精品解析：福建省南平市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025—2026学年第二学期八年级综合性练习数学 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（　　） A. （1，0） B. （﹣1，0） C. （0，1） D. （0，﹣1） 5. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 7. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某中学举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 98，97 B. 98，96 C. 96，98 D. 96，97 9. 若一次函数的图象如图所示， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. y随x的增大而增大 D. 当时， 10. 在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点B在直线上，，，当最小时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 计算：＝_______． 12. 甲、乙两组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组数据方差的大小关系：________（填“”、“”或“”）． 13. 直线向下平移3个单位得到的直线解析式为________． 14. 如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 15. 一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与正方形交于A， B两点，与轴交于点D，若点，则的长为_________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 计算： 18. 如图，在中，，点是的中点．，．求证： 四边形是菱形． 19. 某村为美化人居环境 ，计划将村口一块四边形荒地改造为公园．如图，测得，，，， (单位：米）． （1）求的面积； （2）已知每平方米土地的改造费用为元，求改造这块荒地的费用． 20. 某科技研究部门为了解新设计的一款智能机器人的操作技能情况，将同一组动作与人工进行对比，智能机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制，单位：分）如下： 人工操作成绩：70，75，80，82，85，85，85，95，96，97 智能机器人操作成绩：86，87，88，89，90，90，91，93，93，93 平均数 下四分位数 上四分位数 四分位距 人工操作 85 80 95 h 智能机器人操作 m 88 n 5 （1）在上面表格中， __________， __________， __________； （2）为综合评价操作技能水平，行业采用如下评分规则：综合得分 平均成绩 (四分位距)，得分越高说明操作技能的综合表现越好．请通过完整计算，分别求出人工和智能机器人的综合得分，判断谁的操作技能综合表现更优． 21. 如图，是对角线． （1）在线段上求作一点E，连接，使得；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的大小． 22. 手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． （1）若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； （2）若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 23. 已知一次函数（k，b为常数，）． （1）当，时，在此范围内的函数最大值为3，求k的值； （2）当时，证明该函数图象经过一个定点，求出该定点的坐标． 24. 某校计划引入智能扫地机器人．八年级数学学习小组承接本次调研任务，通过实地测试、数据分析、方案比对，在有限采购预算下，设计出效率最优的扫地机器人采购方案，为学校采购决策提供依据． 学习小组根据商家提供的A型智能扫地机器人进行连续工作测试数据，推算出机器人扫地平均速度v（平方米/小时）与连续工作时间t（小时）存在变化规律．某一段时间内测试结果的图象如图所示，其中为匀速减缓工作阶段．时，机器人进入稳定工作状态，平均速度为n平方米小时．已知图象经过点，． （1）当时，求扫地平均速度v与工作时间t的函数关系式． （2）求机器人稳定工作状态时的平均速度n的值． （3）学校拟采购A、B两种型号智能机器人共4台，为节约设备损耗，所有机器人均采用稳定模式工作： ①A型机器人：单价万元台，稳定工作平均速度为n平方米小时； ②B型机器人：单价万元台，稳定工作平均速度为60平方米小时． 本次采购总预算不超过1万元，请求出扫地速度最快的采购方案，并说明理由． 25. 如图，以矩形的边，为腰，向外画和，使得，且． （1）求证：； （2）当矩形满足什么条件时，点关于直线对称，证明你的结论； （3）直线与直线相交于点G，当时，求证：四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期八年级综合性练习数学 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； B、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； C、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； D、对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符合题意． 故选：D． 2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式进行计算即可即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 在中，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（　　） A. （1，0） B. （﹣1，0） C. （0，1） D. （0，﹣1） 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数与y轴的交点可令即可求出. 【详解】解：当x＝0时，y＝x+1＝1， ∴一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（0，1）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与y轴的交点，会求一次函数与坐标轴的交点是解题的关键. 5. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是最简二次根式； B、的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式． 6. 如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，先求出正方形的面积，再开平方得到其边长． 【详解】解：如图， ∵小正方形面积分别为、， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的边长． 7. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质与运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：与不是同类二次根式，不能直接相加合并，结果不等于， B错误； 选项C：表示4的算术平方根，结果为正，， C错误； 选项D：根据二次根式乘法法则，当时，， ，D正确． 8. 某中学举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 98，97 B. 98，96 C. 96，98 D. 96，97 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98， 按照从大到小的顺序，第13个数据为96，故中位数为96； 故选：B． 9. 若一次函数的图象如图所示， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图象可得， 一次函数图象过第一、二、四象限，则，故选项A错误，不符合题意； 令，则，故选项B错误，不符合题意； y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意； 当时， ，故选项D正确，符合题意； 故选∶ D． 10. 在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点B在直线上，，，当最小时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据中点坐标的性质求出点E的坐标，进而根据垂线段最短即可求出点B坐标，进而即可求解． 【详解】解：如图，设对角线的交点为E， 则点E为的中点， ∵，， ∴， ∵最小时最小， ∴当垂直这条直线时，最小， ∴B点为， ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 计算：＝_______． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：． 12. 甲、乙两组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组数据方差的大小关系：________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据折线波动程度即可判断两组数据方差的大小． 【详解】解：由折线图知，甲组数据的波动程度大于乙组数据的波动程度，则甲组数据的方差大于乙组数据的方差． 13. 直线向下平移3个单位得到的直线解析式为________． 【答案】##y=-2+3x 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系内直线平移的规律即可求解 【详解】解：向下平移3个单位， 得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内直线的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 14. 如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中位线，等腰三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，不等式表示直线在直线上方（含交点）对应的的取值范围. 结合已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵的图象过点， ∴， 解得， ∴， 由题意得，不等式的几何意义是函数的图象位于函数的图象的上方（含交点）． ∵两个一次函数的图象交点为． ∴根据一次函数的图象性质可得，当时，满足． ∴不等式的解集为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与正方形交于A， B两点，与轴交于点D，若点，则的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点作轴于点，过作轴于点，，结合正方形的性质可证明，得到，，进而求出，再求出直线的解析式为，进而求出点坐标，连接，，根据正方形的性质，得到垂直平分，进而得到，即可得出结果. 【详解】解：如图，过点作轴于点，过作轴于点， 则， ， ， ，， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， ∴， 连接，，则垂直平分， ∴. 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式= =． 18. 如图，在中，，点是的中点．，．求证： 四边形是菱形． 【答案】证明：，点是的中点， ， ． ， ，． ， ， 四边形是平行四边形 ， 平行四边形是菱形 【解析】 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得 ，结合可得，根据已知可得得出四边形是平行四边形，由，即可得四边形是菱形． 【详解】略 19. 某村为美化人居环境 ，计划将村口一块四边形荒地改造为公园．如图，测得，，，， (单位：米）． （1）求的面积； （2）已知每平方米土地的改造费用为元，求改造这块荒地的费用． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，，即可求解； （2）先求出四边形的面积，再用面积乘以，即可求解． 【小问1详解】 解：，米，米， 米， ， ， ，， ， 是直角三角形，， ； 【小问2详解】 解：， ， 改造这块荒地的费用为元． 20. 某科技研究部门为了解新设计的一款智能机器人的操作技能情况，将同一组动作与人工进行对比，智能机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制，单位：分）如下： 人工操作成绩：70，75，80，82，85，85，85，95，96，97 智能机器人操作成绩：86，87，88，89，90，90，91，93，93，93 平均数 下四分位数 上四分位数 四分位距 人工操作 85 80 95 h 智能机器人操作 m 88 n 5 （1）在上面表格中， __________， __________， __________； （2）为综合评价操作技能水平，行业采用如下评分规则：综合得分 平均成绩 (四分位距)，得分越高说明操作技能的综合表现越好．请通过完整计算，分别求出人工和智能机器人的综合得分，判断谁的操作技能综合表现更优． 【答案】（1）90，93，15 （2）人工操作综合得分85分，智能机器人操作综合得分92分，智能机器人的操作技能综合表现更优 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式，上四分位数计算方法，四分位距的计算公式，进行计算即可； （2）根据题干信息分别求出人工操作综合得分和智能机器人的综合得分，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 智能机器人操作成绩从小到大排序为：86，87，88，89，90，90，91，93，93，93， 方法一：∵后5个数90，91，93，93，93的中位数是， ∴上四分位数为； 方法二：， ∵接近8， ∴上四分位数为第8个数， ∵第8个数为93， ∴上四分位数为：； 四分位距； 【小问2详解】 解：人工操作综合得分为：（分）， 智能机器人操作综合得分为：（分）， ∵， ∴智能机器人的操作技能综合表现更优． 21. 如图，是对角线． （1）在线段上求作一点E，连接，使得；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的大小． 【答案】（1）解：如图所示，点E即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的中垂线，交于点，则，故，三角形的外角的性质得到，故点即为所求； （2），等边对等角，结合直角三角形的两个锐角互余，列出方程求出，进而得到的度数，根据平行四边形的对角相等，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 由 （1）知， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴，解得， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 22. 手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． （1）若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； （2）若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【小问1详解】 解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 23. 已知一次函数（k，b为常数，）． （1）当，时，在此范围内的函数最大值为3，求k的值； （2）当时，证明该函数图象经过一个定点，求出该定点的坐标． 【答案】（1）或 （2）经过定点，证明如下： ∵， ∴， 将代入，得， ∴k是不为0的任意实数时，该图象必定经过定点． 【解析】 【分析】（1）：当时，，当时，y随着x的增大而增大，当时，一次函数取最大值3；当时，y随着x的增大而减小，当时，一次函数取最大值3，分别求出对应的k的值即可； （2）由得，再代入中，即可证明该函数图象经过一个定点． 【小问1详解】 解：当时，， ①当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，一次函数取最大值3， ∴，解得； ②当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，一次函数取最大值3， ∴，解得， 综上：或． 【小问2详解】 略 24. 某校计划引入智能扫地机器人．八年级数学学习小组承接本次调研任务，通过实地测试、数据分析、方案比对，在有限采购预算下，设计出效率最优的扫地机器人采购方案，为学校采购决策提供依据． 学习小组根据商家提供的A型智能扫地机器人进行连续工作测试数据，推算出机器人扫地平均速度v（平方米/小时）与连续工作时间t（小时）存在变化规律．某一段时间内测试结果的图象如图所示，其中为匀速减缓工作阶段．时，机器人进入稳定工作状态，平均速度为n平方米小时．已知图象经过点，． （1）当时，求扫地平均速度v与工作时间t的函数关系式． （2）求机器人稳定工作状态时的平均速度n的值． （3）学校拟采购A、B两种型号智能机器人共4台，为节约设备损耗，所有机器人均采用稳定模式工作： ①A型机器人：单价万元台，稳定工作平均速度为n平方米小时； ②B型机器人：单价万元台，稳定工作平均速度为60平方米小时． 本次采购总预算不超过1万元，请求出扫地速度最快的采购方案，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）采购A型机器人2台，B型机器人2台，扫地速度最快；理由如下： 设采购A型机器人x台，则采购B型机器人台（x为非负整数）， ∵总预算不超过1万元， ∴， 解得， 设机器人总扫地速度为y平方米/小时， 根据两种机器人工作速度得：， ∵，y随x的增大而增大，且x为非负整数， ∴当时，总扫地速度y取得最大值， 此时，（平方米小时）． ∴采购A型机器人2台，B型机器人2台，扫地速度最快． 【解析】 【分析】（1）当时，设v与t的函数的解析式为，再将，代入求解即可； （2）由图可得，当时，机器人的工作状态开始稳定； （3）设采购A型机器人x台，则采购B型机器人台，根据题意求出x的范围，再设机器人总扫地速度为y平方米小时，列出一次函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设v与t的函数的解析式为， 把点，代入解析式，得， 解得， ∴v与t的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由图可得，当时，， ∴机器人稳定工作速度； 【小问3详解】 略 25. 如图，以矩形的边，为腰，向外画和，使得，且． （1）求证：； （2）当矩形满足什么条件时，点关于直线对称，证明你的结论； （3）直线与直线相交于点G，当时，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中 ∴． （2）当矩形满足时，点E，F关于直线对称，证明如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴当时，， 又∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线，即点关于直线对称． （3）如图所示： ∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形和、是等腰三角形，可得，再结合，即可证明； （2）当矩形满足时，点E，F关于直线对称，连接，通过，来证明是的垂直平分线，即可证明点关于直线对称； （3）当时，可通过同旁内角互补证明，，从而证明四边形为平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $