分级练(38)　等差数列（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(38)　等差数列 分级一　提能强化 1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝(　　) A．90 B．100 C．120 D．200 B　解析：S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a2＋a7)＝4×25＝100. 2．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2a5，则＝(　　) A. B．－1 C．1 D． C　解析：在等差数列{an}中，2a5＝a4＋a6，a4＝2a5，故a6＝0.又2a6＝a5＋a7，故a7＝－a5，则S7＝S4＋a5＋a6＋a7＝S4，故＝1. 3．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日……按此记载，该女子第11日到第20日这10日共织布(　　) A．30尺 B．40尺 C．6尺 D．60尺 A　解析：由题意知该女子织布数成等差数列，设第n日织布an尺，有a1＝5，a30＝1，所以a11＋a12＋…＋a20＝10×＝5(a1＋a30)＝30. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝67，则a3a10是{an}中的(　　) A．第30项 B．第36项 C．第48项 D．第60项 A　解析：设等差数列的公差为d，则a5＝a1＋4d＝5，a1＋S11＝12a1＋d＝12a1＋55d＝67，解得a1＝1，d＝1，所以an＝n，于是a3a10＝3×10＝30＝a30，故a3a10是{an}中的第30项． 5．已知公差不为0的等差数列{an}满足a＋a＝a＋a，则(　　) A．a6＝0 B．a7＝0 C．S12＝0 D．S13＝0 C　解析：设等差数列的公差为d.由a＋a＝a＋a，得a－a＋a－a＝0，∴2d(a7＋a5)＋2d(a8＋a6)＝0.又d≠0，a8＋a5＝a6＋a7，∴a6＋a7＝0，∴S12＝＝＝0. 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a7＋a9＝6，则S13＝________． 答案：26　解析：由已知得a5＋a7＋a9＝3a7＝6，所以a7＝2，则S13＝＝13a7＝26. 7．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 答案：2　解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，即d＝2. 8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和．若S12<0，a5＋a7＞0，则当Sn取最大值时，n的值为__________． 答案：6　解析：因为S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)<0，所以a6＋a7<0.又a5＋a7＝2a6>0，所以a6>0，所以a7<0，则(Sn)max＝S6. 9．数列{an}满足a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1. (1)求a2，a3； (2)证明{}是等差数列，并求{an}的通项公式． (1)解：由a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1，得4a2＋1＝3＋a2，即a2＝，则由4a2a3＋1＝3a2＋a3，得a3＝. (2)证明：∵4anan＋1＋1＝3an＋an＋1， ∴an＋1＝， ∴－＝－＝－＝－＝2. 又＝＝1， ∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴＝2n－1，解得an＝. 10．设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，n∈N*，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，即a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d. 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n. (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3，即＝＋， ∴6(－)＝＝，即a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d. ∵d>1，∴an>0. 又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， ∴a50－＝1，即a－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去). 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，舍去； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝. 综上，d＝. 分级二　知能探究 11．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝100，则其前9项和等于(　　) A．150 B．180 C．300 D．360 B　解析：因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以{an}是等差数列，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝100，所以a5＝20，所以其前9项和S9＝＝＝9a5＝180. 12．(多选)首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn.现有下列4个命题，其中是真命题的有(　　) A．若S10＝0，则S2＋S8＝0 B．若S4＝S12，则使Sn>0成立的n的最大值为15 C．若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大 D．若S7<S8，则S8>S9 BC　解析：对于A，若S10＝10a1＋d＝0，则2a1＋9d＝0，那么S2＋S8＝(2a1＋d)＋(8a1＋28d)＝10a1＋29d＝－16d≠0，故A不正确．对于B，若S4＝S12，则a5＋a6＋…＋a11＋a12＝4(a8＋a9)＝0.又因为a1>0，所以前8项为正数，从第9项开始为负数．因为S16＝＝8(a8＋a9)＝0，所以使Sn>0成立的n的最大值为15，故B正确．对于C，若S15＝＝15a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，则a8>0，a9<0，则{Sn}中S8最大，故C正确．对于D，若S7<S8，则a8>0，而S9－S8＝a9，不能判断a9正负情况．故D不正确． 13．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，a1＝2，则{bn}的公差为________． 答案：8　解析：∵＝，∴Sn＝kn(3n－2)，Tn＝kn(2n＋1)，k≠0.又2＝a1＝S1＝k×1×(3×1－2)，∴k＝2，∴Tn＝2n(2n＋1)＝4n2＋2n，∴T1＝4＋2＝6＝b1，T2＝16＋4＝20＝b1＋b2＝6＋b2，∴b2＝14，∴b2－b1＝14－6＝8，即{bn}的公差为8. 14．设数列{an}的前n项和为Sn，请写出一个同时满足下列条件①②的等差数列{an}的通项公式：an＝________． ①Sn存在最小值且最小值不等于a1；②不存在正整数k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1<Sk＋2. 答案：2n－6(答案不唯一)　解析：若a2<0，则满足①，又由不存在正整数k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1<Sk＋2，则可得Sn连续两项取得最小值，即存在n使得an＝0，则可得{an}的通项公式可以是an＝2n－6. 分级三　素能创新 15．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． (1)证明：由＋n＝2an＋1， 得2Sn＋n2＝2ann＋n.① 所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1).② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知数列{an}的公差为1. 由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝＝(n－)2－， 所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 学科网（北京）股份有限公司 $$