第03讲 认识有理数（讲义，全国通用北师大版）数学小升初衔接

第03讲 认识有理数 预习目标 知识回顾 1. 理解正数与负数的概念，会用正、负数表示生活中具有相反意义的量，体会引入负数的必要性； 2. 理解有理数的意义，掌握有理数的两种分类方法：按定义和按正负性分类； 3. 理解相反数和绝对值的概念，能熟练求出一个有理数的相反数和绝对值； 4. 掌握相反数和绝对值的代数意义和几何意义，并掌握绝对值的非负性； 5. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动；能利用绝对值或数轴比较两个有理数的大小； 6. 经历从实际情境抽象出有理数概念的过程，培养观察归纳能力和数感；初步感受数形结合、分类讨论的思想。 1.温度相关的正负数入门 1）以0℃为分界点，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，掌握对应的读写方法。 2）学会比较温度高低：零上温度＞0℃＞零下温度，零下温度的数字越大，实际温度越低。 2.正负数的基础概念 1）正数是大于0的数，数前面的“+”号可以省略不写；负数是小于0的数，数前面的“-”号不能省略。 2）明确‌0既不是正数，也不是负数‌，它是区分正负数的基准，不只是代表“没有”。 3）初步认识整数的分类：整数包含正整数、0、负整数。 新知导图 预习精讲 想一想 图1 图2 【思考1】请同学们分组讨论，图1中的“+”，“-”是什么意思？，图2中的“±”是什么意思？ 【思考2】（1）观察下面几对数，他们各有哪些相同？哪些不同? （2）在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点有哪些相同点？ ①8与-8 ②2.5与-2.5 ③与 【思考3】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考4】请读出右侧温度计的读数，再比较这些温度的大小。 知识点01 正数与负数 1）正数：大于0的数叫做正数；正数前面的“”号可以省略；如：+3，15，+2.4%等。 2）负数：小于0的数叫做负数；负数前面的“” 号不可省略；如：2，8，0.5%等。 注意：带“+”号不一定是正数，如+（3）；带“”号不一定是负数，如（3）。 3） 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 4）相反数的意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。对于具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 【即学即练】 1．（2026·云南楚雄·二模）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（    ） A．5 B． C．0 D． 2．（25-26七年级上·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的正数 C．一定是负数 D．若规定收入为正，则支出元应记作元 3．（2026·吉林长春·二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一袋大米包装上标有：，表示它最轻是（   ）kg． A． B．15 C． D．16 5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）以下的四个时钟显示了同一时刻国外三个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外三个城市与北京的时差，则这四个时钟对应的城市从左到右依次是（   ） 城市 纽约 悉尼 伦敦 时差/h A．北京、悉尼、伦敦、纽约 B．纽约、悉尼、伦敦、北京 C．伦敦、纽约、北京、悉尼 D．北京、伦敦、悉尼、纽约 6．（2026·辽宁铁岭·二模）某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 知识点02 有理数的概念及分类 1）有理数：整数和分数统称有理数（rational number）。 2）整数：正整数、0、负整数统称为整数。 3）分数：正分数、负分数统称分数。（分数也可以分为有限小数与无限循环小数）。 名词补充：正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数。 4）有理数的两种分类： （1）按定义分类： （2）按正负性分类： 【即学即练】 1.（25-26七年级上·成都·校考期末）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级上·天津西青·期末）下列说法正确的是（　　） A．不是有理数 B．如果一个有理数的绝对值是2，那么这个数一定是2 C．整数包括正整数，负整数和0 D．存在最小的有理数 4.（25-26七年级上·山西朔州·期中）把下面的有理数填在相对应的集合内：，，，，，，，，， 正数集合：｛                             … ｝；负数集合：｛                             … ｝ 整数集合：｛                          … ｝；分数集合：｛                             … ｝ 知识点03 相反数 1）相反数:只有符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数（opposite number）。也称这两个数互为相反数。特别的0的相反数是0。 2）相反数的性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。 3）多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数；②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数；当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号，当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号。 【即学即练】 1．（2026·重庆北碚·二模）的相反数是（     ） A． B．5 C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）的相反数是（   ） A．7 B． C． D． 3．（2026·河南三门峡·二模）某智能机器人在一条水平轨道上进行定位测试，若机器人从起点出发，先向右方向移动，记作；向左方向移动，记作，则与两数（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．和为1 D．积为10 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，则的值是___________． 知识点04 绝对值 1）绝对值：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 2）绝对值的代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0。 3）代数符号意义：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数；即：若a≥0，|a|=a，若a≤0，|a|=-a。 4）绝对值的性质：①绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a；②非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。即|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 5）有理数的大小比较：①正数大于0，负数小于0，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小。 【即学即练】 1．（2026四川遂宁数学中考真题）的绝对值是(     ) A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 4．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是____．（写出一个即可） 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 6．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）已知，则 ______，______． 知识点05 数轴 1.数轴：如下图，像这样，规定了原点（origin）、单位长度（unit length）和正方向（positive direction）的直线叫做数轴（number line）。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。 2.有理数的大小比较方法（数轴法） 在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左边的数大；如：a与b在数轴上的位置如上图所示，则a＜b。 3.数轴与相反数、绝对值的关系：①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等；②一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。 4.有理数与数轴的关系：①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 【即学即练】 1．（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2026·山西阳泉·二模）点在数轴上的位置如图所示，则下列一定比点表示的数大的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川广元·期中）如图，数轴上A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c，且点 B到点A，C 的距离相等．如果有，那么该数轴的原点O 的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点B与C之间且离点B近 C．点A与B之间且离点A 近 D．点C的右边 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 题型速练 题型01 正数、负数、零的概念辨析 【例1】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 必记结论 1.不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0 2.“0”的特殊性 1）0既不是正数，也不是负数；2）0是正数与负数的分界；3）0是自然数；4）0的意义：0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；0有时是一个数，比如是一个确定的温度；0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）根据《九章算术》的记载，中国人最早使用负数．在，0.6，，，368，中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 3．（25-26七年级上·成都·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数；②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数；④字母既是正数，又是负数． 题型02 正负数表示相反意义的量 【例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 必记结论 定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）。 成对出现：意义相反（如上升5米与下降3米），数值可不同。 辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立。 【小试牛刀】 1．（2026·湖北咸宁·模拟预测）我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（  ）． A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 3．（2026·四川成都·中考真题）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 题型03 正负数的应用-（时差、温差、允许偏差、基准量等） 【例1】（2026·江苏淮安·一模）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（    ） A．10.1千克 B．9.7千克 C．11.2千克 D．9.2千克 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）若5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么伦敦时间7月27日20时应是（    ） A．北京时间7月27日12时 B．巴黎时间7月27日19时 C．纽约时间7月28日1时 D．首尔时间7月28日5时 必记结论 定基准：规定正方向（如收入为正，支出为负）； 算差值：用“末－初”或“正数和－负数和”求变化量； 判盈亏：总和>0盈利，总和<0亏损，总和=0持平。 【小试牛刀】 1．（2026·河南三门峡·三模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）某天的天气如图所示，则这一天的最大温差是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 题型04 有理数及分类 【例1】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【例2】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 必记结论 有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。 有理数按正负性分为正有理数、0、负有理数。 注意：有限小数和无限循环小数归属分数，无限不循环小数（如π）不是分数，也不是有理数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．是有理数，则一定是负数 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝(2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 3．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）；整数集：{                  …}；非正数集：{                       …}． 4．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 题型05 有理数中的新定义集合 【例1】（25-26·重庆·七年级 校考期中）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 必记结论 所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。 【小试牛刀】 1．（24-25山东日照·七年级上·期末）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26成都·七年级上·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题：（1）是 循环小数（填“纯”或“混”）；（2）的循环节是 ． 3.（24-25·江阴市·七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 题型06 求一个数的相反数和绝对值 【例1】（2026·陕西渭南·模拟预测）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·湖南长沙·三模）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 必记结论 相反数的表示方法：一般地，a的相反数为-a，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零。 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 故：，或，或。 【小试牛刀】 1．（2026·河南开封·二模）的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）下列说法中，错误的是（） A．与互为相反数 B．与互为相反数 C．的相反数是7 D．10的相反数是 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 4．（2026·安徽合肥·三模）等于（     ） A．2027 B． C． D． 题型07相反数和绝对值的概念、意义辨析 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【例2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 必记结论 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数； 相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等； 绝对值：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离（几何意义）； 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级·重庆·期末）以下叙述中，正确的是（    ） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型08 相反数的性质运用 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）若和互为相反数，那么_______． 必记结论 利用“互为相反数的两个数和为0”计算即可。从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。 【小试牛刀】 1．（2026·广西崇左·二模）若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 2．（25-26七年级上·广东湛江·期中）若a与互为相反数，则a 的值__________． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）设与互为相反数，则________． 题型09绝对值的非负性 【例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【例2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 必记结论 （1）任何实数的绝对值都为非负数，即:≥0； （2）“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即:，则=0且=0。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a为有理数，则的最小值为________． 3．（25-26七年级上·成都·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型10 绝对值的化简求值 【例1】（24-25七年级上·重庆·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ． 必记结论 绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 题型11 绝对值的几何意义 【例1】（25-26七年级下·四川内江·开学考试）的最小值是________ 必记结论 几何意义：表示x到点a的距离。 （1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 4．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 题型12 多重符号化简 【例1】（25-26七年级上·广东·期中）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________；（2）________；（3）________； （4）________；（5）________； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________；由①②你能总结出什么规律？ 必记结论 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·成都·期中）化简下列各数： （1）________；（2）________；（3）________；（4）________． 2．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）（1）_______；（2）_______；（3）_______． 3．（25-26七年级上·江苏·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 题型13 数轴的三要素及其画法 【例1】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 必记结论 数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·校考期中）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（    ） A．原点位置可以是数轴上任意一点 B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向 C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取 D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm 题型14用数轴上的点与有理数的关系 【例1】（25-26·江西·七年级校考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示6的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． 【例2】（24-25七年级上·山东日照·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和的两点，那么刻度尺上的“”对应的点表示的数值为（　　）    A． B． C． D． 必记结论 数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为(a+b)/2。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 3．（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 题型15数轴上两点之间的距离与动点问题 【例1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）A、B两点在数轴上，点A表示的数是2，A、B之间的距离为4，则点B表示的数是 ． 必记结论 若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。 如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3 在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）数轴上点A表示的数是1，将点A向右移动2个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 题型16 比较有理数的大小 【例1】（2026·安徽淮南·三模）下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·安徽阜阳·模拟预测）某气象站记录了以下四个地点当日的平均气温，如图所示，则其中平均气温最低的地区是（     ）      A．鼓浪屿 B．佳木斯 C．颐和园 D．北安 【例3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 必记结论 有理数的大小比较法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，其绝对值大的反而小；在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左右边的数大。 通过结合生活场景与多样化的比较方法，可快速掌握有理数大小比较的核心逻辑，提升数学应用的准确性与效率。在日常生活中，有理数大小比较的应用非常广泛，例如： ‌温度比较‌：在天气预报中，通过比较不同地点的温度，可以帮助我们选择合适的衣物。 ‌重量比较‌：在购物时，比较不同商品的重量，选择性价比更高的产品。 ‌速度比较‌：在体育比赛中，通过比较不同队伍的速度，判断比赛的胜负 【小试牛刀】 1．（2026·安徽·一模）下列各数中，比小的是（     ） A． B．0 C．1 D． 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题(1)补全数轴；(2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 基础过关 1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）下列说法中，①零是最小的整数；②一个有理数，不是正数就是负数；③一定是负数；④自然数一定是正数；⑤正分数一定是有理数．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 4．（2026·广东清远·二模）在一次环保公益活动中，志愿者们记录塑料瓶的收集和捐赠情况．如果把收集到8个塑料瓶记作个，那么捐赠出去8个塑料瓶记作（     ） A．个 B．0个 C．个 D．个 5．（2026·内蒙古通辽·三模）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最低的液体是（     ） 液体名称 液态氯 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ A．液态氯 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦 6．（2024·山东临沂·模拟预测）我市2023年12月30日的天气预报显示如下图，请问该日温差为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2026·江西景德镇·二模）下列各数中，最大的负整数是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 10．（2025·河南信阳·模拟预测）化简的结果是（　　） A． B．4 C． D． 11．（2026·吉林长春·模拟预测）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）在，0，2，这四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．2 D． 13．（25-26六年级上·四川成都·期末）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·山东济南·二模）如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 15．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）请写出一个比大的负整数，它是___________（写出一个即可）． 16．（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________}； 分数集合{_________}； 正有理数集合{_______}； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 能力提升 18．（2026·山西太原·二模）在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 19．（2026·河北石家庄·二模）如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 20．（2026·广东江门·二模）某款袋装零食的标准质量是“”，下面4袋不同质量的零食中，不符合产品标准质量的是（   ） A．148g B．151g C．154g D．157g 21．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）若，则一定是（  ） A．负数 B．零 C．负数或零 D．正数 22．（25-26七年级上·四川达州·期中）①有理数中，0的意义表示没有：②带“+”的数就是正数，带“－”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中说法正确的有_____． 23．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）若，则___________，___________． 24．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内． 挑战一刻 25．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 26．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 27．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 28．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 29．（25-26七年级上·河南郑州·期中）下表列出了一带一路沿线城市与北京的时差，我国驻巴西里约的工作人员为了收看大阅兵（北京时间9月3日上午10点开始），需要在里约____________点开始观看（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，惠灵顿时间为，那么惠灵顿与北京的时差为） 城市 惠灵顿 开罗 莫斯科 里约 时差 30．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ．(2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 认识有理数 预习目标 知识回顾 1. 理解正数与负数的概念，会用正、负数表示生活中具有相反意义的量，体会引入负数的必要性； 2. 理解有理数的意义，掌握有理数的两种分类方法：按定义和按正负性分类； 3. 理解相反数和绝对值的概念，能熟练求出一个有理数的相反数和绝对值； 4. 掌握相反数和绝对值的代数意义和几何意义，并掌握绝对值的非负性； 5. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动；能利用绝对值或数轴比较两个有理数的大小； 6. 经历从实际情境抽象出有理数概念的过程，培养观察归纳能力和数感；初步感受数形结合、分类讨论的思想。 1.温度相关的正负数入门 1）以0℃为分界点，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，掌握对应的读写方法。 2）学会比较温度高低：零上温度＞0℃＞零下温度，零下温度的数字越大，实际温度越低。 2.正负数的基础概念 1）正数是大于0的数，数前面的“+”号可以省略不写；负数是小于0的数，数前面的“-”号不能省略。 2）明确‌0既不是正数，也不是负数‌，它是区分正负数的基准，不只是代表“没有”。 3）初步认识整数的分类：整数包含正整数、0、负整数。 新知导图 预习精讲 想一想 图1 图2 【思考1】请同学们分组讨论，图1中的“+”，“-”是什么意思？，图2中的“±”是什么意思？ 【思考2】（1）观察下面几对数，他们各有哪些相同？哪些不同? （2）在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点有哪些相同点？ ①8与-8 ②2.5与-2.5 ③与 【思考3】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考4】请读出右侧温度计的读数，再比较这些温度的大小。 知识点01 正数与负数 1）正数：大于0的数叫做正数；正数前面的“”号可以省略；如：+3，15，+2.4%等。 2）负数：小于0的数叫做负数；负数前面的“” 号不可省略；如：2，8，0.5%等。 注意：带“+”号不一定是正数，如+（3）；带“”号不一定是负数，如（3）。 3） 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 4）相反数的意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。对于具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 【即学即练】 1．（2026·云南楚雄·二模）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（    ） A．5 B． C．0 D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴A不是负数．∵，∴B不是负数． ∵既不是正数也不是负数，∴C不符合要求．∵，∴是负数，D符合要求 2．（25-26七年级上·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的正数 C．一定是负数 D．若规定收入为正，则支出元应记作元 【答案】D 【详解】解：∵既不是正数也不是负数，∴错误；∵不是正数，∴错误； ∵的符号未知，不一定是负数，∴错误； ∵ 收入为正，则支出为负，∴支出元记作元正确，∴正确．故选：． 3．（2026·吉林长春·二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【答案】D 【详解】解：因为表示向东走，则向东走用正数表示，负数表示与向东相反的方向，即向西，即可得到 表示向西走． 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一袋大米包装上标有：，表示它最轻是（   ）kg． A． B．15 C． D．16 【答案】A 【详解】解：∵的含义是：这袋大米的标准净重为，实际净重允许的范围是上下浮动，即最轻比少，∴最轻质量为． 5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）以下的四个时钟显示了同一时刻国外三个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外三个城市与北京的时差，则这四个时钟对应的城市从左到右依次是（   ） 城市 纽约 悉尼 伦敦 时差/h A．北京、悉尼、伦敦、纽约 B．纽约、悉尼、伦敦、北京 C．伦敦、纽约、北京、悉尼 D．北京、伦敦、悉尼、纽约 【答案】B 【详解】因为北京和悉尼的时差是，所以北京的时间是6时（18时）或4（16时）时， 若北京时间是6时（18时），则（时），不符合题意． 所以北京时间是16时，悉尼时间为（时），伦敦时间为（时），纽约时间为（时），所以答案为：纽约，悉尼，伦敦，北京．故选：B． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【答案】29.92 【详解】解：由题意可得，该零件的实际直径为：． 知识点02 有理数的概念及分类 1）有理数：整数和分数统称有理数（rational number）。 2）整数：正整数、0、负整数统称为整数。 3）分数：正分数、负分数统称分数。（分数也可以分为有限小数与无限循环小数）。 名词补充：正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数。 4）有理数的两种分类： （1）按定义分类： （2）按正负性分类： 【即学即练】 1.（25-26七年级上·成都·校考期末）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确；③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确．正确的有①③；故选：C． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误；③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确．综上，正确的结论共有1个． 3．（25-26七年级上·天津西青·期末）下列说法正确的是（　　） A．不是有理数 B．如果一个有理数的绝对值是2，那么这个数一定是2 C．整数包括正整数，负整数和0 D．存在最小的有理数 【答案】C 【详解】解：∵有理数是能表示为两个整数之比的数（分母不为零），∴是有理数，故A错误； ∵绝对值是2的有理数可以是2或，∴不一定是2，故B错误； 整数包括正整数、负整数和0，故C正确；有理数无界，没有最小的有理数，故D错误．故选：C． 4.（25-26七年级上·山西朔州·期中）把下面的有理数填在相对应的集合内：，，，，，，，，， 正数集合：｛                             … ｝；负数集合：｛                             … ｝ 整数集合：｛                          … ｝；分数集合：｛                             … ｝ 【答案】正数集合：｛， ， ，， …｝，负数集合：｛，，，，…｝， 整数集合：｛，，，，，… ｝，分数集合：｛，，，， …｝ 【详解】解：正数集合：｛， ， ，， …｝， 负数集合：｛，，，，…｝， 整数集合：｛，，，，，… ｝， 分数集合：｛，，，， …｝． 知识点03 相反数 1）相反数:只有符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数（opposite number）。也称这两个数互为相反数。特别的0的相反数是0。 2）相反数的性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。 3）多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数；②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数；当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号，当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号。 【即学即练】 1．（2026·重庆北碚·二模）的相反数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）的相反数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵根据负负得正的去括号法则，可得，的相反数是， ∴的相反数是． 3．（2026·河南三门峡·二模）某智能机器人在一条水平轨道上进行定位测试，若机器人从起点出发，先向右方向移动，记作；向左方向移动，记作，则与两数（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．和为1 D．积为10 【答案】A 【详解】解：与互为相反数． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴；故答案为： 知识点04 绝对值 1）绝对值：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 2）绝对值的代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0。 3）代数符号意义：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数；即：若a≥0，|a|=a，若a≤0，|a|=-a。 4）绝对值的性质：①绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a；②非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。即|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 5）有理数的大小比较：①正数大于0，负数小于0，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小。 【即学即练】 1．（2026四川遂宁数学中考真题）的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的绝对值是 2．（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵；，即为非正数， A、，正数，不符合题意；B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意；D、，正数，不符合题意． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【答案】D 【详解】解：A、表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为，而当时，；当时，，原说法错误，符合题意；故选：D． 4．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：设的相反数为，的绝对值为，∴，∵，∴，即， 当时，，等式成立，∴可以是任何非正有理数，例如0，故答案为：（答案不唯一）． 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】解：∵，∴，∴的最小值为1．故答案为：1． 6．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）已知，则 ______，______． 【答案】 【详解】解： ， ，且 ， 且．，，解得，．故答案为：，． 知识点05 数轴 1.数轴：如下图，像这样，规定了原点（origin）、单位长度（unit length）和正方向（positive direction）的直线叫做数轴（number line）。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。 2.有理数的大小比较方法（数轴法） 在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左边的数大；如：a与b在数轴上的位置如上图所示，则a＜b。 3.数轴与相反数、绝对值的关系：①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等；②一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。 4.有理数与数轴的关系：①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 【即学即练】 1．（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 2．（2026·山西阳泉·二模）点在数轴上的位置如图所示，则下列一定比点表示的数大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从图中可知：点 在和之间，即， 选项A：，比小，不符合题意； 选项B：，比小，不符合题意； 选项C ：，比小，不符合题意； 选项D ：，比大，符合题意． 3．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点表示，向右移动个单位长度，∴移动后位置为：， ∵再向左移动个单位长度，∴点表示的数为：． 故选：． 4．（25-26七年级上·四川广元·期中）如图，数轴上A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c，且点 B到点A，C 的距离相等．如果有，那么该数轴的原点O 的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点B与C之间且离点B近 C．点A与B之间且离点A 近 D．点C的右边 【答案】B 【详解】解：由题意得，，∵，∴，即， ∵，∴，且，∴原点O 的位置在点B与C之间且离点B近，故选：B． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的，计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是，因此数轴上所对应的顶点是．故选：B． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【答案】，见解析 【详解】解：, 如图 ． 题型速练 题型01 正数、负数、零的概念辨析 【例1】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 【答案】C 【详解】解：∵负数是指小于0的数，∴甲的说法正确； ∵0既不是正数也不是负数，∴乙的说法正确．∴甲、乙均对，故选：C． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数，故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数，∴选项C不符合题意． 必记结论 1.不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0 2.“0”的特殊性 1）0既不是正数，也不是负数；2）0是正数与负数的分界；3）0是自然数；4）0的意义：0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；0有时是一个数，比如是一个确定的温度；0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）根据《九章算术》的记载，中国人最早使用负数．在，0.6，，，368，中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵ ，∴ 是负数；∵，∴ 不是负数；∵，∴ 是负数； ∵ ，∴ 不是负数；∵，∴ 不是负数；∵ ，∴ 是负数； ∴ 负数共有3个；故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 【答案】C 【详解】解：A、最小的正整数是1，原说法错误，该选项不符合题意； B、0的相反数是0，原说法错误，该选项不符合题意； C、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，该选项符合题意； D、当时，，原说法错误，该选项不符合题意；故选：C． 3．（25-26七年级上·成都·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数；②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数；④字母既是正数，又是负数． 【答案】②③/③② 【详解】解：①0既不是正数也不是负数，因此0不是最小的正数，故①错误； ②任意一个正数，前面加一个“”号，表示它的相反数，是负数，故②正确； ③大于0的数是正数，这是正数的定义，故③正确； ④字母a可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误． ∴正确的说法有②③．故答案为：②③． 题型02 正负数表示相反意义的量 【例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【答案】C 【详解】解：∵题目规定向南行走步记作， 又∵向南与向北是一对相反意义的方向，∴表示向北行走步． 必记结论 定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）。 成对出现：意义相反（如上升5米与下降3米），数值可不同。 辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立。 【小试牛刀】 1．（2026·湖北咸宁·模拟预测）我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知红色算筹表示，可得：3条横线代表十位数字3，2条竖线代表个位数字2， 因此黑色算筹：4条横线是十位4，3条竖线是个位3，又因为黑色算筹表示负数，所以该数为． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【详解】解：∵将气温零上记作，即零上记为正， ∴与零上意义相反的零下记为负，∴表示气温为零下． 3．（2026·四川成都·中考真题）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 【答案】A 【详解】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反， ∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈． 题型03 正负数的应用-（时差、温差、允许偏差、基准量等） 【例1】（2026·江苏淮安·一模）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（    ） A．10.1千克 B．9.7千克 C．11.2千克 D．9.2千克 【答案】A 【详解】解：∵面粉的质量标识为千克，∴合格面粉的最大质量为千克， 合格面粉的最小质量为千克，即合格质量的范围是9.8千克面粉质量 10.2 千克， ∵，其余选项质量均不在该范围内，∴10.1千克的面粉合格． 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）若5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么伦敦时间7月27日20时应是（    ） A．北京时间7月27日12时 B．巴黎时间7月27日19时 C．纽约时间7月28日1时 D．首尔时间7月28日5时 【答案】D 【详解】解：A．北京时间比伦敦时间早8个小时，所以北京时间应该为7月28日4时，故本选项错误； B．巴黎时间比伦敦时间早1个小时，所以巴黎时间应该为7月27日21时，故本选项错误； C．纽约时间比伦敦时间晚5个小时，所以纽约时间应该为7月27日15时，故本选项错误； D．首尔时间比伦敦时间早9个小时，所以首尔时间应该为7月28日5时，故本选项正确．故选：D． 必记结论 定基准：规定正方向（如收入为正，支出为负）； 算差值：用“末－初”或“正数和－负数和”求变化量； 判盈亏：总和>0盈利，总和<0亏损，总和=0持平。 【小试牛刀】 1．（2026·河南三门峡·三模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 所以满足题意的范围是，观察各选项，只有B符合题意．． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）某天的天气如图所示，则这一天的最大温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：计算温差：最高温度为，最低温度为，则温差为．故选：B． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 【答案】20 【详解】解：由题意得，计数的基准为及格标准垫球23次，超过基准的次数记为正，低于基准的次数记为负，则记为的垫球次数是． 题型04 有理数及分类 【例1】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【答案】C 【详解】解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误； 整数分为正整数、0和负整数，B选项错误； 有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确； 0是有理数，D选项错误；故选：C． 【例2】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）；0.3，，，，，2.3%；，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 必记结论 有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。 有理数按正负性分为正有理数、0、负有理数。 注意：有限小数和无限循环小数归属分数，无限不循环小数（如π）不是分数，也不是有理数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．是有理数，则一定是负数 【答案】B 【详解】解：A、0是有理数，原说法错误，不符合题意； B、有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意； C、在有理数中没有最小的数，原说法错误，不符合题意； D、是有理数，则不一定是负数，例如时，是正数，原说法错误，不符合题意；故选：B． 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝(2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨(2)②，③，⑥(3)①，③，⑤ 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 3．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）；整数集：{                  …}；非正数集：{                       …}． 【答案】5，，，8.9，19，，，0；5，，19，0；，，，0 【详解】解：有理数集：{5，，，8.9，19，，，0…} 整数集：{5，，19，0…} 非正数集：{，，，0…}． 4．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 【答案】②⑦；①③⑦；②④⑤⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【详解】解：负数：{②⑦}；整数：{①③⑦}； 分数：{②④⑤⑥}；有理数：{①②③④⑤⑥⑦}． 题型05 有理数中的新定义集合 【例1】（25-26·重庆·七年级 校考期中）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 【答案】(1)是(2)(3)，0，，16.2 【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是； （2）设，则，即，故，即，解得，即； （3）在中，属于非负有理数的是，0，，，故答案：，0，，． 必记结论 所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。 【小试牛刀】 1．（24-25山东日照·七年级上·期末）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵表示近视50度，表示近视125度， 表示近视250度，表示近视75度，∴需要持续配戴眼镜的是．故选：C． 2．（25-26成都·七年级上·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题：（1）是 循环小数（填“纯”或“混”）；（2）的循环节是 ． 【答案】 纯 24 【详解】解：（1）由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数，故答案是：纯； （2）的循环节是24，故答案为：24． 3.（24-25·江阴市·七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合． ∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合． （2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6， ∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合． （3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件． 题型06 求一个数的相反数和绝对值 【例1】（2026·陕西渭南·模拟预测）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 【例2】（2026·湖南长沙·三模）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，又，∴． 必记结论 相反数的表示方法：一般地，a的相反数为-a，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零。 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 故：，或，或。 【小试牛刀】 1．（2026·河南开封·二模）的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【详解】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， 给定数为，改变符号后为，的相反数是 ，故选：C． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）下列说法中，错误的是（） A．与互为相反数 B．与互为相反数 C．的相反数是7 D．10的相反数是 【答案】B 【详解】解：A．∵，∴与互为相反数，该选项说法正确． B．的相反数为2，不是，该选项说法错误． C． 的相反数是7，该选项说法正确．D． 10的相反数是，该选项说法正确． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】解 ，，，， 又 ， 绝对值最小的数是． 4．（2026·安徽合肥·三模）等于（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 题型07相反数和绝对值的概念、意义辨析 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【详解】解：A．∵互为相反数是到原点距离相等且在原点两旁的两个点表示的数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵所有的有理数都有相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵只有符合不同的两个数是互为相反数，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； D．∵在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；故选：C． 【例2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个，故选：A． 必记结论 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数； 相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等； 绝对值：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离（几何意义）； 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级·重庆·期末）以下叙述中，正确的是（    ） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 【答案】C 【详解】A选项：1和不互为相反数，原说法错误，故不符合题意． B选项：支出1元与收入2元是两个相反意义的量，但不互为相反数，原说法错误，故不符合题意． C选项：任何有理数都有相反数，正确，故符合题意． D选项：的相反数是1，是正数，原说法错误，故不符合题意．故选C． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【详解】解：∵一个数的绝对值等于它的相反数，∴这个数为零或负数，故选：． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵，∴，由选项可知A，B，C符合，D不符合，故选：D． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：与1互为相反数，故①说法不正确；当时，则是非负数，故②说法不正确； 的相反数是0，故③说法不正确；，与互为相反数，故④说法不正确； 任何一个有理数都有相反数，故⑤说法正确；∴其中正确的有1个故选：A 题型08 相反数的性质运用 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）若和互为相反数，那么_______． 【答案】 【详解】解：依题意，∴故答案为：． 必记结论 利用“互为相反数的两个数和为0”计算即可。从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。 【小试牛刀】 1．（2026·广西崇左·二模）若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】C 【详解】解：∵，∴与互为相反数，∴. 2．（25-26七年级上·广东湛江·期中）若a与互为相反数，则a 的值__________． 【答案】1 【详解】根据题意得：，解得：．故答案为：1． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）设与互为相反数，则________． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数∴，∴，故答案为：． 题型09绝对值的非负性 【例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵，∴，当时，等号成立，∴最小值为，故选：B． 【例2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【详解】解：∵，且， ∴，解得，解得，故答案为：． 必记结论 （1）任何实数的绝对值都为非负数，即:≥0； （2）“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即:，则=0且=0。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【答案】A 【详解】解：∵ ，且 ，，∴ 且 ， ∴ ，即 ，∴ ，即 ，∴ ．故选A． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a为有理数，则的最小值为________． 【答案】3 【详解】解：∵，∴，故最小值为3．故答案为：3． 3．（25-26七年级上·成都·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴， 当时，即，代数式取得最大值．故选：C． 4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则，故①错误； ②，总是正数，故②正确； ③，，则的最小值为9，故③正确； ④，，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 题型10 绝对值的化简求值 【例1】（24-25七年级上·重庆·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【详解】由数轴可知，，得， 则，故答案为：． 必记结论 绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：． 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）解：由数轴可知，，，，且，所以，故答案为：；； （2）解：因为，，所以． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ，故答案为：； （2）解：由数轴可得，，∵，∴，∴，， ∴． 题型11 绝对值的几何意义 【例1】（25-26七年级下·四川内江·开学考试）的最小值是________ 【答案】 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 必记结论 几何意义：表示x到点a的距离 （1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为，故. 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为，故选：B． 3．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为．故选：B． 4．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【详解】解：设．当时，取得最小值． ．故答案为． 题型12 多重符号化简 【例1】（25-26七年级上·广东·期中）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________；（2）________；（3）________； （4）________；（5）________； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________；由①②你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）3.5；（5）5；①5；②；总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是； 总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 必记结论 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·成都·期中）化简下列各数： （1）________；（2）________；（3）________；（4）________． 【答案】 【详解】解：（1） =3，故答案为：3； （2），故答案为：； （3），故答案为：； （4），故答案为：． 2．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）（1）_______；（2）_______；（3）_______． 【答案】 【详解】解：（1）；（2）；（3）．故答案为：；；． 3．（25-26七年级上·江苏·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 5 12 3.2 27 【详解】解：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）． 故答案为：（1）5；（2）12；（3）3.2；（4）；（5）27；（6）． 题型13 数轴的三要素及其画法 【例1】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、符合所有条件，是数轴，该选项符合题意；B、没有原点，该选项不符合题意； C、单位长度不一样长，该选项不符合题意；D、原点左边数据标错，该选项不符合题意． 必记结论 数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、正方向不对，不符合题意；B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意； C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意；D、单位长度不一致，不符合题意；故选：B ． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、没有正方向，故A选项不符合题意；B、没有单位长度，故B选项不符合题意； C、原点、正方向、单位长度三要素正确，故C选项符合题意； D、没有原点，正数和负数的位置错，故D选项不符合题意．故选：C． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·校考期中）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（    ） A．原点位置可以是数轴上任意一点 B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向 C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取 D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm 【答案】D 【详解】解：数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向， 故选项D不正确． 故选：D． 题型14用数轴上的点与有理数的关系 【例1】（25-26·江西·七年级校考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示6的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． 【答案】1 【详解】解：∵表示的点与表示6的点重合， ∴折痕处所表示的数为：，∴3表示的点与数1表示的点重合．故答案为：1． 【例2】（24-25七年级上·山东日照·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和的两点，那么刻度尺上的“”对应的点表示的数值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和的两点， 刻度尺上对应数轴上一个单位长度，刻度尺上的“”对应的点表示的数值为，故选：C． 必记结论 数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为(a+b)/2。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，覆盖的点在到之间，只有选项B的符合． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点，能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵，∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 3．（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】(1)1.5(2)见详解 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间，点表示的数是，故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 题型15数轴上两点之间的距离与动点问题 【例1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】C 【详解】解：数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点， 则点表示的数是或．故选：C． 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）A、B两点在数轴上，点A表示的数是2，A、B之间的距离为4，则点B表示的数是 ． 【答案】6或 【详解】当点B在点A右侧时，点B表示的数是； 当点B在点A左侧时，点B表示的数是．所以点B表示的数是6或．故答案为：6或． 必记结论 若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。 如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3 在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 【答案】B 【详解】在数轴上，两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值． 的点与表示8的点之间的距离，故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）数轴上点A表示的数是1，将点A向右移动2个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵点A起始表示的数为1， 向右移动2个单位长度：，再向左移动3个单位长度：， ∴此时点A表示的数是0；故选：A 3．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是；故答案为：或． 题型16 比较有理数的大小 【例1】（2026·安徽淮南·三模）下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 【例2】（2026·安徽阜阳·模拟预测）某气象站记录了以下四个地点当日的平均气温，如图所示，则其中平均气温最低的地区是（     ）      A．鼓浪屿 B．佳木斯 C．颐和园 D．北安 【答案】D 【详解】解：首先整理四个地点的平均气温：鼓浪屿，佳木斯，颐和园，北安， 根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值越大的负数数值越小， 可得大小关系：，∴平均气温最低的地区是北安． 【例3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2，(2)数轴见解析， 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，，在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 必记结论 有理数的大小比较法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，其绝对值大的反而小；在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左右边的数大。 通过结合生活场景与多样化的比较方法，可快速掌握有理数大小比较的核心逻辑，提升数学应用的准确性与效率。在日常生活中，有理数大小比较的应用非常广泛，例如： ‌温度比较‌：在天气预报中，通过比较不同地点的温度，可以帮助我们选择合适的衣物。 ‌重量比较‌：在购物时，比较不同商品的重量，选择性价比更高的产品。 ‌速度比较‌：在体育比赛中，通过比较不同队伍的速度，判断比赛的胜负 【小试牛刀】 1．（2026·安徽·一模）下列各数中，比小的是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴排除选项B、C， ∵，，，，∴，∴比小的是． 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：如图所示，∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，，∵ ∴ ． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题(1)补全数轴；(2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)见解析(2)见解析， 【详解】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 基础过关 1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【详解】解：B选项中 0不是正数． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）下列说法中，①零是最小的整数；②一个有理数，不是正数就是负数；③一定是负数；④自然数一定是正数；⑤正分数一定是有理数．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①∵整数包含负整数，负整数比0小，∴零不是最小的整数，①错误； ②∵有理数包含正数、0、负数三部分，∴一个有理数还可能是0，不一定是正数或负数，②错误； ③∵是a的相反数，当a为负数时，是正数，当时，，∴不一定是负数，③错误； ④∵自然数包含0，0不是正数，∴自然数不一定是正数，④错误； ⑤∵有理数分为整数和分数，分数包含正分数和负分数，∴正分数一定是有理数，⑤正确； 综上，正确的说法只有1个． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误．∴ 正确的是②和③，故选：B． 4．（2026·广东清远·二模）在一次环保公益活动中，志愿者们记录塑料瓶的收集和捐赠情况．如果把收集到8个塑料瓶记作个，那么捐赠出去8个塑料瓶记作（     ） A．个 B．0个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：∵把收集到个塑料瓶记作个，收集和捐赠出去是一对相反意义的量， ∴相反意义的量需要用相反符号表示， 因此捐赠出去个塑料瓶记作个． 5．（2026·内蒙古通辽·三模）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最低的液体是（     ） 液体名称 液态氯 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ A．液态氯 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦 【答案】D 【详解】解：∵ 四种液体的沸点分别为，，，，且均为负数， ∴ 计算各数的绝对值得，，，，， ∵ ，∴ ，∴ 沸点最低的是液态氦． 6．（2024·山东临沂·模拟预测）我市2023年12月30日的天气预报显示如下图，请问该日温差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据图中数据显示最高温度为，最低温度为，则该日温差为故选：C． 7．（25-26七年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 8．（2026·江西景德镇·二模）下列各数中，最大的负整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是负分数，不是负整数， ，，，且，，最大的负整数是． 9．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 【答案】B 【详解】解：两个有理数的和为0，则这两个数互为相反数，故选：B 10．（2025·河南信阳·模拟预测）化简的结果是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 11．（2026·吉林长春·模拟预测）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是正数，即，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，． 12．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）在，0，2，这四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】∵，，∴，∴，∴最小的数是． 13．（25-26六年级上·四川成都·期末）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．所画数轴单位长度不一致，不合题意；B．所画数轴没有原点，不合题意； C．所画数轴规范，符合题意；D．所画数轴没有正方向，不合题意． 14．（2026·山东济南·二模）如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0，因此被遮挡的整数是． 15．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）请写出一个比大的负整数，它是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：负整数中比大的数有，，，，等， 任选一个即可，例如，故答案为∶（答案不唯一）. 16．（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处，由图可知，，原点是点． 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________}； 分数集合{_________}； 正有理数集合{_______}； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【答案】(1)③⑥⑦⑧；③⑤⑨⑩；①⑤⑨⑩(2)图见解析， 【详解】（1）解：⑦，负数集合{③⑥⑦⑧}分数集合{③⑤⑨⑩}正有理数集合{①⑤⑨⑩} （2）解： 从小到大顺序排列：． 能力提升 18．（2026·山西太原·二模）在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 误差的精确程度由误差的绝对值决定，绝对值越小，精确程度越高， ∵ ，，， ， 又∵ ， ∴ 的误差绝对值最小，精确程度最高． 19．（2026·河北石家庄·二模）如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【详解】解：指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦， 正数表示音调偏高，需放松琴弦，负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， 与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为， 指针指在0处为标准音，且2最小，最接近标准音的是． 20．（2026·广东江门·二模）某款袋装零食的标准质量是“”，下面4袋不同质量的零食中，不符合产品标准质量的是（   ） A．148g B．151g C．154g D．157g 【答案】D 【详解】解：∵标准质量标注为， ∴合格产品的最低质量为 ，最高质量为 ，即合格质量范围是； 对比选项可知，都在合格范围内，只有D选项的不在该范围内，因此不符合产品标准质量的是D． 21．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）若，则一定是（  ） A．负数 B．零 C．负数或零 D．正数 【答案】C 【详解】解：∵，且，∴，即．∴一定是负数或零．故选：C． 22．（25-26七年级上·四川达州·期中）①有理数中，0的意义表示没有：②带“+”的数就是正数，带“－”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中说法正确的有_____． 【答案】③⑤/⑤③ 【详解】解：①有理数中，0的意义不仅可以表示没有，也可以作为某些数量的界限，如温度等；则原说法错误；②带“＋”的数不一定是正数，带“－”的数不一定是负数，如，既不是正数也不是负数；则原说法错误；③最大的负整数是，则原说法正确；④数轴上原点两侧满足绝对值相等的数互为相反数，例如2和在原点两侧，但它们不互为相反数，则原说法错误；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；则原说法正确；⑥需要限定都是负数，即两个负数比较大小，绝对值大的反而小，例如比较两个正数时，，它们的绝对值也满足，则原说法错误；故答案为：③⑤． 23．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）若，则___________，___________． 【答案】 【详解】解：，，且， 且，且，解得，．故答案为：；． 24．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内． 【答案】见解析 【详解】解：， 如图所示，即为所求： 挑战一刻 25．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误．故选B． 26．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【详解】，且，，均为整数，和均为非负整数，且和为， 可能情况为：①且，则，； ②且，则，．综上，．故选：A． 27．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【详解】解：结论（1）：由得，因绝对值非负，故，，代入，故结论成立； 结论（2）：当时，，而，二者不等，故结论不成立； 结论（3）：由得，解得时（另一解矛盾），存在，满足，故结论不成立； 结论（4）：，分三段讨论：当时为；当时为；当时为，则最小值为，故结论成立；故选：C． 28．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024．故选：C． 29．（25-26七年级上·河南郑州·期中）下表列出了一带一路沿线城市与北京的时差，我国驻巴西里约的工作人员为了收看大阅兵（北京时间9月3日上午10点开始），需要在里约____________点开始观看（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，惠灵顿时间为，那么惠灵顿与北京的时差为） 城市 惠灵顿 开罗 莫斯科 里约 时差 【答案】9月2日 【详解】由表格可知，里约与北京的时差为小时，即里约时间比北京时间晚11小时， 北京时间9月3日上午10:00时，里约时间为小时 = 9月2日23:00， 故需要在里约23:00点开始观；看故答案为：9月2日 30．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ．(2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)1(2)或(3)有最小值，最小值为4 【详解】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下：就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现：当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4，所以有最小值，最小值为4． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $