课时分层检测(四) 基本不等式（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 本课时分层检测聚焦基本不等式，整合多地模拟题，通过单选、多选、填空、解答及素养提升题，实现基础巩固与能力迁移，适配高中数学一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单项选择题|6|最值求解、等号条件、几何背景|融合攀枝花调研等模拟题，注重概念辨析| |多项选择题|2|不等式性质、函数最值|长沙模拟题改编，考查多维度推理| |填空题|2|构造法求最值、新定义运算|银川调研等题源，强调知识迁移| |解答题|1|条件最值综合应用|分层设问，衔接基础与提升| |素养提升题|1|方法模仿与创新探究|递进式设计，培养创新意识|

课时分层检测（四） 基本不等式 知识过关 一、单项选择题 （2026·攀枝花调研） 1. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 （2026·太原质检） 2. 下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ） A. B. C. D. （2026·亳州模拟） 3. 已知，，则的最小值为（    ） A. 8 B. 4 C. D. （2026·菏泽模拟） 4. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 5. 设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. （2025·四川名校大联考） 6. 已知实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 （2026·长沙模拟） 7. 设正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. 函数的最小值是2 C. 函数的最小值是6 D. 若，则的最小值是8 三、填空题 （2026·银川调研） 9. 已知，则的最小值为__________． （2026·芜湖检测） 10. 在实数集中定义一种运算，满足下列性质： ①对任意的； ②对任意的； ③对任意的； 则 ______，函数的最小值为______． 四、解答题 11. 已知，求 （1）的最大值； （2）的最小值. 素养提升 12. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； （1）请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） （2）研究，的最小值； （3）求出当时，，的最小值. 课时分层检测（四） 基本不等式 知识过关 一、单项选择题 （2026·攀枝花调研） 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B （2026·太原质检） 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. （2026·亳州模拟） 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A （2026·菏泽模拟） 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. （2025·四川名校大联考） 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，可得出，再利用基本不等式可求出所求代数式的最小值. 【详解】因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 二、多项选择题 （2026·长沙模拟） 【7题答案】 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断各选项． 【详解】对于A选项，， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B选项，，故， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C选项，， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D选项， ， 当且仅当时取得等号成立，故D正确． 故选：BCD. 【8题答案】 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项，对于函数，， 当且仅当，即时等号成立，所以选项正确； 选项，对于函数，令则 原函数变为因为函数在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值所以选项错误； 选项，对于函数，， ， 当且仅当，即时等号成立，所以选项正确； 选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以选项正确． 故选 三、填空题 （2026·银川调研） 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件构造出，然后与相乘，构造出基本不等式，利用基本不等式即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为：， 故答案为：. （2026·芜湖检测） 【10题答案】 【答案】 ①. 17 ②. 6 【解析】 【分析】根据新运算的定义、性质以及基本不等式化简求值即可. 【详解】根据定义可得； ，当且仅当时等号成立． 故答案为：17,6． 四、解答题 【11题答案】 【答案】（1）18； （2）11. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得，换元令，转化后可求出结果， （2）由可知，，代入得，再利用基本不等式可求得结果. 【小问1详解】 因为 根据基本不等式，（当且仅当取等号） 令，则，解得，又， 所以，即， 所以，故的最大值为18. 【小问2详解】 由可知， ， 当且仅当即时取等号，所以， 所以的最小值为11. 素养提升 【12题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （2）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （3）根据例题，将变形为，再利用求解即可； 【小问1详解】 因为，模仿例题，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 【小问2详解】 因为，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 【小问3详解】 因为，且，利用， 得到， 于，， 当且仅当时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $