§4.8 正弦定理，余弦定理（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦正弦定理、余弦定理，整合教材改编题与2024-2026年模拟/真题，分层覆盖基础诊断与综合应用，适配一轮复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |自主诊断|7题|定理基本概念与简单计算|教材改编题夯实基础，判断/选择/填空结合| |解三角形|3题|正弦/余弦定理直接应用|融合2025年全国卷真题，中易难度梯度| |定理应用|5题|形状判断、面积计算、平面几何综合|2026年模拟题情境，多命题点综合训练|

4.8 正弦定理、余弦定理 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 在中，一定有．（ ） 2. 在中，若，则必有．（ ） 3. 在的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（ ） 4. 当时，为锐角三角形；当时，为直角三角形；当时，为钝角三角形．（ ） （人教A版必修第二册P44练习T1（2）改编） 5. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. 12 C. D. 28 （2026·海口质检） 6. 在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（ ） ① ②； ③； ④. A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 7. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则__________；的面积为__________． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 ［例1］ （2025·全国Ⅰ卷，11，6分，中） 8. 已知的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. （2025·全国Ⅱ卷，5，5分，易） 9. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 跟踪训练1 10. （多选）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 三角形的形状判断 ［例2］ （2026·西安模拟） 11. 在中,分别为角的对边),则的形状为 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 命题点2 三角形的面积 ［例3］ （2026·长沙调研） 12. 如图，在平面四边形中，． （1）若，求； （2）若，求四边形面积． 命题点3 与平面几何有关的问题 ［例4］ 13. 已知是斜边上一点，． （1）若，则________； （2）若，且，则的长为________． 跟踪训练2 （2026·重庆诊断） 14. （多选）在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，，，则必有两解 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 （2024·新课标全国Ⅰ） 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 4.8 正弦定理、余弦定理 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】利用正弦定理进行分析判断即可. 【详解】根据正弦定理，在中，设三角形外接圆半径为，有， 即， 只有当外接圆直径时，等式才成立，并非对任意三角形都成立， 故原命题错误. 【2题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】利用正弦函数性质分析即可. 【详解】根据正弦函数性质，若，则或， 在中，，由可得两种情况： ，即， ，整理得，也满足条件，此时； 例如时，， 满足但， 故原命题错误. 【3题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据当已知三个元素为三个内角时，三角形不确定即可判断. 【详解】当已知三个元素为三个内角时，三角形不确定，故错误. 故答案为：错误. 【4题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】由可知，所以为锐角，不知，无法判断是否为锐角三角形. 【详解】当时，则， 因为，所以为锐角，不知，无法判断是否为锐角三角形； 同理：当时，为直角三角形； 当时，为钝角三角形． 故答案为：错误. （人教A版必修第二册P44练习T1（2）改编） 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，，，由余弦定理，即，所以 故选：A 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题. （2026·海口质检） 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式、三角函数的图像与性质以及正弦定理，结合三角形图像进行处理. 【详解】对于①，因为，所以或，故①错误； 对于②，因为在上单调，所以角被唯一确定， 故②正确； 对于③，因为，，所以， 所以，所以，又，由正弦定理有 ，所以，所以角被唯一确定，故③正确； 对于④，因为， 所以，所以如图，不唯一，故④错误.故A，C，D错误. 故选：B. 【7题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用余弦定理及面积公式即可求解. 【详解】依题意由余弦定理得， 所以， 所以的面积为． 故答案为：1.；2.. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 ［例1］ （2025·全国Ⅰ卷，11，6分，中） 【8题答案】 【答案】ABC 【解析】 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC （2025·全国Ⅱ卷，5，5分，易） 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 跟踪训练1 【10题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式，将化简，求出的值，进而确定角，结合已知条件和余弦定理，建立方程求解边长和，最后利用正弦定理求出的值，逐一验证选项． 【详解】由，得， 因为在中，，得， 由余弦定理，得， 因为， 所以， 解得，所以． 由，得，则． 由正弦定理得． 故答案为：ABD． 题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 三角形的形状判断 ［例2］ （2026·西安模拟） 【11题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，故三角形为直角三角形，故选A. 命题点2 三角形的面积 ［例3］ （2026·长沙调研） 【12题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接后由余弦定理与两角和的正弦公式求解 （2）由余弦定理与面积公式求解 【小问1详解】 连接，在中，， 且，，所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 所以 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以四边形的面积为 命题点3 与平面几何有关的问题 ［例4］ 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理分别求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 又， 所以． 故答案为： （2）由，且知， 又，则， 所以中，， 在中，由余弦定理得 ， 所以． 故答案为：. 跟踪训练2 （2026·重庆诊断） 【14题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】逐一分析每个选项，利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换及三角形内角和性质进行判断． 【详解】对于A，由正弦定理可得， ，或，即或，为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，，即，必有两解，故B正确； 对于C，是锐角三角形，，，，即，，故C正确； 对于D，由题意及二倍角的余弦公式知，即，即，，即为锐角，但不能说明为锐角三角形，故D错误． 故选：BC． （2024·新课标全国Ⅰ） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $