§7.9 立体几何中的截面、交线问题（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦立体几何截面与交线问题，涵盖作截面、形状判断及周长面积计算，精选2026年南通质检、广东湛江二模等多地模拟题，适配高中数学一轮复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |作截面|2题|平面基本性质、空间作图|以正方体为模型，强调平面交线确定方法| |截面形状判断|2题|线面平行垂直、几何体结构|结合四棱锥、正三棱柱，注重反证法与空间推理| |截面周长面积|4题|球与正方体交线、梯形面积计算|融合球截面、正四面体等复杂模型，突出空间想象与运算能力|

§7.9 立体几何中的截面、交线问题 题型一 作截面 ［例1］ 1. 如图，在正方体中，是中点，在棱上，且．作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法． 跟踪训练1 2. 在正方体中，，，分别为，，的中点，作出过点，，的平面截正方体的截面． 题型二 截面图形的形状判断 ［例2］ （2026·南通质检） 3. 已知四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，点E是PD的中点，点F是棱PC上的点且，则平面BEF截四棱锥所得的截面图形是（ ） A. 斜三角形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 两组对边均不平行的四边形 跟踪训练2 4. 如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（ ） A. 五边形 B. 四边形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 题型三 截面图形的周长或面积 ［例3］ （2026·广东湛江二模） 5. 已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（ ） A. B. C. D. （2026·呼和浩特模拟） 6. 已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 跟踪训练3 （2026·广州调研） 7. 正方体中，是的中点，平面经过直线且与直线平行，若正方体的棱长为，则平面截正方体所得的多边形的面积为_____. 8. 如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点是的重心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则截面的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 §7.9 立体几何中的截面、交线问题 题型一 作截面 ［例1］ 【1题答案】 【答案】作法见解析 【解析】 【分析】由平面的基本性质作图.即可. 【详解】方法一:如图所示，五边形即为所求截面． 作法如下：连接并延长交的延长线于点， 连接交于点，延长交的延长线于点， 连接交于点，连接，，则五边形即为所求截面． 方法二:连接，过点作的平行线交于点，连接，过作的平行线交于点，连接， 则五边形即为所求截面． 跟踪训练1 【2题答案】 【答案】作法见详解 【解析】 【分析】由平面的基本性质作图即可. 【详解】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点，，都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是正六边形． 题型二 截面图形的形状判断 ［例2］ （2026·南通质检） 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过作辅助线，得到截面，再根据假设对边平行，推出矛盾，最后判断选项. 【详解】如图，延长EF和DC，设其交点为G，连接BG，延长DA并与直线BG交于点H，连接HE交PA于点K，连接KB，得四边形EFBK， 假设，平面，平面，得平面PAD，（线面平行的判定定理的应用） 因为，平面，平面，平面PAD，且,平面，所以平面平面PAD，（面面平行的判定定理的应用） 与平面PBC与平面PAD有公共点P矛盾，故假设不成立，因此KE与BF不平行，同理可证KB与EF不平行，因此四边形EFBK的两组对边均不平行. 故选：D 跟踪训练2 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，作出截面，即可判断B，对的延长线与线段、（除点外）相交时截面为三角形 ，结合B即可判断A，利用特殊点判断C、D. 【详解】对于B：当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，延长交的延长线于点， 连接交于点，连接， 此时过点、、作正三棱柱的截面为四边形（当在线段（除端点外）时截面也为四边形），故B正确； 对于A：当的延长线与线段、（除点外）相交 （或点在线段、（除点外）上时）截面为三角形， 结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误； 对于C：取的中点，连接、，又为线段的中点， 所以，所以为等腰三角形，故C正确； 对于D：取的中点，连接、， 因为三棱柱为正三棱柱，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面， 所以，所以为直角三角形，故D正确； 故选：A 题型三 截面图形的周长或面积 ［例3］ （2026·广东湛江二模） 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据长度关系分析可知球面与表面没有公共点，且与表面，的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧，即可得结果. 【详解】因为正方体的棱长为，则表面上的点到点A的最大距离为， 所以以顶点A为球心，为半径的球的球面与这三个表面没有公共点． 如图，若球面与表面的公共点为P， 因为，则， 由，可得，同理可得，则， 可知P的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆与表面的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧， 同理可得球面与表面的交线也都是圆心角为，半径为2的圆弧， 所以交线总长为． 故选：B （2026·呼和浩特模拟） 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，由，证得，再由平面，证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示， 取的中点，分别连接， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以，， 因为，所以，所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证：， 又因为且平面，所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意确定所求截面为，从而得解. 跟踪训练3 （2026·广州调研） 【7题答案】 【答案】. 【解析】 【分析】根据线面平行的性质作出平面α与正方体的截面，计算截面梯形的各边长即可求出截面面积. 【详解】过作交于，过作的平行线，交于，连接， 则平面即为符合条件的平面， 由图可知分别为的中点， 故，，且， ∴等腰梯形的高为， ∴梯形的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了线面平行的性质，几何体中截面面积，属于中档题． 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，分别交于，作交于，设平面与交于点，根据线面平行判定定理证明四边形即为截面，结合条件判断截面形状，再求其面积. 【详解】由题意可知，点是的重心，过点作， 分别交于，作交于， 设平面与交于点， 由于平面平面，故平面， 因为，平面平面， 所以平面，即四边形即为截面， 由于平面，平面平面， 平面 故，同理， 故四边形为平行四边形， 设为的中点，连接， 则平面 故平面平面 故，而，故， 即平行四边形为矩形，即截面是矩形， 因为点是的重心，则， 故，所以， 故矩形的面积为，即截面的面积为2. 故选：B. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $