§4.4 简单的三角恒等变换（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换，整合教材基础与真题变式，分层训练化简、求值及综合应用能力，适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |自主诊断|7题|二倍角、半角公式等基础|教材改编题夯实基础，判断题辨析公式适用范围| |三角函数式化简|4题|公式变形与化简技巧|结合角的范围分析，例练结合提升运算能力| |三角函数式求值|8题|给角、给值、给值求角|融入黄金分割文化情境，选用全国卷及各地模拟真题| |综合应用|2题|多公式综合与值域问题|梯度设计，从基础计算到复杂逻辑推理|

§4.4 简单的三角恒等变换 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．（ ） 2. 存在实数，使.（ ） 3. 半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．（ ） 4. ，．（ ） （人教A版必修第一册 P223练习 T5 改编） 5. （多选）下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. （人教A版必修第一册 P226练习 T1 改编） 6. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则__________． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 三角函数式的化简 ［例1］ （2026·亳州质检） 8. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 9. 化简：__________________． 跟踪训练1 （2026·石家庄质检） 10. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 若，化简的结果是______. 题型二 三角函数式的求值 命题点1 给角求值 ［例2］ （2026·兰州调研） 12. 计算（ ） A. 2 B. C. D. （2026·宜昌模拟） 13. 古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，则______． 命题点2 给值求值 ［例3］ （2026·石家庄模拟） 14. 已知，则（ ） A. B. C. D. （2025·全国Ⅱ卷，8，5分，易） 15. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 命题点3 给值求角 ［例4］ 16. 已知 ，，且，为锐角，则______. 跟踪训练2 （2026·福州调研） 17. 已知，，则__________. 18. 已知锐角，，则__________． 题型三 三角恒等变换的综合应用 ［例5］ （2025·湖北重点高中联考） 19. 已知 （1）求的值； （2）若锐角满足，求的值. 跟踪训练3 20. 已知，则的值域为________． §4.4 简单的三角恒等变换 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】错误 【解析】 【详解】当时，无意义，所以二倍角正切公式不适用所有角，错误. 故答案为：错误 【2题答案】 【答案】正确 【解析】 分析】当时，. 【详解】当时，， 所以存在实数，使. 故答案为：正确. 【3题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】将倍角公式中的角换做，化简变形即可判断. 【详解】由倍角的余弦公式知. 将替换上式中的可得：， 所以， 故答案为：正确. 【4题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，分别对两个等式进行验证，判断其是否成立． 【详解】解：根据二倍角公式， ，可得 同时，由 ，令 ，得 因此，原式成立， 故答案为：正确． （人教A版必修第一册 P223练习 T5 改编） 【5题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了三角恒等变换中的二倍角公式，掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式是解题的关键． 利用二倍角公式逐一化简各选项，判断其值是否为． 【详解】解：对于A，，不符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，符合题意． 故选：BD． （人教A版必修第一册 P226练习 T1 改编） 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：正切值的符号. 【详解】方法一：∵，， ∴. 方法二：∵，， ∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即， ∴ 故选：C 【7题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正切的二倍角公式，以及根据角的象限判断三角函数的符号，掌握利用二倍角公式建立方程并结合象限条件取舍解的方法是解题的关键． 利用正切的二倍角公式，代入已知条件得到关于的方程，再根据所在象限确定的符号，从而舍去不合理解． 【详解】解：由，得， 解得或（舍去）． 故答案为：2． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 三角函数式的化简 ［例1］ （2026·亳州质检） 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和正切公式及条件求得，然后化切为弦，结合两角差的余弦公式求得，从而利用两角和余弦公式得，从而利用二倍角公式可求解. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 由，得， 故， 所以. 故选：C. 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式，逐步化简分子和分母，最终将表达式转化为更简洁的形式． 【详解】解： ． 故答案为：． 跟踪训练1 （2026·石家庄质检） 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用倍角公式和诱导公式求解即可. 【详解】 故选：B． 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦的倍角公式，即可求得，得到答案. 【详解】由题意，因为，则，所以，， 根据余弦的倍角公式，可得. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，其中解答中熟练应用余弦的倍角公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 题型二 三角函数式的求值 命题点1 给角求值 ［例2］ （2026·兰州调研） 【12题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式可得，分子、分母同乘，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为 . 故选：D. （2026·宜昌模拟） 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】已知，由，得，再利用三角恒等变换逐步化简表达式． 【详解】解： ． 故答案为： ． 命题点2 给值求值 ［例3］ （2026·石家庄模拟） 【14题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. （2025·全国Ⅱ卷，8，5分，易） 【15题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 命题点3 给值求角 ［例4］ 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合同角三角函数基本关系求得、的值，再由二倍角公式求得、的值，计算的值结合的范围即可求解. 【详解】因为，且为锐角，所以， 因为，为锐角，所以， 那么， ， 所以， 因为，，所以．而， 所以， 所以，故， 故答案为：. 跟踪训练2 （2026·福州调研） 【17题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合两角和与差的余弦公式展开求解即可. 【详解】. 由得， ， 原式. 故答案为： 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范围即可得解. 【详解】因为 ， 所以， 又因为为锐角， 所以. 故答案为： 题型三 三角恒等变换的综合应用 ［例5］ （2025·湖北重点高中联考） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换以及三角函数的诱导公式进行化简，然后代入求值. （2）根据，可求出，然后利用，代入求值. 【小问1详解】 接由题意得： 故 【小问2详解】 ， 又 . 跟踪训练3 【20题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式展开，再通过降幂公式和辅助角公式，将函数化简为单一三角函数的形式，最后根据三角函数的性质求值域． 【详解】因为 ， 所以． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $