【嘉加数学】第07讲 探索规律 小升初衔接讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第7讲 探索规律 【课前热身】 1．（2025春•宝山区校级期末）如果关于、的单项式与的和是一个单项式，那么　13　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知，， 解得，， ． 故答案为：13． 2．（2024秋•金水区校级期中）多项式是关于的二次三项式．则的值是 　　． 【解答】解：多项式是关于的二次三项式， 且， ． 故答案为：． 3．（2025春•赣榆区期中）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 　3　 ． 【解答】解：， 关于的多项式的值与的取值无关， ， ， 故答案为：3． 4．（2024秋•阳新县期末）已知，且无论，为何值时，的值始终不变． （1）分别求、的值； （2）求的值． 【解答】解：（1） ， 的值始终不变， ，， ，； （2）． 【学习目标】 1、学会从特殊到一般，通过对给定情况的观察、分析，发现规律，即观察、归纳与猜想； 2、能够找出简单的数字规律和图形规律。 【考点分类】 考点一：数字中的规律 解答数字类规律探索问题，应该从最简单的数字开始，分析数字之间存在的内在联系规律，先猜想，然后验证. 【例1】（2024秋•成华区校级期中）观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数． （1）　　，　　． （2），，，1，　　，　　． 【解答】解：（1）经分析可知，这串数字从开始，后一个数的分母是前一个数的2倍， 故后面的2个数字依次为，； （3）经分析可知，这串数字从开始，后一个数比前一个数大4， 故后面的2个数字依次为5，9． 故答案为：（1），；（2）5，9． 【例2】（2024秋•义安区期末）观察一列数：，3，，7，，11，，按照这列数的排列规律，你认为第个数应该是　　 A． B． C． D． 【解答】解：一列数：，3，，7，，11，，， 这列数的第个数为：， 故选：． 【例3】（2024秋•青白江区校级期中）观察算式，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是　4　． 【解答】解：发现规律：末位数字以2，4，8，6循环出现， 余2， 的末位数字是4， 故答案为：4． 【例4】（2024秋•锦江区校级期中）如图五个正方形格子中各有四个数，各正方形格子中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出的值为　　 A．49 B．20 C．51 D．10 【解答】解：第一个正方形：， 第二个正方形：， 第三个正方形：， 第四个正方形：， 第五个正方形：， ， 故选：． 【例5】（2024秋•金牛区校级期中）一只电子跳蚤，从点开始在一条直线上跳着玩，第一次向右跳1厘米，第二次向左跳2厘米，第三向右次跳3厘米，第四向左跳4厘米，依此下去．如果第2023次跳完后，请问跳蚤落的位置到点的距离是 　1012　厘米． 【解答】解：根据题意设向右跳为正，向左跳为负， 则有： （厘米）， 跳蚤的位置到点的距离是：1012厘米．故答案是：1012． 【变式训练】 1．（2024秋•双流区校级期中）观察一列数：，，，，，，按此规律，此列数的第个数为 　　． 【解答】解：由题意知，； ； ； ； ； ， 可推导一般性规律为：第个数为， 故答案为：． 2．（2024秋•郫都区期中）按一定规律排列的单项式：、、、、、，则第个单项式是 　　． 【解答】解：、、、、、， 第个单项式是， 故答案为：． 3．（2024秋•吴江区校级月考）观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是　　 A．3 B．5 C．7 D．9 【解答】解：，，，，，，，， ， 以此类推末位数字每4次运算尾数2、4、8、6循环出现， ， 的末位数字与的尾数相同为8， ，，，，，，，， ， 以此类推，末位数字每4次运算尾数3、9、7、1循环出现， 的末位数字与的尾数相同为7， ， 的末位数字是5． 故选：． 4．（2024•泌阳县模拟）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：，那么由图2可知，孩子出生后的天数是　　天． A．510 B．511 C．513 D．520 【解答】解：（天， 答：孩子自出生后的天数是510天． 故选：． 5．（2024秋•袁州区校级期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定的值为 　9　，的值为 　　，的值为 　　． 【解答】解：观察表格可得第个表格的左上角的数等于， ，，，， 可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3，4，5，，， ， ， ， ，，，，， ． 故答案为：9，10，209． 6．（2024秋•温江区校级期中）数列：0，2，4，8，12，18，叫大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．该数列中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，数轴上现有一点从原点出发，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为；第3秒点向右跳4个单位，记为，此时点表示的数为2；按此规律跳跃，点表示的数为 　1023132　． 【解答】解：观察得：表示的数为：， 表示的数为：， 表示的数为：， ， 大衍数列中第2021个数是， 大衍数列中第2022个数， 大衍数列中第2023个数， 故点表示的数为： ， 故答案为：1023132． 考点二：算式中的规律 算式规律问题主要是以列代数式即关系式为主要内容，探究等式变化规律，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律。 【例1】（2024秋•龙泉驿区校级期中）观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 若且为整数，请你用含有的等式把以上式子的规律表示出来 　　． 【解答】解：观察已知所给等式可知： 规律为：， 故答案为：． 【例2】（2024秋•温江区校级期中）将2，5，10，11这四个数（每个数必须用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使运算结果等于24．请写出满足条件的算式：　（本题答案不唯一）　． 【解答】解：由题意可得， ， 故答案为：（本题答案不唯一）． 【例3】（2024•东港区校级一模）已知整数，，，，满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为 　　． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 当为偶数时，，当为奇数时，， ． 故答案为：． 【例4】（2024秋•锦江区校级期中）数学高速发展，各种程序应运而生，天府软件园的程序员发明了数学中的一种新数运算，它们取名“和倒倍数”， 是不为的数，他们把称作的“和倒倍数”，如的“和倒倍数”是，已知，是的“和倒倍数”， 是的“和倒倍数”， 依次类推，则　　． 【解答】解：由题知， 因为，且是的“和倒倍数”， 所以； 依次类推，； ； ； ， 所以为大于1的整数）． 当时， ． 故答案为：． 【例5】（2024秋•金乡县期末）对于正数，规定，例如（2），则（1）（2）的值是　　 A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【解答】解：， ， ， （1）（2） （1） ， 故选：． 【例6】（2024秋•武侯区校级期中）我们对多边形的每条边都赋给一个特征值，将顶点的特征值确定为相邻两边特征值差的绝对值，称第1次“运算”；再将边的特征值确定为相邻两端点特征值差的绝对值，称第2次“运算”；如图1是三角形经过两次“运算”的示意图． 如图2，已知某长方形的四边的特征值分别为，2，7，4，若这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0，则满足条件的正整数的值为 　5或9　． 【解答】解：这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0， ，，， 是正整数， 或9， 故答案为：5或9． 【变式训练】 1．（2024秋•金牛区校级期中）已知：，，，，观察上面的计算过程，寻找规律并计算　165　． 【解答】解：，，，， ． 故答案为：165． 2．（2024秋•金牛区校级期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下这52张牌代表，、、分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃、红桃、梅花3、方块，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成　（答案不唯一）　． 【解答】解：由题意可得：， 故答案为：． 3．（2024秋•成都期中）已知整数，，，，，满足下列条件：，，，，，，以此类推，则的值为 　1010　． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1010． 4．（2024秋•郫都区校级期中）在数轴上有理数，分别用点，表示，我们称点是点的“差倒数点”，已知数轴上点的差倒数点为点，点的差倒数点为点；点的差倒数点为点这样依次得到点，，，，若点，，，，在数轴上分别表示的有理数为，，，，，则当时，代数式的值为 　1013　． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1013． 5．（2024秋•武冈市期末）定义，即当时，；当时，，那么　2020.5　． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 同理可得， ． 故答案为：2020.5． 6．（2024秋•高新区期末）我们对多边形的每条边都赋给一个特征值，将顶点的特征值确定为相邻两边特征值差的绝对值，称第1次“运算”；再将边的特征值确定为相邻两端点特征值差的绝对值，称第2次“运算”；如图1是三角形经过两次“运算”的示意图， 如图2，已知某长方形的四边的特征值分别为，1，6，3，若这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0，则满足条件的正整数的值为 　8或4　． 【解答】解：， 这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0， ，，， 是正整数， 或4， 故答案为：8或4． 考点三：数表中的规律 观察数表的排列规律，分析数字之间的关系，分析数字与行或者列之间的关系。 【例1】（2024秋•成都期中）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2023是表中第 　64　行第 　　列． 【解答】解：由图可知， 第一行1个数字， 第二行2个数字， 第三行3个数字， ， 则第行个数字， 前行一共有个数字， ，， 是表中第64行第7列， 故答案为：64，7． 【例2】（2024秋•高新区校级期中）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为 　　． 【解答】解：观察所给数列可知： 所有数的绝对值是从2开始的偶数，且第行有个数， 前10行一共有个数， 又从2开始的第100个偶数是200，即第10行最后一个数的绝对值是200， 第11行第一个数的绝对值是202， 奇数行第一个数为正，偶数行第一个数为负，且所有行都为正负数相间排列， 第11行，从左向右第4个数为， 故答案为：． 【例3】（2024秋•龙泉驿区期中）观察下列数表规律，第列第二排的数为 　　（用含的代数式表示）． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第列 第一排 2 6 10 第二排 2 0 7 4 21 第三排 2 4 8 16 32 【解答】解：第一排第列的数为：， 第三排第列的数为：， 第列第二排的数为：， 故答案为：． 【例4】（2024秋•天府新区校级期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列、从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层的，，，，，按照这个规律，若位于第层第个数（从左往右数），则　8　，　　． 【解答】解：由图可知，向右发散的都是真分数，规律是，向左发散的都是假分数，规律是， ， 在第8层，即， 由图知，左边有2个数，左边有4个数，左边有8个数，左边有16个数，左边有32个数， 左边有64个数，即， 故答案为：8；65． 【变式训练】 1．（2024秋•青羊区校级期中）（1）正整数按图1中的规律排列，数字2023在第行，第列，则　48　． （2）如图2是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，在第行第列，则　　． 【解答】解：（1）观察图中知：每行的第一个数为该行行数的平方， 而，则第45行的第3列数为2023； 即 故答案为：48； （2）由题意得：第行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数， 第行从左数第1个数分母为：， 分子为：，且分母为偶数时为负， 第23行第1个数为：， 第23行第3个数是：． ， 故答案为：74． 2．（2025•白云区二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第列第行的位置，则和的值分别是　　 A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 【解答】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止， 第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止， ， 数字2025出现在第1行第45列的位置， ，， 故选：． 3．（2024•聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第个数对：，． 【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，．．．， 即，，，，，．， 则第个数对的第一个数为， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，．， 即，，，，．．．， 则第个数对的第二个数为， 第个数对为，． 故答案为：，． 4．（2024秋•邗江区期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，，按照这个规律，若位于第层第个数（从左往右数），则　139　． 【解答】解：由图可知，向右发散的都是真分数，规律是，向左发散的都是假分数，规律是， ， 在第9层， 由图知，第9层共有256个数，在的右支上， 在第9层从左往右数第130个数， ．故答案为：139． 考点四：图形中的规律 观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合。 【例1】（2024秋•青羊区校级期中）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形， （1）按此规律排列下去，则第5个图案中黑色三角形的个数是　15　． （2）用含的式子表示第个图案中黑色三角形的个数是　　． 【解答】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中黑色三角形的个数是：； 第2个图案中黑色三角形的个数是：； 第3个图案中黑色三角形的个数是：； ， 所以第个图案中黑色三角形的个数是：． 当时， （个， 即第5个图案中黑色三角形的个数是15个． 故答案为：15． （2）由（1）知， 第个图案中黑色三角形的个数是个． 故答案为：． 【例2】（2024秋•金牛区校级期中）如图是用三角形摆成的图案，摆第一层图案需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三角形，摆第三层图案需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第10层图案需要　91　个三角形，，摆第层图案需要　　个三角形． 【解答】解：第1层，1个三角形， 第2层，3个三角形，比第一次多2个， 第3层，7个三角形，比第二次多4个， 第4层，13个三角形，比第三次多6个， 第5层三角形的个数为：21（个， 第6层三角形的个数为：31（个， ， 第10层三角形的个数为：（个， 第层与第的数量关系是：第层上的三角形个数比第层多个三角形， 第层三角形的个数为： ， 故答案为：91，． 【例3】（2025春•玉州区期末）如图，题中图形是用棋子按照一定规律摆成的，按照这种摆法，第个图形中共有棋子　　 A．枚 B．枚 C．枚 D．枚 【解答】解：第一个图形中有个棋子， 第二个图形中有个棋子， 第三个图形中有个棋子， 第个图形中共有个棋子，故选：． 【例4】（2024秋•秦淮区期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，，依此规律，第100个图案有 　499　个黑棋子． 【解答】解：观察图1有个黑棋子； 图2有个黑棋子； 图3有个黑棋子； 图4有个黑棋子； 图有个黑棋子， 当时，个黑棋子， 当， 故答案为：499． 【例5】（2024秋•温江区校级期中）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第2024个图形中“〇”的个数为　6073　． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中“〇”的个数为：； 第2个图形中“〇”的个数为：； 第3个图形中“〇”的个数为：； ， 所以第个图形中“〇”的个数为． 当时， ， 即第2024个图形中“〇”的个数为6073． 故答案为：6073． 【变式训练】 1．（2024秋•宣汉县期中）用火柴棒按下图中的方式搭图形如图所示：照这样的规律摆下去，搭第10个图形需要火柴棒的根数为　　 A．50 B．51 C．40 D．41 【解答】解：第①个图形火柴棒的数量是：5， 第②个图形火柴棒的数量是：， 第③个图形火柴棒的数量是：， ， 第个图形火柴棒的数量是：， 第10个图形火柴棒的数量是：， 故选：． 2．（2024秋•成都期中）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚若按照这样的规律一直拼下去，则第8个图形中所用两种卡片的总数为 　42　． 【解答】解：第1个图形中有正方形和等边三角形卡片枚， 第2个图形中有正方形和等边三角形卡片枚， 第3个图形中有正方形和等边三角形卡片枚， 第4个图形中有正方形和等边三角形卡片枚， 第个图形中有正方形和等边三角形卡片个， 当时，， 第8个图形所用两种卡片的总数为42． 故答案为：42． 3．（2025•南岸区模拟）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则第个“口”字需要用棋子　　 A．枚 B．枚 C．枚 D．枚 【解答】解：时，棋子个数为； 时，棋子个数为； 时，棋子个数为； ； 时，棋子个数为． 故选：． 4．（2024秋•锦江区校级期中）观察如图所示的图案，每条边上有个方点，代表图案中方点的个数，按照你发现的每个图案中的规律，写出第个图形中方点的个数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ，， ，， ． 故选：． 5．（2024秋•锦江区校级期中）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．若长方形内有4个点，则三角形个数为 　10　个；若长方形内有个点，则三角形个数为 　　个（不计被分割的三角形）． 【解答】解：由图2可知：长方形内有1个点，则三角形个数为4个， 由图3可知：长方形内有2个点，则三角形个数为6个， 则长方形内有4个点，则三角形个数为10个， 长方形内有个点，则三角形个数为个， 故答案为：10；． 【过关精练】 1．（2024秋•扎鲁特旗期末）若按一定规律排列的数据如下：，，，，，，则第个数可用代数式表示为　　．为正整数） 【解答】解：一列数为：，，，，，， 第个数可以表示为：， 故答案为：． 2．（2024秋•简阳市校级期中）如图是用火柴棒拼出的一列图形．第6个图中共有　25　根火柴，第个图形中共有　　根火柴（用含的式子表示）． 【解答】解：观察图形的变化可知： 第1个图中，火柴棒的根数是5； 第2个图中，火柴棒的根数是9； 第3个图中，火柴棒的根数是13； ， 所以第6个图中，火柴棒的根数是； ， 所以第个图形中，火柴棒的根数是． 故答案为：25；． 3．（2024秋•乳山市期中）观察规律：，，，，若符合上述规律，则 　131　． 【解答】解：发现规律：， 又， ，， ， 故答案为：131． 4．（2024秋•武侯区校级期中）把有理数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，，若，经过第2024次操作后得到的结果是　　 A． B． C． D． 【解答】解：第1次操作，； 第2次操作，； 第3次操作，； 第4次操作，； 第5次操作，； 第6次操作，； ， 从开始两个循环，，， 所以第2024次操作，． 故选：． 5．（2024秋•郫都区校级期中）将实数，2，，4，按图所示方式排列．若用表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之和是 　　． 【解答】解：从图示中知道，所表示的数是：； 第22排最后一个数的序号是：， 表示的是第个数， 由图观察规律知奇数个为负，偶数个为正， 所表示的数是， 与表示的两数之和是：． 故答案为：． 6．（2024秋•温江区校级期中）在数轴上有理数，分别用点，表示，我们称点是点的“差倒数点”，已知数轴上点的差倒数点为点，点的差倒数点为点；点的差倒数点为点这样依次得到点，，，，若点，，，，在数轴上分别表示的有理数为，，，，，则当时，代数式的值为 　2138　． 【解答】解：由题知， 因为， 所以， ， ， ， ， 由此可见，这列数从开始按循环， 因为余2， 所以． 故答案为：2138． 7．（2024秋•金牛区校级期中）有一列数，，，，将这列数中的每个数求其相反数得到，2，3，，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，，，，称这为一次操作，第二次操作是将，，，再进行上述操作，得到，，，；第三次将，，，重复上述操作，得到，，，以此类推，则　　；　　． 【解答】解：由题意得： 第一次得：， ， ， ， 第二次得： ， ， ， ， 第三次得： ， ， ， ， 则每3次操作，相应的数会重复出现，一个循环内共12个数． ， ， ， ， 故答案为：；． 8．（2024秋•武侯区校级期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列，从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，，按照这个规律，若位于第层第个数（从左往右数），则 　10　． 　　． 【解答】解：由图可知，向右发散的都是真分数，规律是，向左发散的都是假分数，规律是， ， 在第10层， 由图知，左边有1个数，的左边有3个数，左边有7个数，左边有15个数，左边有31个数，左边有63个数，左边有126个数，的左边有252个数， 在第10层从左往右数第253个数， 故答案为：10；253． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 本讲简介 本讲主要包含数字、算式、表格和图形中的找规律，对应教材内容为北师大版七年级上册第三单元整式加减第3节--探索与表达规律，考试时有简单题有难题，一般题量不多，大概在一道题。本讲收录的试题有点多，个别题难度较大，老师们在使用时请根据学生的接受情况和课时安排适当取舍。 第7讲 探索规律 【课前热身】 1．（2025春•宝山区校级期末）如果关于、的单项式与的和是一个单项式，那么　　 ． 2．（2024秋•金水区校级期中）多项式是关于的二次三项式．则的值是　　． 3．（2025春•赣榆区期中）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 　　 ． 4．（2024秋•阳新县期末）已知，且无论，为何值时，的值始终不变． （1）分别求、的值； （2）求的值． 【学习目标】 1、学会从特殊到一般，通过对给定情况的观察、分析，发现规律，即观察、归纳与猜想； 2、能够找出简单的数字规律和图形规律。 【考点分类】 考点一：数字中的规律 解答数字类规律探索问题，应该从最简单的数字开始，分析数字之间存在的内在联系规律，先猜想，然后验证. 【例1】（2024秋•成华区校级期中）观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数． （1）　　，　　． （2），，，1，　　，　　． 【例2】（2024秋•义安区期末）观察一列数：，3，，7，，11，，按照这列数的排列规律，你认为第个数应该是　　 A． B． C． D． 【例3】（2024秋•青白江区校级期中）观察算式，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是　　． 【例4】（2024秋•锦江区校级期中）如图五个正方形格子中各有四个数，各正方形格子中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出的值为　　 A．49 B．20 C．51 D．10 【例5】（2024秋•金牛区校级期中）一只电子跳蚤，从点开始在一条直线上跳着玩，第一次向右跳1厘米，第二次向左跳2厘米，第三向右次跳3厘米，第四向左跳4厘米，依此下去．如果第2023次跳完后，请问跳蚤落的位置到点的距离是 　　厘米． 【变式训练】 1．（2024秋•双流区校级期中）观察一列数：，，，，，，按此规律，此列数的第个数为 　　． 2．（2024秋•郫都区期中）按一定规律排列的单项式：、、、、、，则第个单项式是 　　． 3．（2024秋•吴江区校级月考）观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是　　 A．3 B．5 C．7 D．9 4．（2024•泌阳县模拟）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：，那么由图2可知，孩子出生后的天数是　　天． A．510 B．511 C．513 D．520 5．（2024秋•袁州区校级期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定的值为 　　，的值为 　　，的值为 　　． 6．（2024秋•温江区校级期中）数列：0，2，4，8，12，18，叫大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．该数列中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，数轴上现有一点从原点出发，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为；第3秒点向右跳4个单位，记为，此时点表示的数为2；按此规律跳跃，点表示的数为 　　． 考点二：算式中的规律 算式规律问题主要是以列代数式即关系式为主要内容，探究等式变化规律，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律。 【例1】（2024秋•龙泉驿区校级期中）观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 若且为整数，请你用含有的等式把以上式子的规律表示出来 　　． 【例2】（2024秋•温江区校级期中）将2，5，10，11这四个数（每个数必须用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使运算结果等于24．请写出满足条件的算式：　　． 【例3】（2024•东港区校级一模）已知整数，，，，满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为 　　． 【例4】（2024秋•锦江区校级期中）数学高速发展，各种程序应运而生，天府软件园的程序员发明了数学中的一种新数运算，它们取名“和倒倍数”， 是不为的数，他们把称作的“和倒倍数”，如的“和倒倍数”是，已知，是的“和倒倍数”， 是的“和倒倍数”， 依次类推，则　　． 【例5】（2024秋•金乡县期末）对于正数，规定，例如（2），则（1）（2）的值是　　 A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【例6】（2024秋•武侯区校级期中）我们对多边形的每条边都赋给一个特征值，将顶点的特征值确定为相邻两边特征值差的绝对值，称第1次“运算”；再将边的特征值确定为相邻两端点特征值差的绝对值，称第2次“运算”；如图1是三角形经过两次“运算”的示意图． 如图2，已知某长方形的四边的特征值分别为，2，7，4，若这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0，则满足条件的正整数的值为 　　． 【变式训练】 1．（2024秋•金牛区校级期中）已知：，，，，观察上面的计算过程，寻找规律并计算　 　． 2．（2024秋•金牛区校级期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下这52张牌代表，、、分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃、红桃、梅花3、方块，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成　 　． 3．（2024秋•成都期中）已知整数，，，，，满足下列条件：，，，，，，以此类推，则的值为 　　． 4．（2024秋•郫都区校级期中）在数轴上有理数，分别用点，表示，我们称点是点的“差倒数点”，已知数轴上点的差倒数点为点，点的差倒数点为点；点的差倒数点为点这样依次得到点，，，，若点，，，，在数轴上分别表示的有理数为，，，，，则当时，代数式的值为 　　． 5．（2024秋•武冈市期末）定义，即当时，；当时，，那么 　 ． 6．（2024秋•高新区期末）我们对多边形的每条边都赋给一个特征值，将顶点的特征值确定为相邻两边特征值差的绝对值，称第1次“运算”；再将边的特征值确定为相邻两端点特征值差的绝对值，称第2次“运算”；如图1是三角形经过两次“运算”的示意图， 如图2，已知某长方形的四边的特征值分别为，1，6，3，若这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0，则满足条件的正整数的值为 　　． 考点三：数表中的规律 观察数表的排列规律，分析数字之间的关系，分析数字与行或者列之间的关系。 【例1】（2024秋•成都期中）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2023是表中第 　　行第 　　列． 【例2】（2024秋•高新区校级期中）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为 　　． 【例3】（2024秋•龙泉驿区期中）观察下列数表规律，第列第二排的数为 　　（用含的代数式表示）． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第列 第一排 2 6 10 第二排 2 0 7 4 21 第三排 2 4 8 16 32 【例4】（2024秋•天府新区校级期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列、从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层的，，，，，按照这个规律，若位于第层第个数（从左往右数），则　　，　　． 【变式训练】 1．（2024秋•青羊区校级期中）（1）正整数按图1中的规律排列，数字2023在第行，第列，则　　． （2）如图2是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，在第行第列，则　　． 2．（2025•白云区二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第列第行的位置，则和的值分别是　　 A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 3．（2024•聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第个数对：． 4．（2024秋•邗江区期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，，按照这个规律，若位于第层第个数（从左往右数），则　　． 考点四：图形中的规律 观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合。 【例1】（2024秋•青羊区校级期中）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形， （1）按此规律排列下去，则第5个图案中黑色三角形的个数是　　． （2）用含的式子表示第个图案中黑色三角形的个数是　　． 【例2】（2024秋•金牛区校级期中）如图是用三角形摆成的图案，摆第一层图案需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三角形，摆第三层图案需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第10层图案需要　　个三角形，，摆第层图案需要　　个三角形． 【例3】（2025春•玉州区期末）如图，题中图形是用棋子按照一定规律摆成的，按照这种摆法，第个图形中共有棋子　　 A．枚 B．枚 C．枚 D．枚 【例4】（2024秋•秦淮区期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，，依此规律，第100个图案有 　　个黑棋子． 【例5】（2024秋•温江区校级期中）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第2024个图形中“〇”的个数为　　． 【变式训练】 1．（2024秋•宣汉县期中）用火柴棒按下图中的方式搭图形如图所示：照这样的规律摆下去，搭第10个图形需要火柴棒的根数为　　 A．50 B．51 C．40 D．41 2．（2024秋•成都期中）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚若按照这样的规律一直拼下去，则第8个图形中所用两种卡片的总数为 　　． 3．（2025•南岸区模拟）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则第个“口”字需要用棋子　　 A．枚 B．枚 C．枚 D．枚 4．（2024秋•锦江区校级期中）观察如图所示的图案，每条边上有个方点，代表图案中方点的个数，按照你发现的每个图案中的规律，写出第个图形中方点的个数为　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•锦江区校级期中）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．若长方形内有4个点，则三角形个数为 　　个；若长方形内有个点，则三角形个数为 　　个（不计被分割的三角形）． 【过关精练】 1．（2024秋•扎鲁特旗期末）若按一定规律排列的数据如下：，，，，，，则第个数可用代数式表示为　　．为正整数） 2．（2024秋•简阳市校级期中）如图是用火柴棒拼出的一列图形．第6个图中共有　　根火柴，第个图形中共有　　根火柴（用含的式子表示）． 3．（2024秋•乳山市期中）观察规律：，，，，若符合上述规律，则 　　． 4．（2024秋•武侯区校级期中）把有理数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，，若，经过第2024次操作后得到的结果是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•郫都区校级期中）将实数，2，，4，按图所示方式排列．若用表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之和是 　　． 6．（2024秋•温江区校级期中）在数轴上有理数，分别用点，表示，我们称点是点的“差倒数点”，已知数轴上点的差倒数点为点，点的差倒数点为点；点的差倒数点为点这样依次得到点，，，，若点，，，，在数轴上分别表示的有理数为，，，，，则当时，代数式的值为 　　． 7．（2024秋•金牛区校级期中）有一列数，，，，将这列数中的每个数求其相反数得到，2，3，，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，，，，称这为一次操作，第二次操作是将，，，再进行上述操作，得到，，，；第三次将，，，重复上述操作，得到，，，以此类推，则　　；　　． 8．（2024秋•武侯区校级期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列，从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，，按照这个规律，若位于第层第个数（从左往右数），则 　　． 　　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$