第05讲 有理数的乘除运算（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第05讲 有理数的乘除运算 预习目标 知识回顾 1. 理解有理数乘、除法的意义，掌握有理数乘、除法的法则，正确进行有理数的乘、除法运算；有理数乘除相关运算律； 2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4. 能利用有理数的乘除法解决生活中的实际问题； 5. 体会“分类”、“归纳”、“转化”的数学思想，培养严谨的科学态度和运算能力。 1．运用有理数加减法的法则进行相关运算； 2．有理数加法运算律，运用运算律简化运算； 3．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】 2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行。为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。 【思考2】下图是四川成都冬季某周的最低气温，你能计算这一周最低气温的平均值是多少吗？ 【思考3】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算四川成都冬季这周的最低气温的平均值吗？ 知识点01 有理数的乘法 1.有理数乘法（multiplication）法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0。 2.有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 3.倒数的概念：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数叫作另一个数的倒数（reciprocal），也称这两个有理数数互为倒数。 4.倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；（2）没有倒数；（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 3.多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 4.多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 5.有理数乘法运算律 乘法交换律：； 乘法结合律： ； 乘法对加法的分配律：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 【即学即练】 1．（2026·浙江温州·二模）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 3．（2026·山东菏泽·二模）的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 5．（25-26七年级上·河北沧州·期末）计算：_____． 6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米；(2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ；(3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 知识点02 有理数的除法 1.有理数除法法则1：（注意：0不能作为除数） 两个不等于0数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除。除以任何一个非的数都得。 2.有理数除法法则2：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 3.有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即学即练】 1．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 2．（25-26六年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 3．（2026·湖南长沙·一模）根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期天 4．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 5．（25-26七年级上·河南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·一模）小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误；(2)请你正确计算该题． 7．（24-25七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算． (1)；(2)；(3)；(4) 题型速练 题型01 有理数的乘法运算 【例1】（2026·天津滨海新区·二模）计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． 【例2】（25-26七年级上·成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 必记结论 根据有理数乘法的法则计算即可。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【小试牛刀】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 2．（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 3．（2026·四川德阳·一模）计算 （     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 5．（25-26七年级上·成都·校考期中）计算： (1)； (2)． 题型02 有理数乘法法则的辨析 【例1】（25-26重庆·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 必记结论 有理数乘法的法则 1）①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数同零相乘，都得0；    2）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·青海海南·期末）如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（ ） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 2．（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如果个有理数的乘积为负数，那么其中正数可能有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 4.（25-26成都 七年级期中）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 有理数乘法运算律 【例1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【例2】（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 必记结论 运用运算律的一些技巧： ①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。 ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。 ③带分数应先化为假分数的形式。如：。 ④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。 ⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。 【小试牛刀】 1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)；(2)；(3)． 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整；(2)计算：． 3．（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 4．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务：(1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________．(3)请用另外一种拆分方法计算． 5．（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 题型04 倒数的概念与运用 【例1】（25-26七年级上·广东东莞·期中）的倒数是__________． 必记结论 倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数。 （3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 【小试牛刀】 1．（2026·福建福州·模拟预测）是2026的（     ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．平方根 2．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 4．（2026·浙江温州·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 题型05 有理数的除法运算 【例1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 必记结论 有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【小试牛刀】 1．（2026·山西吕梁·二模）计算的结果为（     ） A． B．2 C． D．8 2．（2026·陕西榆林·三模）计算：（     ） A． B．6 C．10 D． 3．（25-26七年级上·成都·校考期末）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·吉林辽源·期中）若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 5．（24-25六年级上·北京·期中）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型06 有理数除法法则的辨析 【例1】（25-26成都·七年级校考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【例2】（25-26江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（          ） ①若，，则，．②若，，则，且． ③若，，则，．④若，，则，且． A．1 B．2 C．3 D．4 必记结论 有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）的变形依据是 ． 2．（24-25·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（    ） A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型07 有理数除法的简算 【例1】（25-26·成都市七年级校考期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例2】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务：(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号）；(3)请你进行简便计算：． 必记结论 同有理数的乘法运算技巧类似 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·成都·月考）计算：(1)；(2)． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）简便计算 (1) (2) （3） 3．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 题型08 有理数乘除法的混合运算 【例1】（2025七年级上·湖北襄阳·专题练习）计算：（1） （2）； （3） 常见错误/必记结论 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 2．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）计算：(1) (2) 3．（25-26·成都·七年级专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)．(2).(3)． (4)． 题型09 有理数乘除法的实际应用 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图为地铁广佛线站点示意图．全运会期间的一天上午，志愿者小明从祖庙站出发，在地铁上进行志愿服务．如果规定向沥滘方向为正，新城东方向为负，小明的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，，．最后小明在A站结束本次志愿服务活动． (1)A站是哪一站？为什么？ (2)如果相邻两站之间的平均距离为1.2千米，那么小明这次志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为多少？ 【例2】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 必记结论 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）把长2米的圆柱形木料锯成4段小圆柱形木料，表面积增加了60平方分米，原来木料的体积是（   ）立方分米． A．400 B．40 C．200 D．20 2．（2026·贵州贵阳·一模）某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 4．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）张老师积极响应国家推广节能减排的政策，购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续天每天车载电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第四天行驶了，第天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 -5 +2 +5 ○ -6 +5 (1)“○”处的数为______，“”处的数为______； (2)若该新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电约为元，求张老师这天开新能源汽车的电费； (3)已知张老师这款汽车在行驶结束时，若剩余的续航（续航减去行驶的路程）低于或等于总续航的，车载电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 题型10 有理数乘除法的新定义问题 【例1】（25-26七年级上·成都·校考期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 必记结论 “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·广东深圳·期末）定义表示不超过的最大整数．例：，，则的值为________． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，若，则______． 3．（2026·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，，则________，________． 4．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）任意取一个正整数，如果它是奇数，就将该数乘3再加1；如果它是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过若干次计算后，得到的结果必然是1（结果为1时停止计算），每一次计算称为一次变换．根据上述运算法则，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为_________． 基础过关 1．（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 4．（25-26七年级上·山西长治·期末）( ) A．2 B． C．1 D．4 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）下列说法正确的有（   ） ①有理数与数轴上的点一一对应；②a，b互为相反数（），则； ③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 7．（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 9．（2026·陕西安康·二模）《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：现有4斗（1斗=10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米_______升． 10．（25-26七年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 11．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 12．（25-26七年级上·吉林松原·期末）请仔细阅读下面的计算过程，并解答问题． 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)解答过程从第__________开始出错； (2)请写出正确的计算过程． 13．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期____，比生产马年玩偶最少的一天多生产_____个；(2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？(3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 14．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 15．（25-26六年级上·山东淄博·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 能力提升 16．（25-26六年级上·上海闵行·期末）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）腾讯公司将等级用四个图标展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级图标为2个皇冠，则其等级为______级． 18．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________． 19．（25-26七年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算：①；② 20．（25-26七年级上·福建厦门·期中）对于有理数a，定义运算表示的意义如下： 将的绝对值的各位数字相加，若结果大于等于，则继续将结果的各位数字相加，直到得到一个个位数，这个数称为的“数字根”． 如果是负数，则就是这个数字根的相反数； 如果是正数，则就是这个数字根； 如果是，则特别地，的数字根是． 例：：，所以； ：，因为原数是负数，所以；． (1)______；若是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数的值：_______； (2)猜想：对任意整数，是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 挑战一刻 21．（25-26七年级上·湖北十堰·自主招生）如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 22．（25-26八年级上·陕西西安·期末）大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三．这些彩灯最少有_____盏． 23．（25-26七年级下·北京·期中）在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输需100元．运输成本可由公式：“运输成本货物量距离单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和． （1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为吨，吨，吨，运输距离，，从M处分别运3吨货物至L与N，此货运过程中总运输成本为________元． （2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨，每两个货运站之间的运输距离分别为，，，，，，，，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为________元． 24．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商．(2)求四张卡片上数的绝对值的和．(3)聪明的小涵提出了这样一个问题：已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d．①求a，b，c，d的值；②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果．请你选择其中一种方法求式子的值． 25．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据题意解答下列问题： (1)去年年底，在“机器人”创新生态发展大会上，科技园的梅卡曼德机器人展厅中，多模态大模型，能让机器人准确理解语音下达的指令，从操作台上无规律放置的物体模型之中，自动识别出水果种类并进行抓取分类．如图所示，下面直线上的一格表示1米． ①问题1：机器人向西走了4米到达点M，记作米．若机器人到5米的位置，则它应该从起点向（    ）走（    ）米． ②问题2：如果机器人从起点出发，先向西走3米，再向东走7米，那么这时的位置记作（    ）米，请在图中用点N表示出来． (2)材料1：在大自然中，气温会随着海拔的升高而降低．海拔越高，气温越低． 材料2非洲乞力马扎罗山海拔5895米，雄伟、神秘，有“赤道雪山”的美誉． ①问题1：根据如图描述的气温变化规律推算，从海拔0米到山顶，乞力马扎罗山的气温会下降多少摄氏度？ ②问题2：乞力马扎罗山位于赤道附近，地处热带，地面的年平均气温一般在20摄氏度以上． 结合上题的计算结果分析，这座山的山顶景色是（    ）． A．四季如春 B．炎热多雨 C．终年积雪 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘除运算 预习目标 知识回顾 1. 理解有理数乘、除法的意义，掌握有理数乘、除法的法则，正确进行有理数的乘、除法运算；有理数乘除相关运算律； 2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4. 能利用有理数的乘除法解决生活中的实际问题； 5. 体会“分类”、“归纳”、“转化”的数学思想，培养严谨的科学态度和运算能力。 1．运用有理数加减法的法则进行相关运算； 2．有理数加法运算律，运用运算律简化运算； 3．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】 2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行。为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。 【思考2】下图是四川成都冬季某周的最低气温，你能计算这一周最低气温的平均值是多少吗？ 【思考3】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算四川成都冬季这周的最低气温的平均值吗？ 知识点01 有理数的乘法 1.有理数乘法（multiplication）法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0。 2.有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 3.倒数的概念：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数叫作另一个数的倒数（reciprocal），也称这两个有理数数互为倒数。 4.倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；（2）没有倒数；（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 3.多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 4.多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 5.有理数乘法运算律 乘法交换律：； 乘法结合律： ； 乘法对加法的分配律：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 【即学即练】 1．（2026·浙江温州·二模）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求．故选：D． 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，错误，此选项不符合题意； 选项B：，错误，此选项不符合题意； 选项C：，错误，此选项不符合题意； 选项D：，正确，此选项符合题意．故选：D． 3．（2026·山东菏泽·二模）的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数为， 的倒数为，∴的相反数的倒数是． 4．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 5．（25-26七年级上·河北沧州·期末）计算：_____． 【答案】 【详解】解： ，故答案为：． 6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米；(2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ；(3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 【答案】(1)4(2)五(3)爸爸这七天一共跑步千米 【详解】（1）解：星期二爸爸的跑步路程为（千米），故答案为：4； （2）解：由表格可知，比计划增加的路程最多的一天多跑了2千米，即星期五， 所以爸爸跑步路程最多的一天是星期五，故答案为：五； （3）解：七天计划跑步总路程为（千米）， 一周路程增减量的总和为（千米） 所以七天实际总路程为（千米），答：爸爸这七天一共跑步千米． 知识点02 有理数的除法 1.有理数除法法则1：（注意：0不能作为除数） 两个不等于0数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除。除以任何一个非的数都得。 2.有理数除法法则2：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 3.有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即学即练】 1．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 2．（25-26六年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 【答案】D 【详解】解：选项A：∵如果两个数的和为0，则它们互为相反数，但当其中一个数为0时，商不存在，∴A错误；选项B：∵如果两个数的差为0，则它们相等，但当数为0时，商不存在，∴B错误； 选项C：∵如果两个数的积为，则它们互为负倒数，但和不一定为0，例如2和，和为，∴C错误；选项D：∵如果两个数的商为，则设一个数为，另一个数为， ∴，∴D正确，故选：D. 3．（2026·湖南长沙·一模）根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期天 【答案】D 【详解】解：∵ 密码从左到右12个数字依次对应1到12月，4月对应第4个数字，密码为033614625035， ∴ 4月对应的密码数字是6，计算和得 ， ∵ ，余数为0，根据规则余数0对应星期天，∴ 2035年4月22日是星期天. 4．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 【答案】D 【详解】解：∵（为正整数）， ∴，故选：D． 5．（25-26七年级上·河南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．，故A计算错误；B．，故B计算正确； C．乘除为同级运算，需从左到右依次计算，，故C计算错误； D．有括号先算括号内，，且除法无分配律，不能拆分计算，故D计算错误．故选：B． 6．（2026·河北邯郸·一模）小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误；(2)请你正确计算该题． 【答案】(1)一，一(2) 【详解】（1）解：小河计算时，违反同级运算从左到右的计算顺序，先计算了后一项的乘法，第一步就得到错误结果，因此小河从第一步开始出现错误． 小北计算时，错误对除法使用分配律拆分，第一步就得到错误结果，因此小北从第一步开始出现错误． （2）解：正确计算过程如下： ． 7．（24-25七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算． (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)100(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 题型速练 题型01 有理数的乘法运算 【例1】（2026·天津滨海新区·二模）计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：. 【例2】（25-26七年级上·成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)0(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 必记结论 根据有理数乘法的法则计算即可。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【小试牛刀】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．（2026·四川德阳·一模）计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 5．（25-26七年级上·成都·校考期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型02 有理数乘法法则的辨析 【例1】（25-26重庆·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误； ②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误； ③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确； ④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．∴正确的有2个；故选：A． 必记结论 有理数乘法的法则 1）①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数同零相乘，都得0；    2）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·青海海南·期末）如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（ ） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【答案】B 【详解】解：∵2025个有理数相乘所得的积为0， ∴这2025个数中至少有一个数为0．故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：中负数的个数为偶数，故选项B不符合题意； 选项C：中负数的个数为偶数，故选项C不符合题意； 选项D：中负数的个数为奇数，故选项D符合题意．故答案为：D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如果个有理数的乘积为负数，那么其中正数可能有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【详解】解：个有理数乘积为负，负因数个数为奇数，或， 当时，正数有个，当时，正数有个，故选：B． 4.（25-26成都 七年级期中）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该小题说法错误； 故选：A． 题型03 有理数乘法运算律 【例1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【详解】解：第①步是将带分数拆分为，没有运用乘法交换律，故A选项错误； 按照乘法对加法的分配律展开计算：， ∴第②步运用了乘法对加法的分配律，但计算时符号错误，结果错误，故B选项正确，C选项错误； 第②步计算已经出错，∴第③步的结果错误，故D选项错误． 【例2】（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 必记结论 运用运算律的一些技巧： ①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。 ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。 ③带分数应先化为假分数的形式。如：。 ④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。 ⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。 【小试牛刀】 1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整；(2)计算：． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 3．（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【答案】(1)；； (2)； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务：(1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________．(3)请用另外一种拆分方法计算． 【答案】(1)拆项法；乘法分配律(2)9(3)见解析 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）解：原式 ． 5．（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)C(2) 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律，故选：C； （2）解： ． 题型04 倒数的概念与运用 【例1】（25-26七年级上·广东东莞·期中）的倒数是__________． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 必记结论 倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数。 （3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 【小试牛刀】 1．（2026·福建福州·模拟预测）是2026的（     ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．平方根 【答案】C 【详解】解：，而，∴是2026的倒数． 2．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 【答案】C 【详解】解：∵，∴1的倒数是1， ∵，∴的倒数是， ∵0没有倒数，∴选项D不符合题意，综上：倒数等于本身的数是1和． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【答案】C 【详解】解：A．0的相反数是0，0没有倒数，错误 ​B．乘积为1的两个数互为倒数，的倒数是，不是4，错误 ​C．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，相加结果恒为0，正确 ​D．倒数等于本身的数有1和，错误 4．（2026·浙江温州·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵∴的倒数是． 题型05 有理数的除法运算 【例1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【例2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：，解得 ， 将代入正确算式，得． 必记结论 有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【小试牛刀】 1．（2026·山西吕梁·二模）计算的结果为（     ） A． B．2 C． D．8 【答案】D 【详解】解：． 2．（2026·陕西榆林·三模）计算：（     ） A． B．6 C．10 D． 【答案】A 【详解】解：根据有理数除法法则，异号两数相除结果为负，再将两数的绝对值相除即可 ， ． 3．（25-26七年级上·成都·校考期末）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误；C、，故计算正确； D、，故计算错误；故选：C． 4．（25-26九年级下·吉林辽源·期中）若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵被除数为负数，运算结果为负数， ∴内的数应为正数，且不为0，观察选项，只有B选项的符合要求． 5．（24-25六年级上·北京·期中）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，，∴． 题型06 有理数除法法则的辨析 【例1】（25-26成都·七年级校考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：，，故选：B． 【例2】（25-26江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（          ） ①若，，则，．②若，，则，且． ③若，，则，．④若，，则，且． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①若，，则，，故①结论正确； ②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误； ③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确； ④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误． 故正确的有2个．故选：B． 必记结论 有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）的变形依据是 ． 【答案】除以一个数等于乘以一个数的倒数 【详解】解：的变形依据是有理数的除法法则，除以一个数等于乘以一个数的倒数． 故答案为：除以一个数等于乘以一个数的倒数． 2．（24-25·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（    ） A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定 【答案】C 【详解】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意； C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意； D．若两个数的商是正数，这两数的和、积的正负不能确定，积的正负能确定，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：，，，, ，，，， 当时，，则；当时，，则；当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个，故选：C． 题型07 有理数除法的简算 【例1】（25-26·成都市七年级校考期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14 【详解】(1). (2). (3). (4). (5). (6). 【例2】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务：(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号）；(3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)①(2)③(3) 【详解】（1）解：解法①是错误的．故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ，故原式． 必记结论 同有理数的乘法运算技巧类似 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·成都·月考）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）简便计算 (1) (2) （3） 【答案】(1)34 (2) （3）1 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 3．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)1(3)(4) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ∴． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 题型08 有理数乘除法的混合运算 【例1】（2025七年级上·湖北襄阳·专题练习）计算：（1） （2）； （3） 【答案】（1）39 （2）0（3） 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 （3）解： 常见错误/必记结论 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【答案】(1)二，运算顺序错误或者（先算了乘法）；三，两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除或者（有理数除法法则） (2)或 【详解】（1）第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把绝对值相除； （2）． 2．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）计算：(1) (2) 【答案】(1)3(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 3．（25-26·成都·七年级专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)．(2).(3)． (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)2994 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型09 有理数乘除法的实际应用 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图为地铁广佛线站点示意图．全运会期间的一天上午，志愿者小明从祖庙站出发，在地铁上进行志愿服务．如果规定向沥滘方向为正，新城东方向为负，小明的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，，．最后小明在A站结束本次志愿服务活动． (1)A站是哪一站？为什么？ (2)如果相邻两站之间的平均距离为1.2千米，那么小明这次志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为多少？ 【答案】(1)A站是千灯湖站，理由见解析(2)小明志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为55.2千米 【详解】（1）解：站是千灯湖站 理由如下： 小明在祖庙站往沥滘方向的6个站，也就是千灯湖站； （2） 答：小明志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为55.2千米 【例2】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)；(2)会发出充电提示 【详解】（1）解：第三天行驶了，故应记作，∴“■”处的数为； 第六天行驶了，故应记作，∴“●”处的数为；故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比，∴会发出充电提示． 必记结论 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）把长2米的圆柱形木料锯成4段小圆柱形木料，表面积增加了60平方分米，原来木料的体积是（   ）立方分米． A．400 B．40 C．200 D．20 【答案】C 【详解】解：米分米，木料的底面积为（平方分米）， ∴ 原木料体积为（立方分米）． 2．（2026·贵州贵阳·一模）某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 【答案】D 【详解】解：∵每碗馄饨共10个，虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗， ∴单个虾仁馄饨价格为元，单个鲜肉馄饨价格为元， ∵双拼馄饨含两种馄饨各5个，∴总定价为元． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 【答案】7 【详解】解：四个小球的体积：立方厘米， 每一个小球的体积为立方厘米， 每一个大球的体积为立方厘米． 4．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）张老师积极响应国家推广节能减排的政策，购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续天每天车载电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第四天行驶了，第天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 -5 +2 +5 ○ -6 +5 (1)“○”处的数为______，“”处的数为______； (2)若该新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电约为元，求张老师这天开新能源汽车的电费； (3)已知张老师这款汽车在行驶结束时，若剩余的续航（续航减去行驶的路程）低于或等于总续航的，车载电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)，(2)元(3)车载电脑不会发出充电提示 【详解】（1）解：第四天行驶了，差为； 第天行驶了，差为；故答案为：，． （2）解： ，连续天的行驶路程为； 总耗电量为（度），电费为：（元）， 故张老师这天开新能源汽车的电费为元． （3）解：总续航的为：；天后的剩余续航为：； ，车载电脑不会发出充电提示． 题型10 有理数乘除法的新定义问题 【例1】（25-26七年级上·成都·校考期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 【例2】（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值 (2) (3)3或1 【详解】（1）解：两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于这个数的绝对值，故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2）； （3），， 当时，，得，当，时，， 当，时，，当，时，，综上，的值为3或1． 必记结论 “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·广东深圳·期末）定义表示不超过的最大整数．例：，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】解：由题意，，，∴．故答案为： 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：， 当，时，． 3．（2026·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，，则________，________． 【答案】 【详解】解：，，； ，，． 4．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）任意取一个正整数，如果它是奇数，就将该数乘3再加1；如果它是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过若干次计算后，得到的结果必然是1（结果为1时停止计算），每一次计算称为一次变换．根据上述运算法则，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为_________． 【答案】 【详解】设初始值，第次变换后结果为，由题意得，根据变换规则逆推： 1．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 2．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 3．若第次变换后的结果为，存在两种可能或，会提前停止变换，不符合要求，仅保留 4．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 5．若第次变换后的结果为，存在两种可能或 6．若第次变换后的结果为，仅得；若第次变换得，仅得，故可能为 7．若第次变换后的结果为，得或；若第次变换得，得或，故可能为 8．逆推初始值：得到所有可能值为，其中最小的正整数为． 基础过关 1．（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项；故选：A． 2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：，两数不互为倒数； 选项B：，两数不互为倒数； 选项C：，两数互为倒数；选项D：没有倒数，两数不互为倒数． 3．（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【详解】解：．故选：A． 4．（25-26七年级上·山西长治·期末）( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：．故选：D． 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，故选：． 6．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）下列说法正确的有（   ） ①有理数与数轴上的点一一对应；②a，b互为相反数（），则； ③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【详解】解：①∵有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都用来表示无理数，如π可以用数轴上的点来表示，但π不是有理数，∴①说法错误； ②∵a，b互为相反数，且，∴，且，∴，∴②说法正确； ③∵0的绝对值是0，即0的绝对值也是它本身，∴绝对值是它本身的数是正数和0，并非只有正数， ∴③说法错误；综上，正确的说法共1个． 7．（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：2角元，8角元，假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元），每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元），损坏的玻璃杯数量：（只），故快递公司损坏13只玻璃杯． 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便．故答案为：乘法交换律和结合律． 9．（2026·陕西安康·二模）《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：现有4斗（1斗=10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米_______升． 【答案】24 【详解】解：根据题意，得（升）． 10．（25-26七年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【详解】解：由题意得，，∴， ∴正确结果为，故答案为：． 11．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 12．（25-26七年级上·吉林松原·期末）请仔细阅读下面的计算过程，并解答问题． 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)解答过程从第__________开始出错； (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)二(2)见解析 【详解】（1）解：有错；解答过程从第二步开始出错，原因是同级运算中，没按从左到右的顺序进行计算． 故答案为：二； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期____，比生产马年玩偶最少的一天多生产_____个；(2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？(3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19(2)910个(3)301个 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个，则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 14．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②；(2)；(3)． 【详解】（1）解：①，故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 15．（25-26六年级上·山东淄博·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 【答案】(1)①；②；③；④；(2) 【详解】（1）解：①依题意，，故答案为：9； ②依题意，，故答案为：； ③依题意，，故答案为：； ④依题意，，故答案为：； （2）解：依题意，． 能力提升 16．（25-26六年级上·上海闵行·期末）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意；、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意；、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意；、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意．故选：． 17．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）腾讯公司将等级用四个图标展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级图标为2个皇冠，则其等级为______级． 【答案】128 【详解】解：由题意，一个皇冠等于4个太阳，一个太阳等于4个月亮，一个月亮等于4个星星，一个星星为1级，因此一个皇冠的等级为级， 故两个皇冠的等级为级．故答案为：128． 18．（25-26六年级上·山东烟台·期末）某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________． 【答案】103545 【详解】解：； ； ， ∴，故答案为：103545． 19．（25-26七年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算：①；② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解：； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为，． 20．（25-26七年级上·福建厦门·期中）对于有理数a，定义运算表示的意义如下： 将的绝对值的各位数字相加，若结果大于等于，则继续将结果的各位数字相加，直到得到一个个位数，这个数称为的“数字根”． 如果是负数，则就是这个数字根的相反数； 如果是正数，则就是这个数字根； 如果是，则特别地，的数字根是． 例：：，所以； ：，因为原数是负数，所以；． (1)______；若是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数的值：_______； (2)猜想：对任意整数，是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【答案】(1)；或或或或或或或或或（写一个即可）； (2)不一定成立，理由见解析． 【详解】（1）解：∵：，∴， ∵是一个两位数，且，∴当两个数字之和小于时，或或或， 当两个数字之和大于时，或或或或或， 故答案为：；或或或或或或或或或（写一个即可）； （2）解：不一定成立，理由，反例：取，， 所以：；：； ∴，，所以左边；右边， ∴左边右边，即，∴原等式不一定成立． 挑战一刻 21．（25-26七年级上·湖北十堰·自主招生）如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【详解】解：m、n、p、q是互不相等的正整数，， 、、、是互不相等的整数， 只能分解为四个互不相等整数的乘积：， 、、、这四个数就是、1、、3， 解得对应的m、n、p、q为1，3，5，7， 要使取得最大值，需让系数最大的变量取最大的数，系数次大的变量取次大的数， 令、、、，代入得： ，即所求式子最大值为50． 22．（25-26八年级上·陕西西安·期末）大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三．这些彩灯最少有_____盏． 【答案】21 【详解】解：由题知彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5． ∵彩灯数量是3和7的公倍数，即21的倍数．∴设数量为，k为正整数．   当时，，余1，满足题意，余5，即缺3，满足题意， ∴这些彩灯最少有21盏．故答案为21． 23．（25-26七年级下·北京·期中）在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输需100元．运输成本可由公式：“运输成本货物量距离单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和． （1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为吨，吨，吨，运输距离，，从M处分别运3吨货物至L与N，此货运过程中总运输成本为________元． （2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨，每两个货运站之间的运输距离分别为，，，，，，，，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为________元． 【答案】 2400 1600 【详解】解：（1）根据题意可得：（元）， （2）， ∵初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨， ∴从B运2吨到D，费用元， ∵B到A距离为5，B先到E再到A距离为， ∴从B运2吨到E，费用为元， 从E运2吨到A，费用为元， 从E运1吨到C，费用为元， 元． 24．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商．(2)求四张卡片上数的绝对值的和．(3)聪明的小涵提出了这样一个问题：已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d．①求a，b，c，d的值；②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果．请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1)，(2)(3)①，，，，②139 【详解】（1）解：，． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为． （2）解：，∴四张卡片上数的绝对值的和为． （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15，∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，． ② ； ． 25．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据题意解答下列问题： (1)去年年底，在“机器人”创新生态发展大会上，科技园的梅卡曼德机器人展厅中，多模态大模型，能让机器人准确理解语音下达的指令，从操作台上无规律放置的物体模型之中，自动识别出水果种类并进行抓取分类．如图所示，下面直线上的一格表示1米． ①问题1：机器人向西走了4米到达点M，记作米．若机器人到5米的位置，则它应该从起点向（    ）走（    ）米． ②问题2：如果机器人从起点出发，先向西走3米，再向东走7米，那么这时的位置记作（    ）米，请在图中用点N表示出来． (2)材料1：在大自然中，气温会随着海拔的升高而降低．海拔越高，气温越低． 材料2非洲乞力马扎罗山海拔5895米，雄伟、神秘，有“赤道雪山”的美誉． ①问题1：根据如图描述的气温变化规律推算，从海拔0米到山顶，乞力马扎罗山的气温会下降多少摄氏度？ ②问题2：乞力马扎罗山位于赤道附近，地处热带，地面的年平均气温一般在20摄氏度以上． 结合上题的计算结果分析，这座山的山顶景色是（    ）． A．四季如春 B．炎热多雨 C．终年积雪 【答案】(1)①东，5；②4，见解析； (2)①下降；②C． 【详解】（1）解：①机器人向西走了4米到达点M，记作米，可知向西为负，向东为正， 若机器人到5米的位置，则它应该从起点向东走5米； ②∵向西为负，向东为正，∴这时的位置记作米，点N表示如下： （2）解：①； ②山顶年平均气温：，可知这座山的山顶景色是终年积雪． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $