的和为，可知和一定是的倍数，据此判断即可求解，掌握整式的加减运算是解题的关键． 【详解】解：设这五个数最小的数为，则这五个数的和为 ， ∴和一定是的倍数， ∴和不可能是， 故选：． 二、填空题 11．（2025·湖北荆州·三模）去括号： ． 【分析】本题考查了去括号法则的应用， 当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（2025·湖北·模拟预测）已知，则的值是 ． 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，将变形为后，整体代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 13．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为： ， 故答案为：． 14．（2025·湖南娄底·三模）实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 根据数轴的性质可得，再根据绝对值的性质即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，即． 故答案为：． 15．（22-23七年级上·四川南充·期中）有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 【分析】本题考查绝对值的化简，整式的加减，有理数的乘法，数轴，熟练根据题意判断出数轴原点的位置是解题的关键．由图可知，由，得，再结合，则可知原点的大致位置，则可知，，，再化简绝对值，再进行整式的加减即可． 【详解】解：由图可知， ∵， ∴， 又∵， 则可知原点的位置大致为： 则可知，，， ∴ ， 故答案为：． 16．（2025六年级下·全国·专题练习）如图是两个正方形组成的图形（不重叠无缝隙），用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 【分析】本题考查了正方形的面积，三角形的面积，整式加减的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由图得，即可得到答案． 【详解】解：由图得， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个四位自然数M，各个数位上的数字均不为0，且各个数位上的数字均不相同．若这个数的前两位数加上这个数的后两位数，所得的和为66，则称四位数M为“顺意数”．如是“顺意数”，最大的“顺意数”是 ；若有一个“顺意数”N，这个数的前两位减去这个数的后两位，所得的差能被7整除，则满足条件的四位自然数N最大值为 ． 【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． 记，则根据题意可得，那么或，求出即可求解最大的“顺意数”； 最大的“顺意数”是5412，且满足能被7整除，即可判断5412即为最大的“顺意数”N． 【详解】解：记，则， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴或， 当，则， 要使得最大，当时，则， 而互不相同， 则最大为4，那么等于2； 当，则， 要使得最大，则，故舍， ∴最大的“顺意数”是5412， ∵最大的“顺意数”是5412，而能被7整除， ∴满足前两位减去这个数的后两位，所得的差能被7整除， ∴N最大值为5412，故答案为：5412，5412． 18．（24-25七年级上·四川南充·期中）若关于a、b的多项式与的和不含，则m的值是 ． 【分析】本题考查了多项式的和中不含某项的条件；求出多项式的和为，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 不含， ， 解得：， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·北京·期中）定义计算“”，对于两个有理数，，有，例如：，则 ， ． 【分析】本题考查新定义下的有理数的四则混合运算、整式的加减运算，理解新定义运算法则是解答的关键．根据新定义法则，结合有理数和整式的相关运算法则求解即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 故答案为：，． 20．（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ． 【分析】本题考查化简绝对值，两点间的距离，整式的加减运算，根据数轴判断数的大小，式子的符号，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：（1）由图可知：，， ∴， ∴原式； 故答案为：； （2）∵两数的倒数是他们自身， ∴， ∵表示数轴上表示的数到表示和的数的距离和， ∴当时，有最小值为：； 故答案为：；2； （3）由（2）知：当时，有最小值为， 当时，有最小值为， ∵， ∴，， ∴的最大值为3，的最大值为， ∴的最大值为：； 故答案为：7． 三、解答题 21. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知， (1)化简； (2)若，求的值． 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则进行化简， （2）根据题意可求出与的值，然后将与的值代入中即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ，， 当，时， ， ， ． 23．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）已知． (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【分析】本题主要考查了整式的加减的化简求值， 对于（1），将代数式代入，再根据整式的加减法法则计算； 对于（2），先代入，再根据整式的加减法法则计算，然后根据与y的值无关，得其系数为0，求出答案即可． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：因为， 所以 . 因为的值与y的取值无关，所以， 解得：． 24．（22-23七年级上·四川南充·期中）某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下： 解：原式． (1)求污损部分的整式； (2)当时，求污损部分整式的值． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求． （2）把与的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意可得，污损不清的部分为： ； （2）解：当时，原式． 25．（23-24七年级上·广西河池·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【分析】此题考查了代数式求值，化简绝对值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先化简绝对值得到，，然后由，，求出，，然后代入求解即可； （2）根据分两种情况讨论：，或，，然后分别代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵若，， ∴， ∴； （2）∵若， ∴，或， ∴当，时，； 当，时，． 26．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）某同学做一道数学题：两个多项式A，B．其中B为，试求，他误将“”看成“”，求出的结果为，求的值． 【分析】本题考查整式的加减，由题知，从而得到即可求出多项式A，进而即可求解． 【详解】解：由题知 27．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及代数式求值，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义直接计算即可求解； （2）①根据定义，求得；②根据定义求得，再根据题意取的最小值，代入代数式求值即可求解． 【详解】（1）解：，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． 故答案为： （2）解：①∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ②∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ∴， ∵ m，n均为不大于9的正整数，根据“互异数”的定义可得， 所以当时，最小，最小值为． 28．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 【分析】本题考查了化简含有绝对值的代数式，解题的关键是理解材料内容； （1）根据材料例题进行操作即可； （2）利用分内讨论的思想，当时；当时，；当时，进行讨论； （3）先求出，再取整数解即可． 【详解】（1）解：， ，， 和； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； （3）解：， ， 整数解为：，，，，，，． 29．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）如图是某体育中心游泳馆的设计方案图，半圆形休息区和小长方形游泳区以外的地方都是自由活动区域，各个区域的有关数据如图所示，其中，． (1)游泳区面积为______，休息区面积为________．（用含，的代数是表示，含有的保留） (2)若这个游泳馆的长与宽之间满足，现要求这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上才符合要求，请你通过计算及推理判断这个设计方案是否符合要求． 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据长方形和圆的面积公式列式计算即可； （2）先求出自由活动的区域，再表示出游泳馆总面积的，比较大小即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得： 游泳区面积为， 休息区面积为； （2）解：∵， ∴自由活动区域的面积为：， ， ， 故这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上，符合要求． 30．（24-25七年级上·河南商丘·期中）某超市在国庆假期期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 大于或等于200元但小于500元 八折优惠 大于或等于500元 其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠 根据以上优惠条件完成下列任务． (1)若王老师一次性购物600元，则他实际付款多少元？ (2)若王老师在该超市一次性购物x元，则当x大于或等于500元时，他实际付款多少元？（用含x的代数式表示） (3)若王老师两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元（），若两次分开付款，则王老师两次购物实际付款合计多少元？（用含a的代数式表示） 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式并计算求值是解本题的关键， （1）根据，500元部分按九折优惠计算，超过500元部分按八折优惠计算即可； （2）时，则500元部分按九折优惠计算，超过500元部分按八折优惠计算即可； （3）分别计算第一实际付款和第二次实际付款，再求实际总付款． 【详解】（1）解：， ， 实际付款为：（元）； （2）∵， ∴500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠 ∴实际付款为：（元）； （3）解：王老师第一次实际付款：元 王老师第二次实际付款：元， 两次购物实际付款为：（元）． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 代数式 04讲 整式的加法与减法 目录 【知识点1. 去括号法则】………………………………………………………… 1 【知识点2. 整式加减的运算法则】……………………………………………… 3 【题型1. 去括号】………………………………………………………………… 5 【题型2. 添括号】………………………………………………………………… 5 【题型3. 整式的加减运算】……………………………………………………… 6 【题型4. 整式加减中的化简求值】……………………………………………… 8 【题型5. 带有字母的绝对值化简问题】………………………………………… 9 【题型6. 整式加减中的无关型问题】…………………………………………… 10 【题型7. 整式加减的应用】……………………………………………………… 11 【课后作业】………………………………………………………………………… 13 知识清单 1、去（添）括号法则 1）括号前是“+”，可以直接去掉括号，原括号里各项符号都不变； 2）括号前是“－”，去掉括号和它前面的“－”时，原括号里各项符号均要改变； 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 巩固基础 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 5．与的结果相等的是 （   ） A． B． C． D． 6．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 7．如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（   ） A．2 B． C．8 D． 8．去括号： ． 9．化简： ． 10．化简的结果是 ． 11．已知，则 ． 12．已知代数式的值是，则代数式的值是 ． 知识清单 2、整式加减的运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，具体步骤为： ① 将同类项找出，并放一起； ② 合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项； （2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项； （3）计算多项式的减法时，一般先把减法转化为加法； （4）习惯上将最后的结果按某字母进行降幂进行。 巩固基础 1. 计算 直击考点 题型1：去括号 例1．去括号后应得（   ） A． B． C． D． 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．计算： ． 变式1．下列式子中去括号错误的是（   ） A． B． C． D． 变式2．下列各题去括号不正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4．计算： ． 题型2：添括号 例1．下列各等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．在括号里填上适当的项： （1）( )； （2）( )． 变式1．在等式1－中，括号里应填（   ） A． B． C． D． 变式2．已知，则括号里的式子是（　　） A． B． C． D． 变式3．在括号内填上恰当的项：（ ） 变式4．添括号：( )． 题型3：整式的加减运算 1. 计算 题型4：整式加减中的化简求值 例1．先化简，再求代数式的值，其中，． 例2．先化简，再求值：，其中，． 变式1．已知，求的值 变式2．先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 变式3．化简并求值：已知，，．当，时，求的值． 题型5：带有字母的绝对值化简问题 例1．a、b、c是有理数且，则的值是（   ）． A． B．3或 C．或1 D．或 例2．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0，________0，________0； (2)若，则________． (3)计算：． 变式1．已知a，b是有理数，且，请求出的值为（      ） A． B．2 C． D．1 变式2．如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 变式3．已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 题型6：整式加减中的无关型问题 例1．已知两个多项式：，． (1)求：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 变式1．已知多项式的值与x的取值无关，求多项式的值． 变式2．已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 变式3．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． (1)求代数式的值； (2)若多项式中不含项，求k的值． 题型7：整式加减的应用 例1．图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 例2．如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重叠的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（    ） A． B． C． D． 例3．如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 变式1．将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 变式2．对于依次排列的整式，对任意相邻的两个整式求和，所得结果写在这两个整式之间，可以产生一列新的整式，称此为1次“合美操作”．例如：对于9，2进行1次“合美操作”得到9，11，2；对于9，2连续进行2次“合美操作”得到9，18，11，13，2；对于依次排列的5个整式，，，，，连续进行次“合美操作”后得到一列新的整式，关于所得的一列新的整式，下列说法： ①当时，这一列新的整式中共有17个整式； ②当时，这一列新的整式中有一个整式为； ③存在正整数，使得这一列新的整式中所有整式之和为； 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3．某市需要对一个综合展厅铺设地板砖，为了保证工程质量和进度，现有3家工程队同时施工，经过一段时间后，甲工程队铺设瓷砖面积，乙工程队所铺设的瓷砖面积比甲工程队铺设面积的多，丙工程队所铺设的瓷砖面积比甲工程队的2倍少． (1)甲、乙、丙三个工程队共铺设瓷砖面积多少平方米？ (2)如果铺设地砖面积的总工程量是，当时，他们完成任务了吗？ 课后作业 一、单选题 1．（2025·河北唐山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在到之间的是（   ） ，，，． A． B． C． D． 3．（2025·浙江·模拟预测）某早餐店每天都要采购豆奶、牛奶和果汁三种饮品，其中豆奶瓶数是牛奶瓶数的2倍，豆奶、牛奶的采购价分别为2元/瓶、5元/瓶．若采购的总费用只与三种饮品的总瓶数有关，与三种饮品的瓶数比例变化无关，则果汁的采购价为（   ） A．2元/瓶 B．3元/瓶 C．5元/瓶 D．7元/瓶 4．（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．（2025·江苏南通·二模）已知多项式，当时，多项式的值为；当时，多项式的值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．取任意实数，都有 D．取任意实数，都有 6．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，数轴上、两点分别对应实数、，有以下结论： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且，若，，则正方形①的边长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 8．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）有依次排列的两个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串；，2，，这称为第一次操作：将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，，2，，，……以此类推．第2024次操作后，得到的整数串中所有整式的和为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，用“十“字形框，任意套中年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·湖北荆州·三模）去括号： ． 12．（2025·湖北·模拟预测）已知，则的值是 ． 13．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 14．（2025·湖南娄底·三模）实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 15．（22-23七年级上·四川南充·期中）有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 16．（2025六年级下·全国·专题练习）如图是两个正方形组成的图形（不重叠无缝隙），用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 17．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个四位自然数M，各个数位上的数字均不为0，且各个数位上的数字均不相同．若这个数的前两位数加上这个数的后两位数，所得的和为66，则称四位数M为“顺意数”．如是“顺意数”，最大的“顺意数”是 ；若有一个“顺意数”N，这个数的前两位减去这个数的后两位，所得的差能被7整除，则满足条件的四位自然数N最大值为 ． 18．（24-25七年级上·四川南充·期中）若关于a、b的多项式与的和不含，则m的值是 ． 19．（24-25七年级上·北京·期中）定义计算“”，对于两个有理数，，有，例如：，则 ， ． 20．（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ． 三、解答题 21. 计算 22．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知， (1)化简； (2)若，求的值． 23．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）已知． (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 24．（22-23七年级上·四川南充·期中）某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下： 解：原式． (1)求污损部分的整式； (2)当时，求污损部分整式的值． 25．（23-24七年级上·广西河池·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 26．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）某同学做一道数学题：两个多项式A，B．其中B为，试求，他误将“”看成“”，求出的结果为，求的值． 27．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 28．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 29．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）如图是某体育中心游泳馆的设计方案图，半圆形休息区和小长方形游泳区以外的地方都是自由活动区域，各个区域的有关数据如图所示，其中，． (1)游泳区面积为______，休息区面积为________．（用含，的代数是表示，含有的保留） (2)若这个游泳馆的长与宽之间满足，现要求这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上才符合要求，请你通过计算及推理判断这个设计方案是否符合要求． 30．（24-25七年级上·河南商丘·期中）某超市在国庆假期期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 大于或等于200元但小于500元 八折优惠 大于或等于500元 其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠 根据以上优惠条件完成下列任务． (1)若王老师一次性购物600元，则他实际付款多少元？ (2)若王老师在该超市一次性购物x元，则当x大于或等于500元时，他实际付款多少元？（用含x的代数式表示） (3)若王老师两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元（），若两次分开付款，则王老师两次购物实际付款合计多少元？（用含a的代数式表示） 18 学科网（北京）股份有限公司 $$