课时分层检测(八) 函数的单调性与最值（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，整合2025-2026年多地模拟题及八省联考题，分层设计兼顾基础巩固与素养提升，适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单项选择|6|单调性判断、充要条件、二次函数最值|结合揭阳二模等模拟题，注重基础应用| |多项选择|2|函数性质综合、双曲函数（科技情境）|融入神经网络激励函数，体现学科前沿| |填空|2|分段函数最值、柯西方程（数学文化）|设置加性函数开放性问题，渗透数学史| |解答题|3|单调性证明、抽象函数不等式|分层设计，素养提升题综合考查逻辑推理|

课时分层检测（八） 函数的单调性与最值 知识过关 一、单项选择题 （2026·揭阳二模） 1. 已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （2026·青岛模拟） 3. 设，函数在区间上是增函数，则 A. B. C. D. 4. .函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ） A. B. － C. －2 D. 2 （2026·南京诊断） 5. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 是增函数 D. 是减函数 二、多项选择题 7. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. ，且，有 D. ，“”是“”的充分不必要条件 （2025·八省联考） 8. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ） A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. 三、填空题 （2026·宁波质检） 9. 设函数，存在最小值时，实数a的取值范围是______； 10. 柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程称为柯西方程，满足该方程的函数称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数___________. 四、解答题 11. 已知函数． （1）证明函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 素养提升 （2026·泰安模拟） 12. 已知定义在R上的函数f(x)满足：①f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，②当时，. （1）求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数； （2）若f(1)＝1，解关于x的不等式. 课时分层检测（八） 函数的单调性与最值 知识过关 一、单项选择题 （2026·揭阳二模） 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性即可判断. 【详解】因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 则“”可以推出“”， “”也可推出“”， 故“”是“”的充要条件． 故选：C． （2026·青岛模拟） 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】首先比较自变量与的大小，然后利用单调性比较函数值与的大小. 【详解】因为， 函数在区间上是增函数， 所以.故选C. 【点睛】已知函数单调性比较函数值大小，可以借助自变量的大小来比较函数值的大小. 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知f(x)在上是减函数，从而可求出其最大值 【详解】解：因为函数和在上均为减函数， 所以f(x)在上是减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝. 故选：A 【点睛】此题考查函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题 （2026·南京诊断） 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】对题中条件进行变化，构造新函数，根据增、减函数的定义即可. 【详解】不妨令， ， 令，， 又，∴是增函数． 故选:A. 二、多项选择题 【7题答案】 【答案】CD 【解析】 【分析】求出函数定义域，利用指数运算判断A；举例说明判断B；作差计算判断C；利用充分不必要条件的定义，结合恒成立及单调性判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，A错误； 对于B，由，，得，B错误； 对于C，由，对于，且， 则， 由，得，即，， 则，因此且，有，C正确； 对于D，当，而，即，由选项C知为增函数，则； 反之，由为增函数，恒成立，得恒成立， 又，因此，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：CD （2025·八省联考） 【8题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得. 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 （2026·宁波质检） 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】求出的对称轴为，得到要想存在最小值，需要，或单调递减，且在处，的函数值要大于等于的函数值，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，的对称轴为， 要想存在最小值，当时，或单调递减，且在处，的函数值要大于等于的函数值， 符合题意， 若时，则②，解②得：或， 综上：或. 故答案为：. 【10题答案】 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先设，再验证函数的单调性和是否满足即可. 【详解】设，上单调递减. ，，，满足. 所以函数称为“加性函数”. 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 【11题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【详解】（1）证明: 由，得， ，．在上单调递增． （2）解: 由（1）知函数在上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上最大值为，最小值为． 素养提升 （2026·泰安模拟） 【12题答案】 【答案】（1）－1，证明见解析；（2）{x|x－2或x1}. 【解析】 【分析】（1）由题意令x＝y＝0即可得；再任取x1x2，结合题意可得，即可得证； （2）由题意转化条件为，再由函数的单调性即可得x2＋x＋13，解不等式即可得解. 【详解】（1）令x＝y＝0，可得即； 在R上任取x1x2，则x1－x20，f (x1－x2)－1. 又， 所以函数f (x)在R上单调递增函数； （2）由f (1)＝1得，， 由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故x2＋x＋13，解得x－2或x1， 故原不等式的解集为{x|x－2或x1}. 【点睛】本题考查了函数单调性的证明与应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $