第04讲 有理数的加减运算（讲义，全国通用北师大版）数学小升初衔接

第04讲 有理数的加减运算 预习目标 知识回顾 1．理解有理数加减法的意义，掌握有理数加减法法则，正确进行有理数加减法运算； 2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 5．会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题； 6. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 1. 正数与负数的概念、意义；有理数的意义及分类； 2. 相反数和绝对值的概念及意义，绝对值的非负性； 3. 数轴的三要素及画法；数轴上点的运动；能利用绝对值或数轴比较两个有理数的大小。 新知导图 预习精讲 【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升3°C，接着再上升2°C； (2) 第一次下降3°C，接着再下降2°C； (3) 第一次下降3°C，接着再上升2°C； (4) 第一次下降3°C，接着再上升2°C。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意： (1)上升：下降3°C，即上升-3°C；下降2C，即上升- 2°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【思考2】下列是四川成都连续四天的天气情况，请问哪一天的温差最大？ 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 晴，南风级 多云，北风级 阵雨，北风级 小雨，西北风级 知识点01 有理数的加法 1.有理数加法的定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。 2.有理数加法（addition）法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，且把绝对值相加； （2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，且用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则。 3.运算律： 1）加法交换律（commutative property of addition）： 两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律（associative property of addition）： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即学即练】 1．（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 4．（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 5．（25-26七年级上·广东惠州·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如下是妈妈11月26日一天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则妈妈当天微信收支的最终结果是（　　） Luckin coffee 11月26日12：05 快团团 11月26日14：21 微信红包 来自*** 11月26日14：41 A．收入49.00元 B．收入50.00元 C．支出49.00元 D．收入75.00元 6．（25-26七年级上·山东·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 知识点02 有理数的减法 1. 有理数减法的定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 2. 有理数减法（subtraction）法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 3. 有理数的加减混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 【即学即练】 1．（2026·天津河西·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是2026年2月某天哈尔滨、拉萨、石家庄、海口四个城市的天气情况，则日温差最大的城市是（    ） A．哈尔滨 B．拉萨 C．石家庄 D．海口 3．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把算式写成省略加号的和的形式是______． 4．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 5．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算(1)；(2)． 6．（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____；(2)用拆项法计算：． 题型速练 题型1、有理数的加法运算 【例1】（25-26七年级·成都·校考期中）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 必记结论 1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则。 【小试牛刀】 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 2．（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 3．（2026·河北沧州·二模）比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 4．（25-26七年级上·成都·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 题型2、有理数加法法则的辨析 【例1】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 必记结论 有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数和为0. 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·浙江台州·期中）已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）若，，且，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 3．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 题型3、有理数加法的运算律 【例1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【例2】（2026七年级上·成都·专题练习）计算：(1)； (2)；(3)． 【例3】（25-26七年级上·重庆·专题练习）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 必记结论 有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 2．（25-26七年级上·重庆·专题练习）计算： (1)；(2)． 3．（25-26七年级上·山东·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 题型4、有理数的减法运算 【例1】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）计算 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9) 必记结论 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有： 【小试牛刀】 1．（2026·山西运城·二模）下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 2．（2026·河南周口·模拟预测）计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 3．（2026·江苏泰州·一模）著名的中国古代数学著作《九章算术》中提到：异名相益，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为这两数绝对值的和．例如，，则表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广东·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4) 题型5、有理数减法法则的辨析 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）下面说法中正确的是（   ） A．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数 B．两个负数的差一定是负数 C．正数减去负数差是正数 D．两个正数的差一定是正数 【例2】（24-25·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 必记结论 有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．可能是正数 2．（24-25·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数 C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）下面说法中正确的有（    ） （1）一个数与它的绝对值和一定不是负数；（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原来的2倍；（3）零减去一个数一定是负数；（4）正数减负数一定是负数；（5）数轴上原点两侧的数互为相反数 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型6、有理数加减法统一成加法 【例1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和； 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 必记结论 省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 题型7、有理数的加减混合运算 【例1】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 必记结论 有理数的混合运算步骤： 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·成都·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1)，(2) 题型8、有理数加减混合运算中的简便计算 【例1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)．(3)． (4)． 必记结论 运用运算律简化计算常见方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8) 2．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 3．（24-25·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型09 有理数加减法混合运算的实际应用 【例1】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈利还是亏损，金额是多少．(2)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 【例2】（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 必记结论 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文26个字母（不论大写）依次对应这26个自然数，当明码字母对应的序号为奇数时，密码字母对应的序号是；当明码字母对应的序号为偶数时，密码字母对应的序号是．按上述规定，将明码“hope”译成密码是（   ） 字母 c 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 o s w 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 A．jgie B．gife C．gjke D．cjke 2．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置；(2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 题型10 有理数加减混合运算的新定义 【例1】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】(1)思考上述运算，归纳运算法则：两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果：①____；②____； (3)若，则的值为________． 必记结论 “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题 【小试牛刀】 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫做“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________． 2．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ；②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 4．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】（1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 基础过关 1．（2026·吉林·模拟预测）根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 2．（2026·河北廊坊·二模）比3的相反数大3的数表示为（     ） A． B． C．0 D．6 3．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·成都·期中）小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下表记录了某公司2025年四个季度的盈亏情况（记盈利为正，单位：百万），根据表的数据，该公司2025年的利润可表示为（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利 31.5 27.8 A． B． C． D． 6.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各式的值等于5的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·成都·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 8．（25-26七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 9．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）若且a，b异号，，则a_______0． 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）计算：____________． 11．（25-26七年级上·山东滨州·期末）若方框表示运算，则方框 =_____． 12．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 13．（25-26七年级上·成都·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 14．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 能力提升 15．（2026·辽宁阜新·二模）规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（     ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 18．（25-26七年级上·北京·期末）纸箱中放有若干个小球，小明和小聪玩一个取球游戏，游戏规则如下：游戏初始两人手中各有10个小球，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者从纸箱中取出1个小球，负者从手中拿1个小球放回纸箱．如果出现连胜情况，每回合胜者取球个数增加1个，负者放回小球的个数保持不变．例如，在小明的3连胜中，他第一回合从纸箱中取出1个小球，第二回合取出2个小球，第三回合取出3个小球，小聪每回合从手中拿1个小球放回纸箱．若两人一共进行10回合的游戏，其中小明出现一次2连胜，小聪出现一次2连胜和一次3连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时小聪手中小球数比小明手中小球数多_____个． 19．（2026·江苏扬州·二模）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 20．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 21．（25-26七年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 挑战一刻 22．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 24．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（    ） A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 25．（25-26七年级上·成都·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：________；_______；________；_______； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的加减运算 预习目标 知识回顾 1．理解有理数加减法的意义，掌握有理数加减法法则，正确进行有理数加减法运算； 2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 5．会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题； 6. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 1. 正数与负数的概念、意义；有理数的意义及分类； 2. 相反数和绝对值的概念及意义，绝对值的非负性； 3. 数轴的三要素及画法；数轴上点的运动；能利用绝对值或数轴比较两个有理数的大小。 新知导图 预习精讲 【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升3°C，接着再上升2°C； (2) 第一次下降3°C，接着再下降2°C； (3) 第一次下降3°C，接着再上升2°C； (4) 第一次下降3°C，接着再上升2°C。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意： (1)上升：下降3°C，即上升-3°C；下降2C，即上升- 2°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【思考2】下列是四川成都连续四天的天气情况，请问哪一天的温差最大？ 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 晴，南风级 多云，北风级 阵雨，北风级 小雨，西北风级 知识点01 有理数的加法 1.有理数加法的定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。 2.有理数加法（addition）法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，且把绝对值相加； （2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，且用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则。 3.运算律： 1）加法交换律（commutative property of addition）： 两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律（associative property of addition）： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即学即练】 1．（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ，，∴ 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：故选：A 3．（25-26七年级上·重庆·期中）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数．故选：B． 4．（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 5．（25-26七年级上·广东惠州·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如下是妈妈11月26日一天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则妈妈当天微信收支的最终结果是（　　） Luckin coffee 11月26日12：05 快团团 11月26日14：21 微信红包 来自*** 11月26日14：41 A．收入49.00元 B．收入50.00元 C．支出49.00元 D．收入75.00元 【答案】A 【详解】解：∵将所有收支数据相加，得， 又∵题目规定正数表示收入，结果为正数，∴妈妈当天微信收支的最终结果是收入49.00元，故选A． 6．（25-26七年级上·山东·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 知识点02 有理数的减法 1. 有理数减法的定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 2. 有理数减法（subtraction）法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 3. 有理数的加减混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 【即学即练】 1．（2026·天津河西·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是2026年2月某天哈尔滨、拉萨、石家庄、海口四个城市的天气情况，则日温差最大的城市是（    ） A．哈尔滨 B．拉萨 C．石家庄 D．海口 【答案】B 【详解】解：A、温差为：；B、温差为：； C、温差为：；D、温差为：．，∴B符合题意． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把算式写成省略加号的和的形式是______． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 4．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【详解】解：，，， 则．故答案为：． 5．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____；(2)用拆项法计算：． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：拆为，拆为，故答案为：，； （2）解： ． 题型速练 题型1、有理数的加法运算 【例1】（25-26七年级·成都·校考期中）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误；选项B：，B错误； 选项C：，C正确；选项D：， D错误． 必记结论 1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则。 【小试牛刀】 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数为，根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是， A选项符合． 3．（2026·河北沧州·二模）比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 【答案】B 【详解】解： 4．（25-26七年级上·成都·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：=+（20-12）； （2）解：=-（8+32）； （3）解：=-（）； （4）解：=-（）； （5）解：； （6）解：==-（3+54）+=-57+=-（57-）； 题型2、有理数加法法则的辨析 【例1】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【详解】解：设两个有理数为a和b，且．因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数．故选：B． 必记结论 有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数和为0. 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·浙江台州·期中）已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵且，∴，，故 ． 对于与：若，则，由得，∵，∴，即 ； 若，则，∵且，∴，即；综上，总有 ，故C正确，D错误； 对于A 和B，由于的符号不确定，与的大小关系不确定（例如当时，当时），故 A 和 B 不一定成立．故选：C． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）若，，且，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 【答案】D 【详解】解：∵，，∴，， ∵，∴，或，， ∴当，时，， 当，时，， 综上所述：的值为7或3，故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 【答案】D 【详解】解：如果两个有理数的和是负数那么这两个数可能是一个正数与一个负数，例如，可能都是负数，例如，也可能是0和一个负数，例如，故D正确．故选：D． 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误，故选：C. 题型3、有理数加法的运算律 【例1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置，∴使用了加法交换律；∵将和结合，∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律．故选：C． 【例2】（2026七年级上·成都·专题练习）计算：(1)； (2)；(3)． 【答案】(1)10(2)(3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【例3】（25-26七年级上·重庆·专题练习）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 必记结论 有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 【答案】D 【详解】解：计算最好的方法是运用加法交换律和结合律变形为 计算．故选∶ D． 2．（25-26七年级上·重庆·专题练习）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·山东·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)2(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【详解】解　原式 题型4、有理数的减法运算 【例1】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）计算 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)． 【详解】（1）解：；（2）解：； （3）解：；（4）解：； （5）解：；（6）解：； （7）解：；（8）解：；（9）解：； 必记结论 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有： 【小试牛刀】 1．（2026·山西运城·二模）下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】解：，即符合要求的数是． 2．（2026·河南周口·模拟预测）计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．（2026·江苏泰州·一模）著名的中国古代数学著作《九章算术》中提到：异名相益，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为这两数绝对值的和．例如，，则表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于，被减数为，符号为负，两数的绝对值分别为和，绝对值的和为， ∴． 4．（25-26七年级上·广东·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：=； （2）解；=； （3）解：； （4）解；． 题型5、有理数减法法则的辨析 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）下面说法中正确的是（   ） A．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数 B．两个负数的差一定是负数 C．正数减去负数差是正数 D．两个正数的差一定是正数 【答案】C 【详解】解：A． 在有理数的减法中，被减数一定要大于减数错误，故本选项错误； B． 两个负数的差不一定是负数，例如：，故本选项错误； C． 正数减去负数的差是正数正确，故本选项正确； D． 两个正数的差不一定是正数，例如：，故本选项错误．故选C． 【例2】（24-25·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：如图可知，，，且离原点更近一些，故： A、正确，符合题意；B、由图知，故错误，不符合题意； C、因为，所以，故C错误，不符合题意； D、因为，所以，且离原点更近一些，则，故，符合题意；故选AD． 必记结论 有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．可能是正数 【答案】C 【详解】解：A、∵，∴符号无法确定，故此选项错误； B、∵，∴不可能是负数，故此选项错误； C、∵，∴一定是正数，故此选项正确； D、∵，∴一定是负数，故此选项错误；故选：C． 2．（24-25·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数 C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零 【答案】A 【详解】A.减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确； B.如，-7-2=-9是负数，所以被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数错误； C.如0-(-5)=5，所以零减去一个有理数，差一定是负数错误； D.如5-3=2>0，所以两个数的差必小于零错误；故选A． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）下面说法中正确的有（    ） （1）一个数与它的绝对值和一定不是负数；（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原来的2倍；（3）零减去一个数一定是负数；（4）正数减负数一定是负数；（5）数轴上原点两侧的数互为相反数 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数，正确； （2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍，正确； （3）零减去一个负数数一定是正数．故原说法不正确； （4）正数减负数一定是正数．故原说法不正确； （5）数轴上原点两侧且绝对值相等的数互为相反数，故原说法不正确．即正确的只有2个；故选A． 题型6、有理数加减法统一成加法 【例1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和； 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【答案】B 【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确； ② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误；∴只有读法二正确，故选：B． 必记结论 省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原式为，∴按去括号法则变形得． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．故选：D． 3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：； 选项B：； 选项C：，与给定算式一致； 选项D：．故选：C． 题型7、有理数的加减混合运算 【例1】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 必记结论 有理数的混合运算步骤： 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·成都·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1)，(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8、有理数加减混合运算中的简便计算 【例1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)．(3)． (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 必记结论 运用运算律简化计算常见方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1)8(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 2．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 3．（24-25·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型09 有理数加减法混合运算的实际应用 【例1】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈利还是亏损，金额是多少．(2)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 【答案】(1)星期五的盈亏数为，星期五是亏损，金额8元 (2)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【详解】（1）解： ，∴星期五的盈亏数为； 答：星期五的盈亏数为，星期五是亏损，金额8元 （2）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【例2】（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 【答案】 【详解】解：∵一组开锁密码为“，，”∴，∴标记线按顺时针转了格， ∵∴锁打开时标记线对准的刻度线表示为，故答案为：． 必记结论 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文26个字母（不论大写）依次对应这26个自然数，当明码字母对应的序号为奇数时，密码字母对应的序号是；当明码字母对应的序号为偶数时，密码字母对应的序号是．按上述规定，将明码“hope”译成密码是（   ） 字母 c 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 o s w 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 A．jgie B．gife C．gjke D．cjke 【答案】C 【详解】解：∵明码“hope”中，h对应序号8（偶数），∴密码序号为，对应g； ∵o对应序号15（奇数），∴密码序号为，对应j； ∵p对应序号16（偶数），∴密码序号为，对应k； ∵e对应序号5（奇数），∴密码序号为，对应e．∴密码为“gjke”，故选：C． 2．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】(1)，， (2)少万人 【分析】分别计算出各天的人数即可求解． 【详解】（1）解：∵日：；日：；日：； ∴；∴月日的客流量比月日的客流量少万人； 日：；日：；日：；日：；日：； ∵，∴日的客流量最多，日的客流量最少；故答案为：， （2）解：∵，∴月日的客流量比月日的客流量少万人． 3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置；(2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 【答案】(1)卡片B在出发点O点西侧1米处 (2)36米 【详解】（1）解：，∵，∴卡片B在出发点O点西侧1米处； （2）解：机器人最终位置的坐标为：（米）处，从该点返回 点的路程为 （米）， 机器人完成一次全程比赛共移动的路程为： （米）． 题型10 有理数加减混合运算的新定义 【例1】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】(1)思考上述运算，归纳运算法则：两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果：①____；②____； (3)若，则的值为________． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①30；②(3)2 【详解】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； （2）解：①；故答案为：30； ②；故答案为：； （3）解：∵，∴与同号，即，∴， ∵，∴与异号，即， ∴，∴．故答案为：2． 必记结论 “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题 【小试牛刀】 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫做“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________． 【答案】 【详解】解：． 2．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ；②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值(2)①11；② 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值．故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，，∴，故答案为：11； ②由（1）得，，∵和4异号，，∴，即． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 【答案】 【详解】解：由题意，对于连续非零整数，有． ∴ ．故答案为：． 4．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】（1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【详解】（1）∵，∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律；故答案为：，，，；满足； （2）∵，∴，，∴； ∵，，∴， 因为．∴等式不成立，∴“绝佳”运算不满足结合律． 基础过关 1．（2026·吉林·模拟预测）根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵3与异号，且，，，∴． 2．（2026·河北廊坊·二模）比3的相反数大3的数表示为（     ） A． B． C．0 D．6 【答案】C 【详解】解：∵的相反数为，∴ 比大的数为，因此符合要求的数是． 3．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第一个减号： 转化为 ；第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为：故选 B． 4．（25-26七年级上·成都·期中）小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 【答案】A 【详解】解：∵计算结果为15，∴ ，即， ∴．故选：A． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下表记录了某公司2025年四个季度的盈亏情况（记盈利为正，单位：百万），根据表的数据，该公司2025年的利润可表示为（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利 31.5 27.8 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵盈利记为正，亏损记为负，全年利润为四个季度盈亏情况的总和， ∴全年利润，故选：C． 6.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各式的值等于5的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意．故选：C． 7．（24-25七年级上·成都·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意；B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意；C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意；故选D． 8．（25-26七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律，故选：． 9．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【详解】解：∵且a，b异号，，∴；故答案为：． 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）计算：____________． 【答案】7 【详解】解：． 11．（25-26七年级上·山东滨州·期末）若方框表示运算，则方框 =_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得：原式．故答案为：. 12．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 【答案】任务1：有理数的减法运算法则三，将误算为任务2：正确的解答过程见解析． 【详解】解：任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数的减法运算法则， 故答案为：有理数的减法运算法则． ，∴运算从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是将误算为， 故答案为：三，将误算为． 解：任务2： ． 13．（25-26七年级上·成都·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 【答案】(1)(2)18(3)(4)(5)(6)(7) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； 14．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米(2)(3)能，理由见解析 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为，所以小李距集合点最远为2千米，故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 能力提升 15．（2026·辽宁阜新·二模）规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵规定向右移动记作，向右与向左是相反意义的方向，∴向左移动记作负数， ∵两次移动分别为向右移动，向左移动，∴向右移动记作，向左移动记作，列算式得． 16．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．故选：D． 17．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【详解】解：由图（2）可知． 18．（25-26七年级上·北京·期末）纸箱中放有若干个小球，小明和小聪玩一个取球游戏，游戏规则如下：游戏初始两人手中各有10个小球，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者从纸箱中取出1个小球，负者从手中拿1个小球放回纸箱．如果出现连胜情况，每回合胜者取球个数增加1个，负者放回小球的个数保持不变．例如，在小明的3连胜中，他第一回合从纸箱中取出1个小球，第二回合取出2个小球，第三回合取出3个小球，小聪每回合从手中拿1个小球放回纸箱．若两人一共进行10回合的游戏，其中小明出现一次2连胜，小聪出现一次2连胜和一次3连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时小聪手中小球数比小明手中小球数多_____个． 【答案】7 【详解】解：小明出现一次2连胜，取球（个）； 小聪出现一次2连胜和一次3连胜，取球（个）； ∵此外，两人均未出现其他连胜情况，∴其余3回合为小明胜2回合和小聪胜1回合， ∴小明胜的回合数为4，小聪胜的回合数为6，小明共取球（个），放球6个， 小聪共取球（个），放球4个，（个）， ∴在游戏结束时小聪手中小球数比小明手中小球数多7个．故答案为：7． 19．（2026·江苏扬州·二模）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【详解】解：如图所示： 最大值． 故此最大值为50． 20．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 【答案】22 【详解】解：， 结果算成了比小，是奇数前面的“”错写成了“”， ，写错的是23前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第22个运算符号写错了，故答案为：22． 21．（25-26七年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． 【答案】(1)，，(2)4046 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，． （2）解： ． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3(2)6，5，4(3)；或 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，,故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，，故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或，故答案为：；或． 挑战一刻 22．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 设被改为“”号的数的和为，则运算结果， ∵所有数均为偶数，偶数的和为偶数，即为偶数， ∴是的倍数，又是的倍数，∴必为的倍数， A．不是的倍数，不符合要求，B．不是的倍数，不符合要求， C．不是的倍数，不符合要求，D．是的倍数，符合条件，故选：D． 23．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为，， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置，或，或，故选：C． 24．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（    ） A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 【答案】C 【详解】解：∵，∴或， 若，则，此时，与题干矛盾，故舍去， ∴必有，即，∴，∵，∴， 若，则，此时，，无论还是，均满足， ∴，即三点从左到右为，，， 若，则，此时化简后矛盾，舍去． 综上，三点在数轴上从左到右的顺序为，，．故选：C. 25．（25-26七年级上·成都·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：________；_______；________；_______； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【答案】(1)；；12；(2)；加法的交换律仍然适用；结合律不适用；验证见解析 【详解】（1）解：根据题意可得：两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， ∴；； ；； （2）解：； 加法的交换律仍然适用， 例如：，，∴，故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，，，∴结合律不适用． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $