§3.5 指对同构问题（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦指对同构问题，通过3类分层题型（双变量同构、方法理解、综合应用）及9道模拟题（含河北名校联考、宜春模拟等），强化函数构造与逻辑推理能力，适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |双变量地位同等同构|2题|指对同构变形、函数单调性|结合恒成立问题，训练双变量转化能力| |指对同构法的理解|3题|构造函数、指对恒等式|多选形式深化方法本质，适配概念辨析| |同构法的应用|4题|导数应用、不等式恒成立|整合模拟题（兖州诊断等），突出综合解题能力|

3.5 指对同构问题 题型一 双变量地位同等同构 ［例1］ 1. 若对都有成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 2e 跟踪训练1 （2025·河北名校联考） 2. （多选）已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 题型二 指对同构法的理解 ［例2］ 3. （多选）若（，为变量）成立，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. （多选）对不等式进行指对同构时，可以构造的函数是（ ） A. B. C. D. 跟踪训练2 （2026·宜春模拟） 5. 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，）可化为同构方程，则的值为________． 题型三 同构法的应用 ［例3］ （2026·兖州诊断） 6. 对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是__________. （2026·衡阳模拟） 7. 已知m是方程的一个根，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 跟踪训练3 （2026·威海模拟） 8. 若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知e为自然对数的底数，，均为大于1的实数，若，则（ ） A. B. C. D. 3.5 指对同构问题 题型一 双变量地位同等同构 ［例1］ 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】将原不等式变形为，令， 利用导数研究函数的单调性，结合即可求解. 【详解】由，得， 则，即， 有，令， 所以，令， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为2. 故选：B. 跟踪训练1 （2025·河北名校联考） 【2题答案】 【答案】CD 【解析】 【分析】本题核心利用函数单调性与构造函数法，将不等式转化为函数值大小比较，逐一构造验证即可. 【详解】由，得． 对于A，设且，则， 故，， 即在上存在零点且在上单调递增， 所以在上不单调， 则不一定成立，A错误； 对于B，设且，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故上不单调，则不一定成立，B错误； 对于C，设且，则， 即在上单调递增，所以，即，C正确； 对于D，设且，则， 即在上单调递增，所以， 即，D正确． 故选：. 题型二 指对同构法的理解 ［例2］ 【3题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】已知不等式 ，我们可以通过构造函数来分析其单调性，进而判断选项即可． 【详解】方法一 ：由， 可得， 令，则， 因为在上是增函数，所以，即． 方法二： 由，可得， 令，则， 因为在上是增函数，所以，即． 故选：． 【4题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了指对同构思想，函数构造的方法，掌握利用指对恒等式对不等式进行变形并匹配函数结构的技巧是解题的关键． 利用指对恒等式对不等式变形，通过观察结构匹配选项中的函数，判断能否构造出的形式． 【详解】解：由恒等式可得， 所以可变形为， 构造函数，可得． 同理，由恒等式可得， 所以可变形为， 构造函数，可得． 故选：AC． 跟踪训练2 （2026·宜春模拟） 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题关键在于： 1.核心思想：本题的关键在于 “同构”，通过代数变形，将两个看似无关的方程转化为同一个函数的形式； 2.解题关键：利用函数的单调性，由函数值相等推导出自变量相等，从而建立起 之间的桥梁，从而解决. 【详解】对两边取自然对数，得，即，① 对两边取自然对数，得， 即，② 因为方程①②为两个同构方程，所以，解得， 设且，则， 所以在上单调递增，故的解只有一个， 所以， 则． 故答案为：. 题型三 同构法的应用 ［例3］ （2026·兖州诊断） 【6题答案】 【答案】 【解析】 【分析】不等式恒成立等价于即，由于为增函数，由得，即恒成立，令，此题转化为求. 【详解】不等式恒成立等价于即， 即， 由于为增函数， 所以由，得，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减 易得， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. （2026·衡阳模拟） 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】设，同构得到，结合函数单调性得到，结合m是方程的一个根，故，解得，从而求出答案. 【详解】， 设，则恒成立，故单调递增， 由得，即. 因为m是方程的一个根，所以， 所以，所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解. 跟踪训练3 （2026·威海模拟） 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到，再利用基本不等式进行求解即可． 【详解】解：设，则对一切正实数恒成立，即， 由，令，则恒成立， 所以在上为增函数， 当时，，当时，， 则在上，存在使得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在，上单调递增， 所以函数在处取得最小值为， 因为，即， 所以恒成立，即， 又，当且仅当，即时取等号， 故，所以． 故选：C． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 【9题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题的关键在于构造函数 ，通过对不等式的变形，将其转化为函数值的比较，再利用函数的单调性得到变量之间的关系即可解决. 【详解】由，可得， 不等式两边同时除以，可得，即， 设，可得， 因为，可得， 又因为，，所以，即，所以， 易知当时，， 可得函数在上单调递增， 所以，即. 故选：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $