第09讲 整式的加减（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第09讲 整式的加减 预习目标 知识回顾 1. 了解同类项的定义；掌握合并同类项的步骤； 2. 掌握整式的加减的步骤及化简求值的步骤； 3. 掌握整式比较大小的方法； 4. 掌握整式在实际生活中的应用。 1. 用字母表示简单的数量关系，代数式的概念；用代数式解决简单的实际问题；求代数式的值； 2. 单项式和多项式、整式的定义；单项式的系数和次数的概念；多项式的项、项数和次数的概念。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段. 列车在冻土地段的行驶速度是 100km/h，在非冻土地段的行驶速度可以达到120km/h，请根据这些数据回答下列问题: 在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5 h，如果列车通过冻土地段要t h，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少km？ 【思考2】下面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？ ③④是我们小学的简便运算，通过计算这两个题，大家有什么发现吗？ ①100t+120(t－0.5) ②100t－120(t－0.5) ③928-439-261 ④888+347-247 【思考1】如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： . 交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加： . 在上面的问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？ 【思考2】一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元. 小红买这种笔记本4本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本2本，买圆珠笔4支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 知识点01 整式的加减 1. 合并同类项 1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类型（like terms）。 例：5ab2：与-13ab2 -9x2y3与5x2y3。 注意：（1）判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 （2）代数式中的字母可以表示为数，因此数的运算律也适用于代数式。 2）合并同类项：把同类项合并成一项叫作合并同类项（unite like terms）； 3）同类项合并的法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 2. 去（添）括号法则 1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变； 2）括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项的符号都要改变； 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有项都要乘此系数。 4）添括号和去括号是互逆运算，若需要添括号，可以借助去括号法则逆向运算即可。 3.整式的加减 整式的加减运算就是利用合并同类项与去括号法则的运算，具体步骤为：①若有括号先去掉括号；②再将同类项找出，并置与一起；③最后合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任何项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项， A、与所含字母相同，但的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，相同字母的指数都是，的指数都是，符合同类项定义，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与中x的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意． 2．（25-26七年级上·重庆北碚·期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故A选项变形错误，不合题意； ，故B选项变形正确，符合题意； ，故C选项变形错误，不合题意； ，故D选项变形错误，不合题意；故选：B． 3．（25-26七年级上·广东东莞·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B计算错误，不符合题意； 选项C中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C计算错误，不符合题意； 选项D中，与是同类项，合并得，计算正确，D符合题意． 4．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若与是同类项，则的值为______． 【答案】 【详解】解：与是同类项，，，． 5．（24-25七年级上·山东烟台·期中）化简求值 (1)，其中； (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 6．（25-26七年级上·河南郑州·期中）定义：若一个四位数的千位数字加上十位数字的和恰好等于百位数字加上个位数字的和，则称这个四位数为“团结数”． 【理解定义】四位数2651是否为“团结数”？_________（填“是”或“否”） 【建模推理】（1）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，请用含a、b、c的代数式来表示d：_________；（2）任意一个“团结数”能被11整除吗？为什么？ 【答案】 【理解定义】是 【建模推理】（1）；（2）能；理由见解析 【详解】解：【理解定义】四位数2651的千位数字为2，十位数字为5，和为； 百位数字为6，个位数字为1，和为； ∵，∴四位数2651是“团结数”．故答案为：是． 【建模推理】（1）根据定义得，，∴；故答案为：； （2）能，理由如下：设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d， 则这个“团结数”为， 由（1）可知，， 代入，得， ∴ 该数能被11整除， 即任意“团结数”能被11整除． 题型速练 题型01 同类型的辨别 【例1】（2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，故的一个同类项可以为． 必记结论 同类项的定义：含有字母相同，相同字母的指数也相同的单项式为同类项。 【小试牛刀】 1．（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等，∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义，∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】C 【详解】解：选项A中，与所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项C中，与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，∴是同类项，符合题意； 选项D中，是常数项，含有字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）写出一个与是同类项的单项式_____ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：单项式所含字母为和，它们的指数都为1， 因此只需满足含有和，且指数都为1，系数不为0和的数，例如（答案不唯一）． 题型02 利用同类型的概念求参数 【例1】（2026·广东佛山·三模）已知和是同类项，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：和是同类项，∴，，解得，，． 必记结论 利用同类型的概念‌，通过分析代数式的结构特征（字母相同、指数相等等），建立方程求解参数值。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵单项式与的和是单项式，∴与是同类项， ∴，，∴． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知整式与的和是一个单项式，则_____，_____． 【答案】 3 2 【详解】∵整式与的和是一个单项式，∴这两个整式是同类项， ∴，，解得，． 3．（25-26七年级七·福建南平·阶段检测）如果单项式与 是同类项，那么___． 【答案】 【详解】解：单项式与是同类项，可得：，解得：，． 题型03 去括号与添括号 【例1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵对于选项A：，与选项结果一致，故A正确； 对于选项B：，与选项给出结果不一致，故B错误； 对于选项C：，与选项给出结果不一致，故C错误； 对于选项D：，与选项给出结果不一致，故D错误． 【例2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）添括号：（______） 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 必记结论 去括号法则：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘；再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号。 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验。 【小试牛刀】 1．（2026·广东广州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误；C、，故C错误； D、，等式左右相等，故D正确． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 3．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故原选项添括号错误，不符合题意； B、，故原选项添括号正确，符合题意； C、，故原选项添括号错误，不符合题意； D、，故原选项添括号错误，不符合题意；故选：B． 题型04 合并同类项 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 【答案】 【详解】解：原式． 必记结论 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项； 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵∴A选项错误．∵与不是同类项，不能合并∴B选项错误． ∵与是同类项，合并得∴C选项正确． ∵∴D选项错误． 2．（25-26九年级下·河南新乡·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原计算错误； B、，故原计算错误；C、，故原计算正确； D、与不是同类项，不能合并，故原计算错误． 3．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误； B、，∴B计算错误； C、，∴C计算错误； D、，∴D计算正确． 题型05 整式的加減运算 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 必记结论 多项式相加减的本质是‌合并同类项‌，关键在于：‌符号处理‌：减法转化为加法（取反后相加）；‌对齐同类项‌：按相同字母及指数分组合并；‌结果形式‌：结果仍为多项式，次数不超过原多项式的最高次数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）化简： （1）．（2）； 【答案】（1）（2） 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 2．（25-26七年级上·山东泰安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）解： ． （2）】解： ． 题型06 整式的化简求值 【例1】（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：， 当，时，原式． 常见错误/必记结论 整式化简求值一定注意是先化简再代入给定数值计算，注意运算顺序和符，切记避免直接代入未化简的复杂式子导致计算错误。整式化简求值的核心在于‌规范去括号‌与‌精准合并同类项。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵；∴∴   ∴原式． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：． 当，时 原式． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 【详解】解：原式 当，，原式 ． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 题型07 整式的比较大小 【例1】（25-26七年级上·成都·阶段检测）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较和的大小，因为，所以．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题：(1)比较和的大小；(2)比较和的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，因为，所以． （2）解：， 因为，所以，所以． 必记结论 整式比较大小的核心在于‌灵活选择方法‌，优先作差法，结合赋值验证或代数变形简化分析，同时需注意符号处理和结果的完整性。（切记赋值验证法常用于找反例，不具有完整性） 【小试牛刀】 1．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 【答案】D 【详解】解：对原代数式化简如下： 原式 ∵化简后的结果为常数，不含变量和，∴该代数式的值与，的大小都无关，故选D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）证明：∵，∴，计算得：， ∵，∴，∴，计算得：， ∵∴，∴，综上可得； （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵， 又∵，∴，∴，∴． 3．（25-26七年级上·山东德州·期末）我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题：(1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示：①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【详解】（1）解：∵，∴；故答案为：； （2）解：①，根据数轴可知：， ∴，∴；故答案为：； ②∵，， ∴ ， 根据数轴可知：，，∴，∴；∴； （3）解：∵，， ∴， ∵的值与无关，∴，∴，∴，， ∴，∴． 题型08 整式的加减（不含某项与遮挡问题） 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项所以解得． 必记结论 解题核心是‌精确合并同类项‌并‌通过系数为0建立方程‌，注意符号处理和多条件联立是难点。 注意：解出参数后建议代入原式验证，确保化简后确实不含目标项。 逆向推导法‌：根据已知的运算结果和未被遮挡的部分，逆向还原被遮挡的整式或参数。 比较系数法‌：遮挡部分为多项式中的特定项时，通过结果与原式同类项系数的差值求解。 遮挡问题的核心是‌逆向逻辑与代数变形能力‌，需结合合并同类项、符号修正和方程思想，通过对比系数精准还原缺失部分。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，，解得，， ，故答案为： 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【详解】解：， ∵无论x取何值代数式的值不变，∴，，∴，． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)，(2)，， 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项，∴，，解得，； （2）解：， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，，解得，，． 题型09 整式加减的新定义 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）定义一种新运算“△”，规定，则__． 【答案】 【详解】解：根据题中的新定义，得 ，故答案为：． 必记结论 拆解定义要素‌：明确新定义中符号、运算规则的数学含义，提炼核心操作步骤。 ‌符号对应转换‌：将新定义中的特殊符号转化为常规整式运算（加减乘除）。 新定义问题的核心是‌定义转化与代数建模‌，通过拆分定义要素、严格符号转化和多维度验证，可系统解决此类题型。几何图形关联的整式运算需结合面积公式展开验证。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号，例：．当时，的值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ ；故选：A． 2．（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）对于若干个整式，“绝对运算”的定义为：先任意选择两个整式求和，再分别减去剩下的整式．例如：对于x，，2这三个整式的一种“绝对运算”结果为：．根据此定义，判断以下说法的正确性； ①对，，进行“绝对运算”的结果可能是0； ②对，，进行“绝对运算”的结果为，则的最大值是7； ③对，，，进行“绝对运算”，化简后有6种不同结果． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①设，，， ∵，∴ 结果可能为0，正确． ②设，，，绝对运算有三种结果： 结果1： ， 结果2：，结果3：． 令各结果等于， 当，∴，，解得：，，∴， 当，∴，，解得：，，∴， 当，∴，，解得：，，∴， ∴ 的最大值为7，正确． ③设，，，，∴， ，，， ， ． 化简后有5种不同结果：、、0、、，∴ 说法错误． 综上，正确个数为2．故选：C 3．（25-26七年级上·河南焦作·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）能，理由见解析 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为8， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，∴三位数不是“极差数”故答案为：不是 建模推理：（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，，故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 理由：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵，∴， ∴能被11整除，∴任意一个“极差数”都能被11整除． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．例如：，． (1)计算：；(2)化简：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，，，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴， 题型10 整式加减的实际应用 【例1】（2026·吉林长春·一模）截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（桩）总数达到2069.8万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的5倍还多4个，则该小区安装了______个充电桩（用含n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：由题意可知，慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，即快充桩有个，则该小区安装的充电桩总数为：个． 【例2】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包． (1)图①中打包带的总长_______________；（用含、、的代数式表示，并化简） 图②中打包带的总长__________________；（用含、、的代数式表示，并化简） (2)已知一个箱子的长，宽，高，若按照图②的方式打包，请计算打包带的总长． (3)根据你的分析，试判断打包方式____________所用打包带更短． 【答案】(1)，(2)(3)②；理由见解析 【详解】（1）解：图①中打包带的总长， 图②中打包带的总长； （2）解：∵一个箱子的长，宽，高，∴； （3）解：，所以按照方式②的打包带更短． 必记结论 整式的实际应用需掌握‌代数建模、联立方程与几何转化‌三大核心能力。 通过几何图形展开验证公式、经济模型参数化分析、动态物理问题整式化，可系统提升问题解决效率。 【小试牛刀】 1．（2026·河北唐山·二模）如图，甲、乙、丙三根木条紧靠摆放，乙木条最长．乙有一部分与甲重叠，一部分与丙重叠，还剩没有重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为，丙没有与乙重叠的部分的长度为．若甲的长度为，甲、乙的长度差为，则丙的长度为________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：∵甲的长度为，甲没有与乙重叠的部分的长度为，∴甲与乙重叠的部分的长度为． ∵甲、乙的长度差为，∴乙的长度为， ∴乙与丙重叠的部分的长度为，∴丙的长度为． 2．（2026·江西南昌·二模）如图，3个相同的小矩形与2个相同的大矩形拼成一个矩形，若每个小矩形的宽和每个大矩形的宽均为x，则矩形的周长为________．（用含x的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由图可知，小矩形的长等于个小矩形的宽． 每个小矩形的宽为， 小矩形的长为． 由图可知，大矩形的长等于个小矩形的宽与个小矩形的长之和． 大矩形的长为． 矩形的长为大矩形的长，即，矩形的宽为大矩形的宽与大矩形的长之和，即， 矩形的周长为． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】(1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1)(2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元，当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ，；小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 基础过关 1.（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A选项：中的指数为2，的指数为1，与相同字母的指数不同，不是同类项，故A错误； 对于B选项：中的指数为1，的指数为2，与符合同类项定义，是同类项，故B正确； 对于C选项：中的指数为2，与中的指数不同，不是同类项，故C错误； 对于D选项：中的指数为1，与中的指数不同，不是同类项，故D错误．故选：B． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故选：B． 5．（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）下列变号不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A：∵ ，∴ 等式成立. 对于选项B：左边 ，右边 ，∵ ，∴ 等式不成立. 对于选项C：∵ ，∴ ，∴ ，等式成立. 对于选项D：右边 ，与左边相等，∴ 等式成立. 故变号不正确的是B. 6．（2026·广东惠州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B中，根据合并同类项法则，，运算正确，∴B正确； 选项C中，根据去括号法则，，∴C错误； 选项D中，根据去括号法则，，∴D错误. 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）． 【答案】 【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得 因此第一个括号内应填. 对于第二个等式，先去括号再整理得 因此第二个括号内应填. 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 【答案】3 【详解】解：①，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确； ②，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确； ③，应用分配律，故③正确；④，但原式给出，故④错误． 综上，正确的共有3个．故答案为：3． 9．（2026·河北沧州·一模）化简：______． 【答案】 【详解】解：原式，，． 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）为落实“健康第一”的教育理念，某中学开展校园“阳光慢跑”打卡活动．根据学生体质健康标准，制定科学锻炼计划：第1天慢跑4000步，前10天每天比前一天多跑150步，10天后运动量趋于稳定．若用n表示第n天（，且n为整数），则第n天的慢跑步数可用含n的代数式表示为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，第一天慢跑步，时，每天比前一天多跑了步， ∴第天比第一天多跑了步，∴第天步数为：． 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式， 将，代入，得：原式． 13．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【详解】解：原式， 当，时，原式． 14．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知，． (1)当，时，求的值；(2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时，； （2）解：∵的值与的值无关，∴，解得． 能力提升 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）一个四次整式与一个五次整式相加，其结果是（     ） A．四次整式 B．五次整式 C．不高于四次的整式 D．不低于四次的整式 【答案】B 【详解】解：∵五次整式的定义是最高次项为五次项，且五次项系数不为， 又∵四次整式最高次为四次，不含五次项， ∴两个整式相加后，结果中五次项系数仍不为，最高次仍为五次，∴结果是五次整式． 16．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A． 是多项式 B．和2不是同类项 C．单项式与单项式相加的结果一定是单项式 D．整式与整式相加的结果一定是整式 【答案】D 【详解】解：∵多项式是几个单项式的和，单项式属于整式，而分母含有字母，是分式不是单项式 ， ∴ 不是多项式，A错误． ∵所有常数项都是同类项， 和都是常数， ∴ 和是同类项，B错误． ∵反例：单项式与单项式相加，结果为 ，是多项式不是单项式 ， ∴单项式与单项式相加的结果不一定是单项式，C错误． ∵整式包括单项式和多项式，整式相加合并同类项后，结果仍然是整式 ， ∴整式与整式相加的结果一定是整式，∴D正确． 17．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是同类项，∴， 对第一个等式移项得，故的值为． 18．（25-26七年级上·广西贵港·期末）若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵式子的值与的取值无关，∴，∴． 19．（25-26七年级上·山西长治·期末）多项式的值（   ） A．与，的大小有关，与的大小无关 B．与的大小有关，与，的大小无关 C．与，，的大小都无关 D．与，，的大小都有关 【答案】C 【详解】解： ， 多项式的值与，，的大小都无关，故选：． 20．（25-26七年级上·陕西西安·期中）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如，，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故选B． 21．（2026·河南周口·模拟预测）已知与的和是一个单项式，则__________． 【答案】 【详解】解：∵与的和是一个单项式，∴与是同类项，∴，， 将，代入得． 挑战一刻 22．（2026年山西省中考真题数学试题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 【答案】D 【详解】解：∵原两位数的十位数字为，个位数字为， ∴原两位数可表示为 ，其中，，，均为整数，由题意得新数为 ， 则新数与原数的差为： ∵，是整数，∴差一定是的整数倍， 观察选项，只有是的倍数，因此答案选D． 23．（24-25七年级上·河北张家口·期末）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”． 例如：与是“准同类项”，则下列单项式 ①；②；③ 中， 与是“准同类项”的是_________． 【答案】 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”， 与是“准同类项”的要求是所含字母为且单项式中的指数与中的指数之差均小于或等于，与是“准同类项”的是和；故答案为：． 24．（2025·云南昆明·模拟预测）对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”，仿此，的“分裂”中最大的数是______． 【答案】41 【详解】解：设最大的奇数为n，则， 解得：，∴最大的数为41． 25．（25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】（1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示；（2）写出之间的关系式为_；（3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）不是，是 （2）（3）能，理由见解析 【详解】解：（1）∵，∴三位数265不是“极差数”； ∵，∴三位数583是“极差数”；故答案为：不是，是； （2）根据题意得，之间的关系式为，故答案为：； （3）任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下： 根据题意得，， ∵为正整数，为自然数，且，∴是11的倍数， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 26．（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】(1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)；(2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列；故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同，∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到，∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同，∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到，∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 整式的加减 预习目标 知识回顾 1. 了解同类项的定义；掌握合并同类项的步骤； 2. 掌握整式的加减的步骤及化简求值的步骤； 3. 掌握整式比较大小的方法； 4. 掌握整式在实际生活中的应用。 1. 用字母表示简单的数量关系，代数式的概念；用代数式解决简单的实际问题；求代数式的值； 2. 单项式和多项式、整式的定义；单项式的系数和次数的概念；多项式的项、项数和次数的概念。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段. 列车在冻土地段的行驶速度是 100km/h，在非冻土地段的行驶速度可以达到120km/h，请根据这些数据回答下列问题: 在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5 h，如果列车通过冻土地段要t h，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少km？ 【思考2】下面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？ ③④是我们小学的简便运算，通过计算这两个题，大家有什么发现吗？ ①100t+120(t－0.5) ②100t－120(t－0.5) ③928-439-261 ④888+347-247 【思考1】如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： . 交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加： . 在上面的问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？ 【思考2】一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元. 小红买这种笔记本4本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本2本，买圆珠笔4支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 知识点01 整式的加减 1. 合并同类项 1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类型（like terms）。 例：5ab2：与-13ab2 -9x2y3与5x2y3。 注意：（1）判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 （2）代数式中的字母可以表示为数，因此数的运算律也适用于代数式。 2）合并同类项：把同类项合并成一项叫作合并同类项（unite like terms）； 3）同类项合并的法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 2. 去（添）括号法则 1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变； 2）括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项的符号都要改变； 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有项都要乘此系数。 4）添括号和去括号是互逆运算，若需要添括号，可以借助去括号法则逆向运算即可。 3.整式的加减 整式的加减运算就是利用合并同类项与去括号法则的运算，具体步骤为：①若有括号先去掉括号；②再将同类项找出，并置与一起；③最后合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任何项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级上·重庆北碚·期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东东莞·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若与是同类项，则的值为______． 5．（24-25七年级上·山东烟台·期中）化简求值 (1)，其中； (2)，其中 6．（25-26七年级上·河南郑州·期中）定义：若一个四位数的千位数字加上十位数字的和恰好等于百位数字加上个位数字的和，则称这个四位数为“团结数”． 【理解定义】四位数2651是否为“团结数”？_________（填“是”或“否”） 【建模推理】（1）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，请用含a、b、c的代数式来表示d：_________；（2）任意一个“团结数”能被11整除吗？为什么？ 题型速练 题型01 同类型的辨别 【例1】（2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 必记结论 同类项的定义：含有字母相同，相同字母的指数也相同的单项式为同类项。 【小试牛刀】 1．（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）写出一个与是同类项的单项式_____ 题型02 利用同类型的概念求参数 【例1】（2026·广东佛山·三模）已知和是同类项，则的值是__________． 必记结论 利用同类型的概念‌，通过分析代数式的结构特征（字母相同、指数相等等），建立方程求解参数值。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知整式与的和是一个单项式，则_____，_____． 3．（25-26七年级七·福建南平·阶段检测）如果单项式与 是同类项，那么___． 题型03 去括号与添括号 【例1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）添括号：（______） 必记结论 去括号法则：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘；再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号。 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验。 【小试牛刀】 1．（2026·广东广州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 合并同类项 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 必记结论 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项； 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南新乡·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 整式的加減运算 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 必记结论 多项式相加减的本质是‌合并同类项‌，关键在于：‌符号处理‌：减法转化为加法（取反后相加）；‌对齐同类项‌：按相同字母及指数分组合并；‌结果形式‌：结果仍为多项式，次数不超过原多项式的最高次数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）化简： （1）．（2）； 2．（25-26七年级上·山东泰安·期末）计算： (1) (2) 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： （1）． （2）． 题型06 整式的化简求值 【例1】（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 常见错误/必记结论 整式化简求值一定注意是先化简再代入给定数值计算，注意运算顺序和符，切记避免直接代入未化简的复杂式子导致计算错误。整式化简求值的核心在于‌规范去括号‌与‌精准合并同类项。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中 ． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型07 整式的比较大小 【例1】（25-26七年级上·成都·阶段检测）作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较和的大小，因为，所以．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题：(1)比较和的大小；(2)比较和的大小． 必记结论 整式比较大小的核心在于‌灵活选择方法‌，优先作差法，结合赋值验证或代数变形简化分析，同时需注意符号处理和结果的完整性。（切记赋值验证法常用于找反例，不具有完整性） 【小试牛刀】 1．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 3．（25-26七年级上·山东德州·期末）我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题：(1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示：①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 题型08 整式的加减（不含某项与遮挡问题） 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 必记结论 解题核心是‌精确合并同类项‌并‌通过系数为0建立方程‌，注意符号处理和多条件联立是难点。 注意：解出参数后建议代入原式验证，确保化简后确实不含目标项。 逆向推导法‌：根据已知的运算结果和未被遮挡的部分，逆向还原被遮挡的整式或参数。 比较系数法‌：遮挡部分为多项式中的特定项时，通过结果与原式同类项系数的差值求解。 遮挡问题的核心是‌逆向逻辑与代数变形能力‌，需结合合并同类项、符号修正和方程思想，通过对比系数精准还原缺失部分。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值；(2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 题型09 整式加减的新定义 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）定义一种新运算“△”，规定，则__． 必记结论 拆解定义要素‌：明确新定义中符号、运算规则的数学含义，提炼核心操作步骤。 ‌符号对应转换‌：将新定义中的特殊符号转化为常规整式运算（加减乘除）。 新定义问题的核心是‌定义转化与代数建模‌，通过拆分定义要素、严格符号转化和多维度验证，可系统解决此类题型。几何图形关联的整式运算需结合面积公式展开验证。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号，例：．当时，的值是（    ） A． B． C．2 D．6 2．（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）对于若干个整式，“绝对运算”的定义为：先任意选择两个整式求和，再分别减去剩下的整式．例如：对于x，，2这三个整式的一种“绝对运算”结果为：．根据此定义，判断以下说法的正确性； ①对，，进行“绝对运算”的结果可能是0； ②对，，进行“绝对运算”的结果为，则的最大值是7； ③对，，，进行“绝对运算”，化简后有6种不同结果． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·河南焦作·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 4．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．例如：，． (1)计算：；(2)化简：． 题型10 整式加减的实际应用 【例1】（2026·吉林长春·一模）截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（桩）总数达到2069.8万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的5倍还多4个，则该小区安装了______个充电桩（用含n的代数式表示）． 【例2】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包． (1)图①中打包带的总长_______________；（用含、、的代数式表示，并化简） 图②中打包带的总长__________________；（用含、、的代数式表示，并化简） (2)已知一个箱子的长，宽，高，若按照图②的方式打包，请计算打包带的总长． (3)根据你的分析，试判断打包方式____________所用打包带更短． 必记结论 整式的实际应用需掌握‌代数建模、联立方程与几何转化‌三大核心能力。 通过几何图形展开验证公式、经济模型参数化分析、动态物理问题整式化，可系统提升问题解决效率。 【小试牛刀】 1．（2026·河北唐山·二模）如图，甲、乙、丙三根木条紧靠摆放，乙木条最长．乙有一部分与甲重叠，一部分与丙重叠，还剩没有重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为，丙没有与乙重叠的部分的长度为．若甲的长度为，甲、乙的长度差为，则丙的长度为________（结果用含的式子表示）． 2．（2026·江西南昌·二模）如图，3个相同的小矩形与2个相同的大矩形拼成一个矩形，若每个小矩形的宽和每个大矩形的宽均为x，则矩形的周长为________．（用含x的代数式表示） 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】(1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 基础过关 1.（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）下列变号不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东惠州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）． 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 9．（2026·河北沧州·一模）化简：______． 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）为落实“健康第一”的教育理念，某中学开展校园“阳光慢跑”打卡活动．根据学生体质健康标准，制定科学锻炼计划：第1天慢跑4000步，前10天每天比前一天多跑150步，10天后运动量趋于稳定．若用n表示第n天（，且n为整数），则第n天的慢跑步数可用含n的代数式表示为______． 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）计算：(1)；(2)． 12．（25-26七年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，． 13．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中，． 14．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知，． (1)当，时，求的值；(2)若的值与的值无关，求的值． 能力提升 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）一个四次整式与一个五次整式相加，其结果是（     ） A．四次整式 B．五次整式 C．不高于四次的整式 D．不低于四次的整式 16．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A． 是多项式 B．和2不是同类项 C．单项式与单项式相加的结果一定是单项式 D．整式与整式相加的结果一定是整式 17．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 18．（25-26七年级上·广西贵港·期末）若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 19．（25-26七年级上·山西长治·期末）多项式的值（   ） A．与，的大小有关，与的大小无关 B．与的大小有关，与，的大小无关 C．与，，的大小都无关 D．与，，的大小都有关 20．（25-26七年级上·陕西西安·期中）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如，，则的结果为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·河南周口·模拟预测）已知与的和是一个单项式，则__________． 挑战一刻 22．（2026年山西省中考真题数学试题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 23．（24-25七年级上·河北张家口·期末）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”． 例如：与是“准同类项”，则下列单项式 ①；②；③ 中， 与是“准同类项”的是_________． 24．（2025·云南昆明·模拟预测）对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”，仿此，的“分裂”中最大的数是______． 25．（25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】（1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示；（2）写出之间的关系式为_；（3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 26．（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】(1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $