§4.5 三角函数的图象与性质（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，通过自主诊断巩固基础，分题型讲练突破关键能力，融合教材改编与2025-2026年模拟题、全国卷真题，覆盖定义域、值域、周期性、对称性、单调性等核心知识点。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |自主诊断|7题|基础概念辨析|教材改编（湘教必修一），正误判断与简单填空| |定义域与值域|4题|定义域求解、值域最值|结合辅助角公式与换元法，2026合肥/天津模拟题| |周期性/对称性/奇偶性|6题|周期计算、对称中心/轴、奇偶性判断|多选与充要条件分析，2025全国Ⅰ卷及淄博/西安模拟题| |单调性|5题|单调区间、参数求解、实际应用|含2025全国Ⅱ卷真题，结合温度模型（2026重庆模拟）|

4.5 三角函数的图象与性质 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 函数，，，的五个关键点是零点和极值点．（ ） 2. 在第一、二象限内单调递减．（ ） 3. 函数图象对称中心是点（）（）．（ ） 4. 与都是周期函数．（ ） （2026·泰州调研） 5. 已知函数，则下列命题中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 图象的对称中心为 D. 的单调递增区间为 （湘教必修一P186T5（1）改编） 6. 函数，的单调递减区间是_________． 7. 函数，的值域是__________． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 三角函数的定义域和值域 ［例1］ 8. 函数 的定义域为________________． （2026·合肥质检） 9. 当时，函数的值域为________． 跟踪训练1 10. 函数（且）的值域为 A. B. C. D. （2026·天津部分区模拟） 11. 函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________. 题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 ［例2］ （2026·淄博模拟） 12. （多选）已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上有4个零点 （2026·西安模拟） 13. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 跟踪训练2 （2025·全国Ⅰ卷，4，5分，易） 14. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. （2026·黄山模拟） 15. （多选）已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 （2026·广州模拟） 16. 若函数为奇函数，则等于（ ） A. B. C. D. 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间 ［例3］ 17. 函数的单调递减区间为____________；在上的单调递减区间为____________． （2025·全国Ⅱ卷，15，13分，中） 18. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 命题点2 根据单调性求参数 ［例4］ （2026·广州模拟） 19. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 （2026·石家庄调研） 20. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 跟踪训练3 21. 下列区间中，函数单调递增的是（ ） A. B. C. D. （2026·重庆名校联盟第一次联合考试） 22. 某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（ ） A. ℃ B. ℃ C. ℃ D. ℃ （2026·齐齐哈尔模拟） 23. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是_______. 4.5 三角函数的图象与性质 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】利用正弦函数和余弦函数图象及零点和极值点的概念即可判断. 【详解】五个关键点是点的坐标，而零点和极值点不是点的坐标，是点的横坐标的数值， 所以不是同一概念， 故原命题错误. 【2题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】略 【详解】函数的单调性是指在某个区间上的性质，不能说函数在某象限内单调， 故余弦函数在第一、二象限单调递减说法错误， 故答案为：错误 【3题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】利用正切函数图象即可判断. 【详解】由正切函数图象可知，对称中心为，（）. 故原命题正确. 【4题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】对于可作图分析，对于可根据定义判断周期性. 【详解】 图象如上，可知不是周期函数， ，， 可知是周期函数. 故答案为：错误 （2026·泰州调研） 【5题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可． 【详解】由题知，函数， 对于A，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，的定义域满足，即 所以的定义域为，故B错误； 对于C，图象的对称中心应满足，即 所以图象的对称中心为，故C正确； 对于D，的单调递增区间应满足，即， 所以的单调递增区间为，故D正确； 故选：ACD （湘教必修一P186T5（1）改编） 【6题答案】 【答案】（） 【解析】 【分析】由条件利用正弦函数的单调性，结合整体思想求得的单调递减区间即可. 【详解】由，，解得，， 故的单调递减区间是（）． 故答案为：（）． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由余弦函数可得最值即可得答案. 【详解】由得， 所以的值域为． 故答案为：． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 三角函数的定义域和值域 ［例1］ 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】函数有意义，等价于 ，利用辅助角公式将其化成 ，借助于正弦函数的图象即可求得. 【详解】函数有意义，即 ， 因 ， 故不等式等价于，即 ， 由正弦函数的图象可知，，即 故原函数的定义域为. 故答案为： （2026·合肥质检） 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，化简，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，可得， 又由， 当，取得最小值； 当或，取得最大值， 即函数值域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，属于基础题. 跟踪训练1 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：且，且， 由于正切函数的图象及单调性，得： 或， 即 故选B． 考点：正切函数的图象． （2026·天津部分区模拟） 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】 用换元法，设t＝sinx－cosx，则sinxcosx＝，且，问题转化为求二次函数在某个区间上的值域． 【详解】设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝， ，∴. ∴y＝－＋t＋＝－ (t－1)2＋1，t∈[－，]. 当t＝1时，ymax＝1； 当t＝－时，ymin＝. ∴函数的值域为. 【点睛】本题考查求三角函数的值域，解题方法是换元法，在出现与的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围． 题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 ［例2］ （2026·淄博模拟） 【12题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项判断即得. 【详解】，的最小正周期，A正确； ，函数的图象关于点对称，B错误； 又，函数的图象关于直线对称，C正确； 令得，，，，， 又，，，在内有个零点，D错误． 故选：. （2026·西安模拟） 【13题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及三角函数的奇偶性结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，可得， 若为偶数，则为奇函数； 若为奇数，则为奇函数； 即充分性成立； 若为奇函数，则，即必要性成立； 综上所述：“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 跟踪训练2 （2025·全国Ⅰ卷，4，5分，易） 【14题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B （2026·黄山模拟） 【15题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数性质逐一判断即可. 【详解】， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则， 所以，解得，所以，故A正确； 显然，函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C选项，， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D选项，， 所以函数的图象不关于直线对称，故D错误. 故选：. （2026·广州模拟） 【16题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，分两种情况讨论：在函数定义域内和不在定义域内，从而确定的取值． 【详解】解：函数为奇函数，其图象必关于原点对称 对于函数，其图象关于原点对称有两种情况： ① 原点是函数图象的一个对称中心 函数的对称中心为，故 令得 ② 轴是函数图象的一条渐近线 函数的渐近线为，故 令得 综上， 故选：C． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间 ［例3］ 【17题答案】 【答案】17. ， 18. 和 【解析】 【分析】本题关键在于： 先利用诱导公式将其转化为标准的正弦型函数形式，再结合正弦函数的单调递增区间，列出关于的不等式，最后通过解不等式得到原函数的单调递减区间即可. 【详解】由，可知其单调递减区间等价于函数的单调递增区间 由，，得，． 故所求函数的单调递减区间为，． 令，，，， 在上的单调递减区间为和． 故答案为：1.， ； 2.和.　 （2025·全国Ⅱ卷，15，13分，中） 【18题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 命题点2 根据单调性求参数 ［例4］ （2026·广州模拟） 【19题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】化简，由题意求得和，两式相减，得到，进而求得的值. 【详解】由函数， 因为，所以， 又因为在区间上是减函数， 所以，， 两式相减，可得，因为，所以. 故选：C. （2026·石家庄调研） 【20题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得,， ， ，．故A正确． 考点：三角函数单调性． 视频 跟踪训练3 【21题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】令，求出的单增区间，判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】当时，，函数单调递减，故A不满足题意； 当时，，函数单调递增，故B满足题意； 当时，，函数在上不单调，故C不满足题意； 当时，，函数在上不单调，故D不满足题意． 故选：. （2026·重庆名校联盟第一次联合考试） 【22题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，可求得，进而根据已知可得，，可求得解析式，进而可求得时的函数值，可得结论. 【详解】由题意可知，直线是曲线的一条对称轴， 所以，，即，.又， 即，所以. 因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以①. 又当时，，所以，所以②. 由①②解得，， 所以，则当时，℃. 故选：A. （2026·齐齐哈尔模拟） 【23题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得，即， 因为在上是增函数，则， 所以函数的增区间包含， 令，得， 所以，所以故的取值范围为. 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $