课时分层检测(三十三) 正弦定理、余弦定理（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦正弦定理、余弦定理，整合2024新课标全国II真题及2026年海口、长沙等多地模拟题，分层设计适配一轮复习，覆盖基础应用与综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单项选择|6|正弦定理边角互化、余弦定理应用、三角形面积、形状判断、外接圆半径|基础巩固，直接考查公式应用| |多项选择|2|多解问题、定理综合应用|干扰项设计合理，考查思维严谨性| |填空|2|余弦定理求角、延长线构造解三角形|情境稍复杂，需转化条件| |解答（知识过关）|1|定理综合求角与周长|含新课标真题，提供5种解法| |解答（素养提升）|1|定理证明与线段长度计算|多解法（余弦定理、等面积法等），突出逻辑推理|

课时分层检测（三十三）正弦定理、余弦定理 知识过关 一、单项选择题 （2026·海口模拟） 1. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. （2026·八省适应性测试） 2. 在中，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 24 D. 48 （2026·长沙模拟） 3. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比，则等于（ ） A. B. C. 2 D. （2026•齐齐哈尔调研） 4. 中，分别是角的对边，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角或钝角三角形 D. 锐角三角形 （2026•济南模拟） 5. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. （2026·上海模拟） 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题 （2026·长沙调研） 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （2026·重庆诊断） 8. 满足下列条件的三角形有两个解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三、填空题 （2026·沈阳质检） 9. 在中，角，，所对边分别为，，，，，则角______. （2026·成都模拟） 10. 在中，，，延长到点，使得，，则的长为______． 四、解答题 （2024－新课标全国II） 11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 素养提升 （2026·河北部分重点高中模拟） 12. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 课时分层检测（三十三）正弦定理、余弦定理 知识过关 一、单项选择题 （2026·海口模拟） 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理分析求解. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. （2026·八省适应性测试） 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可. 【详解】设，根据余弦定理， 已知，，，代入可得： ，即，解得， 由于，则为直角三角形， 则. 故选：C. （2026·长沙模拟） 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题可利用正弦定理将正弦值转化为边，再用余弦定理求出 ，进而求出 和，即可求解. 【详解】因为在中，， 设分别为，， 由余弦定理， 可得， 解得， 可得． 故选：. （2026•齐齐哈尔调研） 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式、正弦定理和和差公式化简可得，然后根据角的范围判断三角形形状即可. 【详解】由得， 即， 因为，所以，则， ， ， ， ， 又，所以，，所以角为钝角，为钝角三角形. 故选：B. （2026•济南模拟） 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到，利用三角形内角范围即得. 【详解】由以及正弦定理可得：， 因，代入整理得， 因,则得，又因，故. 故选：A. （2026·上海模拟） 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 二、多项选择题 （2026·长沙调研） 【7题答案】 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案. 【详解】，故，根据正弦定理：，即， ，故，，. ，化简得到，解得或， 若，故，故，不满足，故. . 故选：. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生计算能力和应用能力. （2026·重庆诊断） 【8题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理，逐项判断计算作答 【详解】对于A，，又，只有一解，不合题意； 对于B，，又，则有两解，符合题意； 对于C，，则不存在，无解，不合题意； 对于D，，又，则有两解，符合题意. 故选：BD 三、填空题 （2026·沈阳质检） 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合已知等式求出a，c的关系，再用正弦定理求出角C即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得，，又， 解得，由正弦定理得：，而，即C为锐角，， 所以. 故答案为： （2026·成都模拟） 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可求的值，进而可求的值，可求，的值，进而利用正弦定理可得的值． 【详解】在中，，，延长到点，使得，， 在由正弦定理得， 可得， 又，所以或， 若，则， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 若，则， 则，不符合题意，故舍去； 综上可得． 故答案为：． 四、解答题 （2024－新课标全国II） 【11题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 视频 素养提升 （2026·河北部分重点高中模拟） 【12题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $