课时分层检测(二十五) 指对同构问题（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦指对同构问题，通过分层设计（知识过关+素养提升）和多地区模拟题汇编，强化导数应用与函数构造能力，适配高中数学一轮复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单项选择|2|函数单调性比较、恒成立求参|构造函数（如f(x)=xlnx）分析单调性| |多项选择|2|函数单调性与参数范围|同构转化与导数工具结合| |填空|2|恒成立求最值、方程求解|整体构造（如g(x)=xe^x）简化问题| |解答题|2|单调性讨论、综合取值范围|分层设问，第8题融合单调性分析与同构思想|

课时分层检测（二十五） 指对同构问题 知识过关 一、单项选择题 1. 若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（　　） A. x1lnx1＜x2lnx2 B. x1lnx1＞x2lnx2 C. x2lnx1＜x1lnx2 D. x2lnx1＞x1lnx2 （2026·吕梁模拟） 2. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 （2026·泰州模拟） 3. 已知函数，对任意，，恒有，则实数a的取值可以是（ ） A. B. e C. D. （2026·盐城模拟） 4. 若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 2 三、填空题 （2026·青岛质检） 5. 已知当时，不等式恒成立，则正实数a的最小值为___________. （2026·渭南模拟） 6. 已知实数满足，，则______． 四、解答题 （2026·西安模拟） 7. 已知．设实数，若对任意的正实数x，不等式恒成立，求m的最小值． 素养提升 （2026·咸阳模拟） 8. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 课时分层检测（二十五） 指对同构问题 知识过关 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数f（x）＝xlnx，利用导数研究函数的单调性，即可判断选项A，B；构造函数，利用导数研究其单调性，即可判断选项C，D． 【详解】令，则， 当0＜x＜1时，的正负不能确定，故x1lnx1与x2lnx2的大小不能确定，故选项A，B错误； 令，则， 当0＜x＜1时，，则在上单调递增， 因为0＜x1＜x2＜1， 所以，即，即x2lnx1＜x1lnx2，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． （2026·吕梁模拟） 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【详解】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，，所以只需在上恒成立， 即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中， 故， 所以此时有． 综上，． 故选：C． 【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是不等式变形为，从而构造进行求解. 二、多项选择题 （2026·泰州模拟） 【3题答案】 【答案】AD 【解析】 【分析】核心思路：将不等式 转化为函数单调性问题，通过构造辅助函数 ，利用导数研究其单调性； 关键步骤：将参数分离，构造函数，通过求导确定其单调性与最小值，从而得到的取值范围． 【详解】由题意知，函数定义域为，， 又，故，在上单调递减． 不妨设，对任意，， 恒有， 即，． 令，由上可知在上单调递减， 则在上恒成立， 从而恒成立． 设，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，故． 故选：． （2026·盐城模拟） 【4题答案】 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，将恒成立问题转化为恒成立问题，求导，研究单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可. 【详解】由得， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，当时，恒成立， 所以的图象如下： ， ，即，， 对于A：当时，，根据图象可得不恒成立，A错误； 对于B：当时，，根据图象可得恒成立，B正确； 对于C：当时，，根据图象可得恒成立，C正确； 对于D：当时，，又， 因为，且，即， 所以，即， 根据图象可得恒成立，D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为，通过整体结构相同从而构造函数来解决问题. 三、填空题 （2026·青岛质检） 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，设，根据函数的单调性求出，令（），利用导数求出其最小值，从而可求出实数a的取值范围，进而可求得正实数a的最小值 【详解】由题意得，原不等式可变形，即， 设，则当时，恒成立， 由，得， 当时，，当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上单调递增， 所以要使，只要， 两边取对数得，， 因为，所以， 令（），则， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以， 所以正实数a的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查数学转化思想，解题的关键是将原不等式转化为，发现两边形式相同，所以构造函数，转化为当时，恒成立，再由函数的单调性可得，再转化为恒成立，构造函数求出其最小值即可，属于较难题 （2026·渭南模拟） 【6题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，构造函数，通过导数研究单调性，得，结合对数运算规则求的值. 【详解】由，可得，故, 由，可得，可得，故, 令，，由，解得，由，得解， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 由，则有，所以， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：由已知可得，找到共同特征，通过构造函数，利用导数研究函数性质，即可得到，从而求出的值. 四、解答题 （2026·西安模拟） 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题关键在于： 1.核心转化：利用函数单调性将函数值不等式转化为自变量不等式，是解决此类恒成立问题的关键； 2.构造技巧：通过构造 ，将与 统一为同一函数形式，简化了问题； 3.分离参数：将分离到不等式一侧，转化为求函数最大值，是处理恒成立问题的常用策略. 【详解】因为仅在时取等号，故在上单调递增， 由实数，对任意的正实数x，不等式恒成立， 可得，恒成立， 所以，即恒成立． 当时，，恒成立． 当时，构造函数，恒成立， 所以当时，单调递增， 则不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立，故需． 设，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故的最小值为． 素养提升 （2026·咸阳模拟） 【8题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出定义域，求导，分与两种情况，结合不等式，求出单调性； （2）变形得到，令，得到，由函数单调性得到，构造，求出其单调性和最值，得到的取值范围. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 因为， 所以等价于， 令，上述不等式等价于，显然为单调增函数， ∴原不等式等价于，即， 令，则， 在上，单调递增；在上，单调递减， ∴， ，即， ∴的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：等价于，利用同构构造，得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $