20.1.1 二次根式的概念-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

第20章二次根式 第20章 二次根式 20.1 认识二次根式 第1课时 二次根式的概念 (7)√x2+1;(8)√-5x;(9)√-b. 基础导学 规律与方法：应从两方面判断一个式子是不 1.二次根式的定义：形如Wa(a≥0)的式子 是二次根式：一是看是否含有“√”，二是看被 叫做二次根式，√一叫做二次根号，a叫做被开 开方数是否是非负数. 方数. 【变式训练1】下列代数式中，一定是二次 2.二次根式有意义的条件 根式的是 () [当a≥0时，二次根式a有意义； A.√a+3 B.√-6 当a<0时，二次根式a无意义. C.√4 D.√3-元 3.二次根式√a的双重非负性：对二次根式 知识点②二次根式有意义的条件 √a,有：(1)≥0；(2) ≥0. 【例2】求x取什么数时，下列各式在实数 ★点拨：(1)二次根式的根指数为2，不能含 范围内有意义， 有“厂”等符号； (1)W/-2x+6;(2)√x-1-√4-x; (2)在二次根式中，被开方数a可以是一个 数，也可以是含字母的式子； (3)在二次根式中，被开方数a必须满足a ≥0，当a<0时，二次根式无意义. (3) 8;(4)--. √5x-3 典例探 究 知识点①二次根式的识别 【例1】下列式子中，哪些是二次根式？哪 些不是二次根式？ 规律与方法：要使二次根式有意义，则被开 (1)w2;(2)Wa;(3)W9;(4)5√3； 方数必为非负数.含有零指数和负整数指数的， 底数不为0；出现分母的，分母的值不为0. (5)5;(6)√(-2)2； 指南针·课堂优化·九年盘上群·数学(HS) 【变式训练2】 (西藏中考)若代数式 2.使2x-4有意义的x的取值范围在数轴上 √2一x有意义，则实数x的取值范围是() 表示为 () A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≤2 A十0十 B十0 知识点③ 二次根式的非负性 D.01 【例3】已知实数y满足y=一√足4+4乙 x-2 3代数式中有意义时，x应满足的条件为 一2x,求x的值， () A.x≠-1 B.x>-1 C.x<-1 D.x≤-1 4.已知y=√2x-5+√5-2x-3,则2xy的值 为 () A.-15 B.15 c号 n.号 规律与方法：对含两个未知数的方程，常从 5.(南京中考)若式子√x十1在实数范围内有意 题中挖掘隐含条件为解题的关键，二次根式中被 义，则x的取值范围是 开方数为非负数 6.(广元中考)若式子1 有意义，则实数x的 -3 【变式训练3】已知点P(x,y)在函数y= 是十反的图象上，那么点P在第 取值范围是 7.若a,b,c为三角形的三边，且a,b满足 象限 √a2-9+(b-2)2=0,则第三边c的取值范 【例4】已知实数a、b满足√a-2+(b 围是 5)2=0,则a+b= 8.当x为何值时，下列各式有意义？ 规律与方法：几个非负数的和为0，则每个非 负数都为0. (1)2 x; (2)W1-x-√x+1; 【变式训练4】已知|x-3+√y-6=0, (3)√-2x2; (4)V1-4z √W2x+1 那么以x,y为两边长的等腰三角形的周长 是 练 【基础过关】 1.已知下列各式：√a2十1，√x-3W7,√(x-1), √（兮），其中二次根式的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 第20章二次根式 9.若实数a、b满足(a+b-2)2+√b-2a十3=0， 第2课时二次根式的性质 求2b-a+1的值. 基础导学 二次根式的性质 (1)(a)2= (a≥0)，即一个非负数的 算术平方根的平方等于它本身. (2)√a2= (a≥0) (a<0)'即一 个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝 对值. 【能力提升】 典 例 探 究 10若。华有意义，则x的取值范围为 知识点①利用(Wa)2=a(a≥0)计算 【例1】 计算： 11.已知a,b,c是三角形的三边长，化简 ;(2)(-2√7)2； √(a-b-c)2-|b-a十c|的结果是 (3)(2√3)2-(3√2)2. 【创新探究】 12.若a满足关系式√3x+5y-a-2+ 规律与方法：利用(Wa)2=a(a≥0)的性质 √/2x+3y-a=√x+y-89·W89-x-y, 可计算形如(mvb)的式子，而逆用性质可把一个 试求a的值. 非负数变成一个数的平方. 【变式训练1】当x 时，（√x-3)2= x-33) 知识点②公式√a2=|a的应用 【例2】计算：(1)√（-)；(2)10； (3)√(3.14-)7；(4)V9x(x≤0)： (5)√(a-3)2(a≥3)； 4x2 (6√1-2x+x0<x<1D, 3指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步参考答案 第20章二次根式 2=号a-<0原式=+日-a=9 第2课时二次根式的除法 基础导学 20.1认识二次根式 【例3】原式=2x-1-|1-2.x=2x-1-(2x-1)=0. 【变式训练4】C【例4】-3a【变式训练5】A a 1.b >≥0，b>02.算术平方根的商√= 第1课时二次根式的概念 课后演练 基础导学 把二次根式被开方数中的分母化去3.分母 1.B2.D3.C4.C5.26.-0.01x-3 典例探究 3.(1)a(2Wa 7.3002a2 典例探究 号8179.10(2)1010.-5 【例1】(1)原式=2；(2)原式=26. 【例1】(1)、(3)、(4)、(6)、(7)是二次根式，而(8)、(9)只有当11.n=一14或-7或-2或512.4c 【变式训练1】(1)3(2)180(3)-2(4)6√15 x≤0和b=0时才是二次根式.【变式训练1】C 13.(1)√7+4W5=2十√5(2)√5-2W6=√3-√2 【例2】 x-2=1 9 【变式训练2】a≤3 【2】z<3:(21<<4:(3z>是： 20.2二次根式的乘除 【3】(号；(28)器 第1课时二次根式的乘法 (4)无实数x使√-x-1有意义. 【变式训练3】（①）号5.(2)E.(3)是a 基础导学 【变式训练2】D 1.√ab被开方数相乘，根指数不变a≥0b≥0√abc 【例3】x=16【变式训练3】二 【例4)】最简二次根式为(2)Vm+m;(6) 4 【例4】7【变式训练4】15 2.va. 【变式训练4】B 课后演练 典例探究 【5】(号压 2)-号压32a 1.D2.B3.B4.A5.x≥-16.x>37.1<c<5 【例1】(1)3；(2)30；(3)30；(4)-20aba;(5)x2+xy; 课后演练 81Dz≤是 (2)-1≤x≤1 (62+6. 【变式训练1】2W万【变式训练2】2 :1.D2.B3.D4.-15.3756.9√6cm 【例2】B【变式训练3】C (3)x=0W-合<x≤} 1.号 (2)-8x 8.(1)3aV6a(2)27 【例3】10/2；(2)2ab√2；(3)10a2c√2ac;(4)63. 9.375 10.16m/s11.6 9.2b-a+1=010.x>≥0且x≠611.012.a=91 【变式训练4】a√-b【例4】3√2>23 第2课时二次根式的性质 课后演练 2√（传）=√景. 基础导学 1.D2.B3.A4.C5.(1)26(2)26.-√14 验证V(信)-√Xx6=V县， (1)a (2)al a-a -√-x7.458.(1)2(2)-12√2(3)-45 n+1 典例探究 9.(1)90W2(2)4√35(3)-5ab√2b 2W(H+)=+√ 【例1】(1)号，(2)28，(3)-6.【变式训练】≥3号 10.(1)53>3W5(2)3-65<3-5√611.B12.6 验证√（十）-√牙 n+2-n-1 (n+1)(n+2) 【例2】(1)5，(2)0；3)元-3.14，(4-3x(5)a-3 1以.这个直角三角形的面积是雪或写 /n十1 Vn(n+D(n+2xix(n+2) 【变式训练2】(1)≤3(2)√2(3)3 14Va十。之=a√a为征意自然数且a≥2， 第3课时 二次根式的有理化 【空武训练】原式-}+√(a--+a,验证+。品-√-√=V√ 基础导学 1.二次根式3.分母 33 :典例探究 【例1】(1)22 (29巨31 【变式训练1】( -2(2a 【例2】(1)一 ，(@而，86a+: ④=m-,()5-1,(61+5. 【变式训练2】A 【例3】(1)4十√3；(2)√95. 【变式训练3】原式=分，解得a=-1,6一3，原式=一 3 课后演练 1.B2.A3.B4.B5.(1)>(2)<63+17.2 8学 (2)5469.(1W5-2(2W2-1 10.311.812.3+2213.(1)Wm-√/n-1(2)9 20.3二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 基础导学 1.最简二次根式被开方数 2.最简二次根式同类二次根式根号前系数根号 被开方数 典例探究 【例1】C【例2】D【变式训练1】B【变式训练2】B 【9B】15/万23v反89+9E 【变式训练3) y2+9 【变式训练4】()了5-25(2Wa+36-号√a 课后演练 1.B2.D3.D4.B5.(1)0(2)2W36.47.4 8①-25(2)6-E9c10.10 34