2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册1《第1章特殊的平行四边形第1节认识特殊的平行四边形》》预习讲义

本讲义聚焦特殊平行四边形的核心知识点，从已学平行四边形出发，通过增加边（邻边相等）、角（直角）的特殊条件，系统梳理菱形、矩形、正方形的定义，构建“正方形⊂菱形/矩形⊂平行四边形”的从属关系体系，结合表格对比三者对称轴数量与位置，形成递进式知识支架。 资料亮点在于知识梳理中用层级逻辑图直观呈现图形关系，经典例题与分层次练习融入中考真题，培养几何直观与推理意识。课中辅助教师清晰授课，课后通过对比练习帮助学生精准区分概念，有效查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册1 《第1章特殊的平行四边形第1节认识特殊的平行四边形》预习讲义 一．学习目标 ( 1.概念认知：准确区分菱形、矩形、正方形的定义，明确三者都是特殊的平行四边形，掌握特殊平行四边形的本质特征。 2.关系梳理：理清平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的包含与从属逻辑关系，构建图形分类体系。 3.性质掌握：熟练掌握菱形、矩形、正方形的轴对称、中心对称特性，区分三类图形对称轴数量与对称特点。 4.思维铺垫：理解 “ 一般到特殊 ” 的几何思想，为后续特殊平行四边形的性质证明、判定、计算题型打好基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.菱形、矩形、正方形的定义及核心特征。 2.平行四边形、菱形、矩形、正方形层级从属关系。 3.三类特殊平行四边形的对称性（轴对称+中心对称）。 （二） 难点 1.精准区分三类特殊平行四边形的异同，避免概念混淆。 2.理解正方形是最特殊的平行四边形，兼具菱形和矩形的所有性质。 3.准确记忆、区分三类图形的对称轴数量与对称规律。 ) 三．知识梳理 （一）认识特殊的平行四边形（基础概念） 我们已经学习了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 当普通平行四边形的边、角增加特殊限制条件时，就会形成三类特殊平行四边形。 1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形。（对边平行+邻边相等） 2.矩形：有一个内角是直角的平行四边形。（对边平行+一个直角） 3.正方形：有一组邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形。 【理解】 （1）菱形、矩形、正方形都是平行四边形，因此它们全部具备普通平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称）。 （2）三者区别：在平行四边形基础上，分别增加了边特殊、角特殊、边和角都特殊的条件。 （二）平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系 1. 层级逻辑（核心考点） 2. 文字总结关系 （1）平行四边形不一定是菱形、矩形；菱形、矩形一定是平行四边形。 （2）菱形不一定是矩形，矩形不一定是菱形。 （3）正方形一定是菱形、一定是矩形、一定是平行四边形。 （三）菱形、矩形、正方形的对称性（必考知识点） 所有平行四边形都是中心对称图形，无轴对称性；而三类特殊平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对比总结： 图形 中心对称 轴对称 对称轴数量 对称轴位置 菱形 是（对角线交点为对称中心） 是 2条 两条对角线所在直线 矩形 是（对角线交点为对称中心） 是 2条 对边中点连线所在直线 正方形 是（对角线交点为对称中心） 是 4条 2条对角线+2组对边中点连线 【思考】 （1）为什么普通平行四边形不是轴对称图形，而菱形、矩形、正方形是？ （2）正方形对称轴最多的原因是什么？ 【总结】（当堂熟记） 1.特殊平行四边形本质：平行四边形+特殊条件 菱形：邻边相等；矩形：一个直角；正方形：邻边相等+一个直角。 2.从属链条：正方形⊂菱形、矩形⊂平行四边形 3.对称性：菱形、矩形各2条对称轴，正方形4条对称轴；三者均为中心对称图形。 四．经典例题 例1.（2024—2025观山湖区九上期中）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 例2.（2026云岩区中考一模）下列从属关系正确的是（ ） A.正方形⊂矩形⊂平行四边形 B.平行四边形⊂矩形⊂正方形 C.菱形⊂正方形⊂平行四边形 D.矩形⊂菱形⊂平行四边形 例3.（2025南明区九上期末）平行四边形添加一个条件变为菱形，该条件是（ ） A.对角线相等 B.邻边相等 C.有一个内角为直角 D.对角线互相平分 例4.（2026花溪区中考二模）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.普通平行四边形 B.任意三角形 C.菱形 D.等腰梯形 例5.（2025乌当区九上期中）正方形既是特殊的矩形，又是特殊的______。 例6.（2026清镇市中考三模）矩形的对称轴共有______条。 例7.（2024开阳县九上期末）对角线互相垂直且相等的平行四边形一定是______。 例8.（2026修文县一模）菱形绕对角线交点至少旋转______°可以与自身重合。 例9.（2025观山湖九上期中） (1) 写出平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系； (2) 分别说出四种四边形的对称性。 例10.（2026云岩区中考一模，3小问）已知四边形ABCD是平行四边形。 (1) 添加条件AB=AD，求证：ABCD为菱形； (2) 再添加条件∠ABC=90°，判断四边形形状； (3) 说出此时图形的对称轴数量。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024清镇市九上期中）下列说法错误的是（ ） A.矩形属于平行四边形 B.菱形属于平行四边形 C.正方形不属于矩形 D.正方形属于菱形 2.（2025花溪区九上期末）只有中心对称，没有轴对称的图形是（ ） A.菱形 B.矩形 C.一般平行四边形 D.正方形 3.（2025修文县期中）菱形和矩形一定都具有的性质是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.四个内角都是直角 4.（2026开阳县三模）下列四边形对称轴最多的是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 5.（2024息烽县九上期末）下列条件可以判定平行四边形为正方形的是（ ） A.邻边相等 B.有一个直角 C.邻边相等且有一个内角为直角 D.对角线互相平分 5．如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 7.在矩形中，、相交于点O，若，则的长为( ). A.4 B.6 C.8 D.10 8．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D．16° （二）填空题 9.（2025云岩区期中）菱形的对称轴是______所在直线。 10.（2026南明区一模）矩形绕对角线交点旋转至少______°与原图重合。 11.（2024观山湖区期末）既是矩形又是菱形的四边形是______。 12.（2025清镇市期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定有2条对称轴的图形是矩形与______。 13.（2025乌当区期中）把“平行四边形、菱形、正方形”填入集合：最大集合是平行四边形，子集菱形，菱形的子集是______。 14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 15．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，若AB＝2，则DE的长为 　 　． 16．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 （三）解答题 17.（2025观山湖九上期末） (1) 对比普通平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性，完成总结； (2) 矩形与菱形共有的性质有哪些？ 18.如图，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于M，过M作ME⊥CD于E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 19.如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且. (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离 20.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2024南明区九上期末）下列包含关系图正确的是（ ） A.平行四边形包含矩形，矩形包含正方形 B.正方形包含矩形，矩形包含平行四边形 C.菱形包含平行四边形，平行四边形包含正方形 D.矩形包含菱形，菱形包含正方形 2.（2025花溪区九上期中）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对角线互相垂直 C.对边相等 D.中心对称 3.（2026清镇市中考三模）下列图形中，中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般平行四边形 4.（2024开阳县期中）正方形、矩形、菱形都具备的性质是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.四条边都相等 5.（2026乌当区一模）矩形沿对称轴折叠，左右两部分能够完全重合，矩形对称轴一共有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 6.（2025息烽县期末）把一张矩形纸片对折两次后裁剪，展开得到的四边形一定是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.普通平行四边形 7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接EO,若EO=2,则菱形ABCD的周长为(　　) A.8　　 B.12　　 C.16　　 D.20 8.如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则( ) A. B. C. D. 9．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 10．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． （二）填空题 11.（2025云岩区九上期末）正方形既是轴对称图形，又是______对称图形。 12.（2026观山湖区中考一模）菱形两条对称轴的位置关系是互相______。 13.（2024花溪区期中）如果一个平行四边形既是矩形又是菱形，那么它一定是______。 14.（2026南明区二模）矩形对角线分成的四个三角形面积______。 15.（2025清镇市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，只有两条对称轴的图形是矩形和______。 16.（2025乌当区期中）正方形绕中心最小旋转______度能与自身重合。 17.（2024修文县期末）矩形邻边之比为3:4，该图形有______条对称轴。 18．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_______. 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 20．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． （三）解答题 21.（2025观山湖九上期中）已知平行四边形ABCD。 (1) 若AC⊥BD，求证：ABCD为菱形； (2) 若再添加AC=BD，判断四边形形状； (3) 写出最终图形的对称轴条数。 22.（2026云岩区中考三模，3小问） (1) 画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含结构图； (2) 写出矩形与菱形所有共同性质； (3) 写出正方形独有的对称特征。 23.（2025南明区九上期末，2小问） 将一张菱形纸片沿其中一条对称轴剪开。 (1) 剪开后得到两个什么样的三角形？ (2) 把两个三角形拼成四边形，可以拼出矩形、菱形，请说明理由。 24.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：DE＝CE． （2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长． 25．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）． （1）求CE的长； （2）写出点E的坐标． 26．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册1 《第1章特殊的平行四边形第1节认识特殊的平行四边形》预习讲义 一．学习目标 ( 1.概念认知：准确区分菱形、矩形、正方形的定义，明确三者都是特殊的平行四边形，掌握特殊平行四边形的本质特征。 2.关系梳理：理清平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的包含与从属逻辑关系，构建图形分类体系。 3.性质掌握：熟练掌握菱形、矩形、正方形的轴对称、中心对称特性，区分三类图形对称轴数量与对称特点。 4.思维铺垫：理解 “ 一般到特殊 ” 的几何思想，为后续特殊平行四边形的性质证明、判定、计算题型打好基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.菱形、矩形、正方形的定义及核心特征。 2.平行四边形、菱形、矩形、正方形层级从属关系。 3.三类特殊平行四边形的对称性（轴对称+中心对称）。 （二） 难点 1.精准区分三类特殊平行四边形的异同，避免概念混淆。 2.理解正方形是最特殊的平行四边形，兼具菱形和矩形的所有性质。 3.准确记忆、区分三类图形的对称轴数量与对称规律。 ) 三．知识梳理 （一）认识特殊的平行四边形（基础概念） 我们已经学习了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 当普通平行四边形的边、角增加特殊限制条件时，就会形成三类特殊平行四边形。 1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形。（对边平行+邻边相等） 2.矩形：有一个内角是直角的平行四边形。（对边平行+一个直角） 3.正方形：有一组邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形。 【理解】 （1）菱形、矩形、正方形都是平行四边形，因此它们全部具备普通平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称）。 （2）三者区别：在平行四边形基础上，分别增加了边特殊、角特殊、边和角都特殊的条件。 （二）平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系 1. 层级逻辑（核心考点） 2. 文字总结关系 （1）平行四边形不一定是菱形、矩形；菱形、矩形一定是平行四边形。 （2）菱形不一定是矩形，矩形不一定是菱形。 （3）正方形一定是菱形、一定是矩形、一定是平行四边形。 （三）菱形、矩形、正方形的对称性（必考知识点） 所有平行四边形都是中心对称图形，无轴对称性；而三类特殊平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对比总结： 图形 中心对称 轴对称 对称轴数量 对称轴位置 菱形 是（对角线交点为对称中心） 是 2条 两条对角线所在直线 矩形 是（对角线交点为对称中心） 是 2条 对边中点连线所在直线 正方形 是（对角线交点为对称中心） 是 4条 2条对角线+2组对边中点连线 【思考】 （1）为什么普通平行四边形不是轴对称图形，而菱形、矩形、正方形是？ 答：普通平行四边形边角无特殊性，折叠后无法重合；三类特殊图形边、角规整，可沿固定直线折叠完全重合。 （2）正方形对称轴最多的原因是什么？ 答：正方形同时满足菱形邻边相等、矩形四个直角的特征，集合了两类图形的所有对称轴。 【总结】（当堂熟记） 1.特殊平行四边形本质：平行四边形+特殊条件 菱形：邻边相等；矩形：一个直角；正方形：邻边相等+一个直角。 2.从属链条：正方形⊂菱形、矩形⊂平行四边形 3.对称性：菱形、矩形各2条对称轴，正方形4条对称轴；三者均为中心对称图形。 四．经典例题 例1.（2024—2025观山湖区九上期中）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【答案】：D 【解析】：普通平行四边形无对称轴；菱形2条对称轴；矩形2条对称轴；正方形有4条对称轴。 例2.（2026云岩区中考一模）下列从属关系正确的是（ ） A.正方形⊂矩形⊂平行四边形 B.平行四边形⊂矩形⊂正方形 C.菱形⊂正方形⊂平行四边形 D.矩形⊂菱形⊂平行四边形 【答案】：A 【解析】：平行四边形包含矩形与菱形，正方形既是矩形又是菱形，因此正方形属于矩形。 例3.（2025南明区九上期末）平行四边形添加一个条件变为菱形，该条件是（ ） A.对角线相等 B.邻边相等 C.有一个内角为直角 D.对角线互相平分 【答案】：B 【解析】：一组邻边相等的平行四边形是菱形；A、C是矩形的判定条件。 例4.（2026花溪区中考二模）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.普通平行四边形 B.任意三角形 C.菱形 D.等腰梯形 【答案】：C 【解析】：平行四边形只是中心对称；等腰梯形只有轴对称；菱形兼具轴对称与中心对称。 例5.（2025乌当区九上期中）正方形既是特殊的矩形，又是特殊的______。 【答案】：菱形 【解析】：正方形同时满足矩形、菱形所有性质。 例6.（2026清镇市中考三模）矩形的对称轴共有______条。 【答案】：2 【解析】：矩形两条对边中点连线为对称轴。 例7.（2024开阳县九上期末）对角线互相垂直且相等的平行四边形一定是______。 【答案】：正方形 【解析】：对角线垂直→菱形，对角线相等→矩形，既是菱形又是矩形的四边形为正方形。 例8.（2026修文县一模）菱形绕对角线交点至少旋转______°可以与自身重合。 【答案】：180 【解析】：菱形为中心对称图形，对称中心为对角线交点，旋转180°重合。 例9.（2025观山湖九上期中） (1) 写出平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系； (2) 分别说出四种四边形的对称性。 解：(1) 平行四边形包含矩形、菱形；矩形与菱形的交集为正方形。 (2) 普通平行四边形：仅中心对称； 矩形：轴对称（2条）+中心对称； 菱形：轴对称（2条）+中心对称； 正方形：轴对称（4条）+中心对称。 【解析】：考查四边形从属关系与对称性质，为本节基础概念考点。 例10.（2026云岩区中考一模，3小问）已知四边形ABCD是平行四边形。 (1) 添加条件AB=AD，求证：ABCD为菱形； (2) 再添加条件∠ABC=90°，判断四边形形状； (3) 说出此时图形的对称轴数量。 解：(1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形，得证； (2) 有直角的菱形是正方形； (3) 正方形共有4条对称轴。 【解析】：逐步添加条件，从平行四边形依次升级为菱形、正方形，同步考查对称性。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024清镇市九上期中）下列说法错误的是（ ） A.矩形属于平行四边形 B.菱形属于平行四边形 C.正方形不属于矩形 D.正方形属于菱形 【答案】：C 【解析】：正方形是特殊矩形。 2.（2025花溪区九上期末）只有中心对称，没有轴对称的图形是（ ） A.菱形 B.矩形 C.一般平行四边形 D.正方形 【答案】：C 【解析】：一般平行四边形没有对称轴。 3.（2025修文县期中）菱形和矩形一定都具有的性质是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.四个内角都是直角 【答案】：C 【解析】：菱形、矩形都是平行四边形，平行四边形对角线互相平分。 4.（2026开阳县三模）下列四边形对称轴最多的是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 【答案】：C 【解析】：正方形4条对称轴，多于矩形、菱形。 5.（2024息烽县九上期末）下列条件可以判定平行四边形为正方形的是（ ） A.邻边相等 B.有一个直角 C.邻边相等且有一个内角为直角 D.对角线互相平分 【答案】：C 【解析】：邻边相等→菱形，有直角→矩形，二者兼备即为正方形。 5．如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】四边形为菱形，，，点为坐标原点，点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，点的坐标为点坐标为 故选：D． 7.在矩形中，、相交于点O，若，则的长为( ). A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】：B 【解析】：∵ 在矩形中，，∴，∴，故选：B 8．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D．16° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为正方形∴ AB∥CD，AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，∠BCD=90° ∵ BE为公共边∴(SAS)∴ ∠BCE=∠BAE=53°∴ ∠DCE=37°∵ AB∥CD， ∴ ∠DFE=∠BAE=53°∴ ∠CEF=∠DFE-∠DCE=16°故答案为：D. （二）填空题 9.（2025云岩区期中）菱形的对称轴是______所在直线。 【答案】：对角线 【解析】：两条对角线所在直线为菱形对称轴。 10.（2026南明区一模）矩形绕对角线交点旋转至少______°与原图重合。 【答案】：180 【解析】：矩形是中心对称图形。 11.（2024观山湖区期末）既是矩形又是菱形的四边形是______。 【答案】：正方形 【解析】：正方形定义。 12.（2025清镇市期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定有2条对称轴的图形是矩形与______。 【答案】：菱形 【解析】：矩形、菱形都有2条对称轴。 13.（2025乌当区期中）把“平行四边形、菱形、正方形”填入集合：最大集合是平行四边形，子集菱形，菱形的子集是______。 【答案】：正方形 【解析】：从属关系：正方形⊂菱形⊂平行四边形。 14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 【答案】15 【解析】：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB＝BC＝x，则EB＝9﹣x，AE＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE2+EB2＝AB2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得 x＝5，∴S菱形ABCD＝5×3＝15， 15．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，若AB＝2，则DE的长为 　 　． 【答案】2﹣2 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴AB＝AE＝2，∴BE＝2，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝2，∴BC＝AD＝2，∴DE＝AD﹣AE＝2﹣2．故答案为：2﹣2． 16．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】75度 【解析】∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为： （三）解答题 17.（2025观山湖九上期末） (1) 对比普通平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性，完成总结； (2) 矩形与菱形共有的性质有哪些？ 解：(1) 平行四边形：仅中心对称；矩形、菱形：轴对称+中心对称（各2条对称轴）；正方形：轴对称+中心对称（4条对称轴）。 (2) 共有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称。 18.如图，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于M，过M作ME⊥CD于E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD，∵ME⊥CD，∴CD＝2CE，∵CE＝1，∴CD＝2，∴BC＝CD＝2； (2)证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF＝CF＝BC，∴CF＝CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM(SAS)， ∴ME＝MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G， ∴AM＝MG，在△CDF和△BGF中，∵∴△CDF≌△BGF(AAS)，∴GF＝DF，由图形可知，GM＝GF＋MF，∴AM＝DF＋ME. 19.如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且. (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离 解：(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵延长至点E，使，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形； (2)如图，连接，则点A和点C之间的距离即为线段的长度.∵，， ∴，由(1)可得，∴在中. ∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，则，由(1)可得，∴在中， ∴点A和点C之间的距离为. 20.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 解:（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴； （2）过作于点，∵四边形是正方形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四边形的面积． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2024南明区九上期末）下列包含关系图正确的是（ ） A.平行四边形包含矩形，矩形包含正方形 B.正方形包含矩形，矩形包含平行四边形 C.菱形包含平行四边形，平行四边形包含正方形 D.矩形包含菱形，菱形包含正方形 【答案】：A 【解析】：平行四边形分为普通平行四边形、矩形、菱形；正方形属于矩形。 2.（2025花溪区九上期中）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对角线互相垂直 C.对边相等 D.中心对称 【答案】：B 【解析】：菱形对角线互相垂直，矩形对角线不垂直。 3.（2026清镇市中考三模）下列图形中，中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般平行四边形 【答案】：D 【解析】：一般平行四边形只有中心对称，没有对称轴。 4.（2024开阳县期中）正方形、矩形、菱形都具备的性质是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.四条边都相等 【答案】：C 【解析】：三者都属于平行四边形，平行四边形对角线互相平分。 5. （2026乌当区一模）矩形沿对称轴折叠，左右两部分能够完全重合，矩形对称轴一共有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】：B 【解析】：矩形两条对边中点连线为对称轴。 6.（2025息烽县期末）把一张矩形纸片对折两次后裁剪，展开得到的四边形一定是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.普通平行四边形 【答案】：B 【解析】：折叠裁剪后四条边相等，四边相等的四边形为菱形。 7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接EO,若EO=2,则菱形ABCD的周长为(　　) A.8　　 B.12　　 C.16　　 D.20 【答案】C　 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,在Rt△AOB中,E是AB的中点,∴OE=AB,∵OE=2,∴AB=4,∴菱形ABCD的周长=4AB=16.故选C. 8.如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则( ) A. B. C. D. 【答案】：C 【解析】：连接，交于点O，如图，四边形矩形，，，，，，， ，，，，， .故选：C. 9．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为正方形的周长为8个单位长度，所以正方形的边长为2个单位长度．表示2025的点与表示﹣1的点的距离等于2025﹣（﹣1）＝2026个单位长度，因为2026÷8＝253……2，所以253圈余2个单位长度，所以对应的数字是2.故答案为：B. 10．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在正方形中，，，∴，∴， 由折叠可得，∵在正方形中，， ∴．故选：C． （二）填空题 11.（2025云岩区九上期末）正方形既是轴对称图形，又是______对称图形。 【答案】：中心 【解析】：正方形兼具两种对称性。 12.（2026观山湖区中考一模）菱形两条对称轴的位置关系是互相______。 【答案】：垂直 【解析】：菱形两条对角线互相垂直。 13.（2024花溪区期中）如果一个平行四边形既是矩形又是菱形，那么它一定是______。 【答案】：正方形 【解析】：正方形的定义。 14.（2026南明区二模）矩形对角线分成的四个三角形面积______。 【答案】：相等 【解析】：矩形对角线互相平分且相等，四个三角形等底等高。 15.（2025清镇市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，只有两条对称轴的图形是矩形和______。 【答案】：菱形 【解析】：矩形、菱形各2条对称轴，正方形4条，普通平行四边形无对称轴。 16.（2025乌当区期中）正方形绕中心最小旋转______度能与自身重合。 【答案】：90 【解析】：正方形以对角线交点为中心，旋转90°即可与原图重合。 17.（2024修文县期末）矩形邻边之比为3:4，该图形有______条对称轴。 【答案】：2 【解析】：边长比例不改变矩形对称轴数量。 18．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_______. 【答案】：2 【解析】：如图，连接BP，∵菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，∴AB＝BC＝＝3（cm），S△ABC＝＝3（cm2），∵S△ABC＝S△ABP+S△BPC，∴3＝AB•PF+BC•PE，∴3＝×3×PE+×3×PF＝（PE+PF），∴PE+PF＝2（cm）， 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 【答案】 【解析】过点A作AM⊥BC于点M′，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵AM⊥BC，∴BC×AM＝AB×AC，∴AM′＝＝＝，∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴∠MEA＝∠MFA＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，AM与EF互相平分，∵N为EF的中点，∴MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合， ∴MN＝AM′＝，故答案为：． 20．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 【答案】 【解析】由题意可得出：，∴，∴， ∵在正方形中，，∴， ∴，∴， ∴在中，故答案为： （三）解答题 21.（2025观山湖九上期中）已知平行四边形ABCD。 (1) 若AC⊥BD，求证：ABCD为菱形； (2) 若再添加AC=BD，判断四边形形状； (3) 写出最终图形的对称轴条数。 解：(1) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (2) 对角线相等的菱形是正方形； (3) 正方形共有4条对称轴。 22.（2026云岩区中考三模，3小问） (1) 画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含结构图； (2) 写出矩形与菱形所有共同性质； (3) 写出正方形独有的对称特征。 解：(1) 平行四边形包含矩形、菱形；矩形与菱形相交部分为正方形。 (2) 共同性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称。 (3) 正方形独有：4条对称轴，对角线既相等又互相垂直。 23.（2025南明区九上期末，2小问） 将一张菱形纸片沿其中一条对称轴剪开。 (1) 剪开后得到两个什么样的三角形？ (2) 把两个三角形拼成四边形，可以拼出矩形、菱形，请说明理由。 解：(1) 菱形对角线互相垂直，沿对角线剪开得到两个全等的直角三角形。 (2) 将两条直角边重合拼接：斜边对在一起拼成矩形；直角边对在一起拼成菱形。 24.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：DE＝CE． （2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，又∵AE＝DE，∴DE＝CE． （2）如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA， ∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠AD＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH＝，∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH＝AH，∴AH＝，AB＝2AH＝，即菱形的边长为． 25．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）． （1）求CE的长； （2）写出点E的坐标． 解：（1）∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的长为3． （2）∵EC的长为3，∴点E的坐标为（10，3）． 26．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 解：（1）补全图形如图1所示： （2）①证明：如图1所示∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴PA＝PE，∠APE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，∵EFBC于F，∴∠PFE＝90°＝∠ABP，∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，∴∠APB＝∠PEF，在△APB和△PEF中， ，∴△APB≌△PEF（AAS），∴PB＝EF，AB＝PF，∵AB＝BC，∴BC＝PF，∴PB＝CF，∴EF＝CF； ②结论：CP﹣CD＝CE．理由：∵CD＝CB，∴CP﹣CD＝CP﹣CB＝PB＝CF，∵EF＝CF，∠CFE＝90°，∴CF＝CE，∴CP﹣CD＝CE； （3）CE＝（CD−CP）或CE＝（CD+CP） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $