课时分层检测(二十三) 导数与函数的极值、最值（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 涵盖导数与函数极值、最值核心考点，分层设计适配一轮复习，融合多地区模拟题与全国卷真题，注重基础巩固与综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|6题|极值点判断、导数图象与函数性质、最值计算、极值点应用|基础概念辨析，结合苏州、江西等模拟题| |多项选择|2题|切线方程、单调性、极值、方程解|多角度考查导数应用，福州、广州模拟题| |填空题|2题|实际问题最值（运输成本）、极值存在条件|联系生活实际，郑州质测题| |解答题|1题|单调性讨论、极值证明|逻辑推理能力，山东青岛适应性测试题| |素养提升|1题（17分）|极值点与零点唯一性、函数单调性证明|综合应用，全国Ⅱ卷真题，难度高|

课时分层检测（二十三） 导数与函数的极值、最值 知识过关 一、单项选择题 1. 函数的极小值点是（　　） A. 1 B. （1，﹣） C. D. （﹣3，8） 2. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 （2026·苏州模拟） 3. 设，则函数的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. （2025·江西省重点高中联考） 4. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 5. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. （2026·武汉调研） 6. 已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 （2026·福州模拟） 7. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 （2026·广东广州一模） 8. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D 当且时， 三、填空题 （2026·郑州质测） 9. 甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v3元.为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶. 10. 若函数在上有极值，则实数的取值范围是_______. 四、解答题 （2026·山东青岛第一次适应性测试） 11. 已知函数，. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：. 素养提升 （2025·全国Ⅱ卷，18，17分，难） 12. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 课时分层检测（二十三） 导数与函数的极值、最值 知识过关 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】求得原函数的导数，令导数等于零，解出的值，并根据单调区间判断出函数在何处取得极小值，并求得极值，由此得出正确选项. 【详解】，由得 函数在上为增函数，上为减函数， 上为增函数，故在处有极小值，极小值点为1.选A 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． （2026·苏州模拟） 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，令，求导可得，即可得到在单调递减，从而得到结果. 【详解】因为，令，则，由可得， 当时，，则单调递减， 所以时，有最小值为. 故选：D 【点睛】， （2025·江西省重点高中联考） 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点处导数值为0求参数，注意验证，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得， 此时且， 所以时，时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 故. 故选：D 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可. 【详解】易知的定义域为， 不难发现在区间内单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一使得，即， 所以当时，；当时，． 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以的最小值为， 所以，所以，解得. 故选：B （2026·武汉调研） 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】令，由解得，进而得出函数的对称中心．根据，结合函数的单调性，即可得出． 【详解】令，则， 令 ， 解得， 又． 函数的图象关于点成中心对称． 因为， 所以， 又， 所以函数在上单调递增， 所以. 故选：A． 二、多项选择题 （2026·福州模拟） 【7题答案】 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案. 【详解】的定义域为，. A选项，， 所以曲线在处的切线方程为，A选项正确. B选项，令解得， 所以在区间，单调递减，B选项正确. C选项，在区间，单调递增， 所以有极小值，无极大值，C选项错误. D选项，的极小值为， 当时，；当时，， 方程有一个解，D选项错误. 故选：AB （2026·广东广州一模） 【8题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极值的定义可得，进而求出可判断A；结合函数的单调性判断B；代式计算判断C；由，可得，再结合函数的单调性可得，进而得到，再验证可得，进而判断D. 【详解】由，则， 则函数的定义域为， 则，， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 此时， 则， 令，得或； 令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 由， 则， ， 所以，故C正确； 因为，，则， 又函数在上单调递增，则， 所以， 又， 则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 （2026·郑州质测） 【9题答案】 【答案】80 【解析】 【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值． 【详解】解：设全程运输成本为元， 由题意，得，， ． 令，得． 当时，；当时，． 所以函数在上递减，在上递增， 所以 km/h时，． 故答案为：80. 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上有变号零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值可得答案. 【详解】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有变号零点，即在上有实数根，且不能为相等实根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数上没有极值， 故. 故答案为：. 四、解答题 （2026·山东青岛第一次适应性测试） 【11题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可. 【小问1详解】 当时，，， 则， 当或时，； 当时，， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 由，，得， 因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根， 设为且，因为函数在时的图象关于轴对称， 所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以分别是函数的极大值点和极小值点， 即，， 又，即， 则， 又，则，， 设，， 则，即函数在上单调递减， 所以，即. 素养提升 （2025·全国Ⅱ卷，18，17分，难） 【12题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【小问1详解】 由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. 【小问2详解】 （i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $