课时分层检测(五) 基本不等式的综合应用（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦基本不等式综合应用，整合武汉、青岛等多地区2026年模拟题，分层设置知识过关与素养提升模块，强化数学建模与实际问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|6题|基本不等式求最值、椭圆定义综合、同余问题|结合各地模拟题，注重基础公式直接应用与跨知识点融合| |多项选择题|2题|恒成立条件判断、代数式取值范围|选项设计区分度高，考查不等式性质灵活应用| |填空题|2题|直线平行条件、函数值域与不等式结合|强调“1”的妙用等技巧，需转化条件构建不等式| |解答题|1题|函数解析式求解、存在性问题|分层设问，先基础计算后参数范围探究，衔接高考题型| |素养提升题|1题|利润函数建模与最值|以医疗器械生产为情境，体现数学与经济生活联系，强化建模思想|

课时分层检测（五） 基本不等式的综合应用 知识过关 一、单项选择题 （2026·武汉调研） 1. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是椭圆C：两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 4 （2026·晋安质检） 3. 已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2026·保定诊断） 4. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（ ） A. ，， B. ，， C. D. ， （2026·宿州模拟） 5. 定义：对于数，，若它们除以整数所得的余数相等，则称与对于模同余或同余于模，记作．已知正整数满足，将符合条件的所有的值按从小到大的顺序排列，构成数列．设数列的前项之和为，则的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 （2026·长沙模拟） 6. 中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 （2026·青岛模拟） 7. 已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ） A. B. C. D. 8. 若，， 且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题 （2026·宿迁质检） 9. 若直线与直线平行，其中、均为正数，则的最小值为______． 10. 已知函数的值域为，其中，则的最小值为______. 四、解答题 （2026·长沙调研） 11. 设函数，且，. （1）求的值； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 素养提升 12. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 课时分层检测（五） 基本不等式的综合应用 知识过关 一、单项选择题 （2026·武汉调研） 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式直接计算即可. 详解】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了椭圆的定义，基本不等式的应用，掌握椭圆的定义及基本不等式求最值的方法是解题的关键． 先由椭圆定义得，再用基本不等式求乘积的最大值． 【详解】解：∵， ∴， 当且仅当时，等号成立， ∴的最大值为9． 故选：C． （2026·晋安质检） 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【详解】由正实数x，y， ，则， 即， 当且仅当，即时，等号成立，则， 故选：A. （2026·保定诊断） 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由已知先利用基本不等式求出的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求． 【详解】因为、，且， ， 当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9， 若有解，则，解得或， 即实数的取值范围为，，． 故选：． （2026·宿州模拟） 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项及前项和为，再借助单调性求解即得. 【详解】由题意可知：，且， 可知数列是等差数列，则， 可得， 当且仅当时，取得最小值16. 故选：C. （2026·长沙模拟） 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值时三角形各边长，再求． 【详解】由题可知，，可得， 则， 当且仅当时，取得等号， 所以此时三角形为等边三角形，故． 故选：C 二、多项选择题 （2026·青岛模拟） 【7题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断. 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 【8题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，消去选项中的b，构造关于a的函数，分析函数的性质，判断正误. 【详解】对于A，因为在单调递减，在单调递增，所以，选项A正确； 对于B，因为，所以有，于是，当且仅当时，等号成立，选项B正确； 对于C，，设，所以在单调递减，在单调递增， 所以，选项C错误； 对于D，设，所以，所以，选项D正确. 【点睛】因为，，，所以注意构造的函数中. 三、填空题 （2026·宿迁质检） 【9题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】由两直线平行可得出，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知两直线平行可得，则， 因为、均为正数，利用基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为：. 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的值域确定，得，且可知，再结合基本的不等式即可得得最小值. 【详解】解：函数的值域为，则有，即，且， 所以， 又由，所以，则 ，当且仅当且时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 （2026·长沙调研） 【11题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先列方程求得的值； (2)先利用分离参数法得到关于实数的不等式，再构造新函数并求得其最小值，进而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，，， 解之得. 故. 【小问2详解】 由(1)知，所以可化为. 故原问题等价于，使得成立. 则当时，， 其中表示在上的最小值. 当时，令，则，设， 则，当且仅当时取等号， 所以当，取得最小值. 故的取值范围是 素养提升 【12题答案】 【答案】（1） （2）35（台），最大利润为2050（万元）． 【解析】 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 所以． 【小问2详解】 当时，，对称轴方程， 且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元）， 因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $