§3.3 导数与函数的极值，最值（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 高中数学一轮复习导数与函数极值、最值专题题集，整合教材改编题与2025-2026年真题模拟题，覆盖基础诊断与关键能力突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |自主诊断|7题|极值概念判断、图象分析、最值基础|教材改编，回归基础| |极值问题|5题|极值判断、求解、参数问题|结合图象与分类讨论，真题改编| |最值问题|4题|不含参/含参函数最值、值域|综合应用，梯度设计| |跟踪训练|2题|极值参数、最值存在性|模拟题拓展，强化应用|

3.3 导数与函数的极值、最值 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 函数的极值可能不止一个，也可能没有．（ ） 2. 函数的极小值一定小于它的极大值（ ） 3. 函数的极小值一定是函数的最小值．（ ） 4. 函数的极大值一定不是函数的最小值．（ ） （人教B选修三P100练习AT1改编） 5. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数的极小值点为______，极大值为______． （人教A版选择性必修第二册P93例6改编） 7. 若函数在上的最大值为4，则__________. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 利用导数求解函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值 ［例1］ （2026·淄博模拟） 8. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数有极大值和 B. 函数有极小值和 C. 函数有极小值和极大值 D. 函数有极小值和极大值 命题点2 求已知函数的极值 ［例2］ （2026·沈阳模拟） 9. 已知函数，讨论的极值． 命题点3 已知极值（点）求参数 ［例3］ （2025·全国Ⅱ卷，13，5分，易） 10. 若是函数的极值点，则___________ 11. 已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为________． 跟踪训练1 12. 已知函数在处取得极小值1，则（ ） A. B. C. D. （2026·长沙调研） 13. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______. 题型二 利用导数求函数的最值 命题点1 不含参函数的最值 ［例4］ （2026·宁波调研） 14. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. （2025·全国Ⅰ卷，19，17分，难） 15. （1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 命题点2 含参函数的最值 ［例5］ （2026·德州调研） 16. 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． （1）当a＝－1时，求f(x)的最大值； （2）若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值． 跟踪训练2 17. 已知函数，则的最大值为_______． （2025·福建名校联考） 18. 已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.3 导数与函数的极值、最值 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】从极值的定义出发，通过具体函数例子来验证命题的正确性． 【详解】函数的极值是指在某点附近函数值比左右两侧都大（极大值）或都小（极小值） 一个函数可以有多个极值点，例如三次函数，它有一个极大值和一个极小值 函数也可能没有极值，例如一次函数，它在整个定义域内单调递增，不存在极值点 因此，“函数的极值可能不止一个，也可能没有”这一说法是正确的． 故答案为：正确． 【2题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据函数的极值定义即可判断. 【详解】函数的极值只是函数在某区间上的极值，不同区间上，函数的极值可能不同， 所以完全可能出现函数的极小值大于或等于它的极大值，故该结论是错误的. 故答案为：错误 【3题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据极值的定义可判断结果. 【详解】函数的极值是它与附近的函数值比较，是一个局部概念， 所以函数的极小值不一定是函数的最小值. 故答案为：错误. 【4题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】本题考查函数的极大值和最小值的概念，极大值是局部概念，而最小值是全局概念。在某些特殊函数中，一个函数的极大值可能等于其最小值，可通过举反例来判断． 详解】由题举出反例： 例如函数 ，其极大值同时也是最小值． 故原命题错误． （人教B选修三P100练习AT1改编） 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可. 【详解】由导函数f′(x)的图象知 在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值； 在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值； 在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值； 所以f(x)的极小值点的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题. 【6题答案】 【答案】 ①. ②. 18 【解析】 【分析】求导，即可得函数的单调性，结合极值点的定义即可求解. 【详解】由得， 令，解得或， 令，解得， 故在和上单调递增，在单调递减， 故在处取极小值，在处取极大值， 故，， 故答案为：，18， （人教A版选择性必修第二册P93例6改编） 【7题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】先利用导函数求得在上单调递减，在上单调递增，可得，可求得. 【详解】由题， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又. 因为，所以在上，，所以. 故答案为：. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 利用导数求解函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值 ［例1］ （2026·淄博模拟） 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可得解. 【详解】解：由图可知，当时，，当， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数有极小值和极大值. 故选：D. 命题点2 求已知函数的极值 ［例2］ （2026·沈阳模拟） 【9题答案】 【答案】的极大值为，无极小值 【解析】 【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，掌握通过导数符号判断函数单调性进而确定极值的方法是解题的关键． 先求导并因式分解，根据的条件确定导数的正负区间，判断函数单调性，进而求出极值． 【详解】解：函数的定义域为， 求导得， 因为，则当时，， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，无极小值． 命题点3 已知极值（点）求参数 ［例3］ （2025·全国Ⅱ卷，13，5分，易） 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数求极大值，再利用极大值不小于1列不等式组即可求解. 【详解】由已知可得，函数的定义域为． ①当时，在内恒成立， 所以在内单调递增，此时函数无极值． ②当时，，由可得． 当时，，所以在内单调递增； 当时，，所以在内单调递减， 于是函数在处取得极大值． 由已知，，即，， 因为函数在内单调递增，所以，即，又， 所以，于是的取值范围为． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 跟踪训练1 【12题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值定义进行求解即可. 【详解】由， 因为在处取得极小值1， 所以有， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以是函数的极小值点，故满足题意， 于是有. 故选：C （2026·长沙调研） 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】求函数导函数，由已知可得有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围. 【详解】函数的定义域为，导函数， 由已知有两个不相等的正实数根， 所以有两个不相等正实数根， 令，则， 由，得. 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 又，， 当时，，当时，， 当时，， 由以上信息可得，函数的图象大致如下： 所以a的取值范围是. 故答案为：. 题型二 利用导数求函数的最值 命题点1 不含参函数的最值 ［例4］ （2026·宁波调研） 【14题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域. 【详解】由题意得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，故， 因为，所以． 故所求的值域为． 故选：A （2025·全国Ⅰ卷，19，17分，难） 【15题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 命题点2 含参函数的最值 ［例5］ （2026·德州调研） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值； （2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， 当时，， 则， 当时，，当时，， 所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数， 所以， 所以当时，求的最大值为； 【小问2详解】 解：函数， 则，，， ①若，则，所以在上单调递增， 故，不符合题意； ②若， 当时，，当时，， 所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数， 则， 令，可得， 解得， 因为， 所以符合题意， 综上所述. 跟踪训练2 【17题答案】 【答案】 【解析】 【分析】求导得出函数在上的单调性，即可求得的最大值为. 【详解】由可得， 令可得， 又，所以， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增； 易知； 因此的最大值为. 故答案为： （2025·福建名校联考） 【18题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得． 当时，得或，当时，， 可得函数的单调增区间为，．减区间为， 即时，函数取得极小值， 当时，即， 解得或， 故要使函数区间上存在最小值， 需有，解得， 即实数a的取值范围为 故选：A． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $