§2.9 对数函数（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦对数函数核心知识，整合教材改编与2025-2026年模拟题，分层设计基础诊断与能力突破题，适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |判断题|4题|概念、定义域、单调性|教材改编（苏教必修一）| |选择题|11题（含多选）|图象对称性、反函数、大小比较、不等式|关联全国卷及衡水、深圳等联考真题| |填空题|4题|单调区间、性质综合应用|分层设计基础巩固与能力提升|

2.9 对数函数 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 函数（且）是对数函数．（ ） 2. 函数与的定义域相同．（ ） 3. 当时，若，则．（ ） 4. 函数与的图象关于轴对称．（ ） （苏教必修一P158T6改编） 5. 若函数的定义域是，则函数值域为（ ） A. B. C. D. （2025·衡水联考） 6. 已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. （2026·哈尔滨质检） 7. 若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 对数函数的概念与图象 ［例1］ 8. （多选）下列选项正确的是（ ） A. 若函数是对数函数，则或 B. 函数的定义域为 C. 函数（，且）的图象过定点 D. 的单调递增区间是 （2026·深圳模拟） 9. 已知，且，则函数图象一定经过（ ） A. 一、二象限 B. 一、三象限 C. 二、四象限 D. 三、四象限 跟踪训练1 10. （多选）函数（且），下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在其定义域上是减函数 B. 的反函数为 C. 当且时， D. 若点在的图象上，则 （2026·柳州质测） 11. 已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ） A. B. C. D. 题型二 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数式的大小 ［例2］ （2025·全国Ⅰ卷，8，5分，中） 12. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. （2025·黑龙江龙东联盟联考） 13. 已知，则a，b满足（ ） A. B. C. D. 命题点2 解简单的对数方程或不等式 ［例3］ （2026·济南模拟） 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增．若正实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2026·中山模拟） 15. 设实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 命题点3 对数函数性质的综合应用 ［例4］ （2026·泉州模拟） 16. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为1 B. ， C. D. （2026·岳阳模拟） 17. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 在区间上为增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 跟踪训练2 （2026·衡阳质检） 18. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. （2026·辽宁教研联盟模拟） 19. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的函数图象关于y轴对称 C. 的函数图象关于原点对称 D. 在上单调递增 2.9 对数函数 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】本题关键在于：利用对数函数的定义进行判断即可. 【详解】对进行变形：， 可以看到，该函数是由常数与对数函数相加得到的，并非单纯的形式。 因此，不符合对数函数的定义，不是对数函数. 故原命题是错误的. 【2题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】由对数函数的真数大于0，分别求出两个函数定义域，得出结论. 【详解】定义域，即，解得， 定义域，解得， 所以两个函数定义域相同. 故答案为：正确. 【3题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】特殊值法判断即可. 【详解】当时，，但是. 故答案为：错误. 【4题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】要判断函数 与 的图象是否关于轴对称，关键在于利用对数的换底公式，分析两个函数之间的关系即可. 【详解】根据对数换底公式： 因此，对于定义域内的任意，都有： 这意味着，对于同一个值，函数函数值，恰好是函数值的相反数。 在平面直角坐标系中，若点在的图象上， 则点 一定在的图象上， 而点与点关于轴对称， 因此两个函数的图象关于轴对称. 所以，该命题是正确的. （苏教必修一P158T6改编） 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据的单调性求得正确答案. 【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增， ， 即. 故选：A （2025·衡水联考） 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由（且，且），得，从而得到与互为反函数，根据互为反函数的性质即可得到结果． 【详解】∵（且，且）， ∴，∴， ∴，函数与函数互为反函数， ∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性. 故选：B． （2026·哈尔滨质检） 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由指对数的关系易知定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间. 【详解】因为与互为反函数， 所以在定义域上为增函数， 又，在上递减，上递增， 综上，在上为减函数. 故答案为：. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 对数函数的概念与图象 ［例1］ 【8题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】本题关键在于： 1.对数函数 的定义要求底数，真数； 2.复合函数单调性遵循 “同增异减” 原则，且单调区间必须在定义域内讨论. 【详解】对于A， 解得，A错误； 对于B，解得且，B正确； 对于C，令，解得，则，C正确； 对于D，，可知当时，单调递增， 结合复合函数的单调性可知的单调递增区间为，D错误． 故选：. （2026·深圳模拟） 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 跟踪训练1 【10题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查对数函数的单调性、反函数、函数值符号及函数图象上的点与解析式的关系，属于对数函数的基础综合题，解题关键在于熟练掌握对数函数的核心性质，逐一分析即可. 【详解】对于A，当时，在其定义域上是减函数，故A正确； 由底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，易知B正确； 对于C，当时，在其定义域上是减函数， 所以当时，，故C错误； 对于D，因为点在的图象上，所以，则， 所以，则，故D正确． 故选：. （2026·柳州质测） 【11题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小． 由图易得，；取特殊点， ，．选A． 视频 题型二 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数式的大小 ［例2］ （2025·全国Ⅰ卷，8，5分，中） 【12题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． （2025·黑龙江龙东联盟联考） 【13题答案】 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，由对数定义可得a； B选项，由对数定义可得a，b，后比较与2的大小可判断选项正误； C选项，由对数定义及对数运算性质可判断选项正误； D选项，由C结合基本不等式可判断选项正误. 【详解】A选项，由得，，故A正确; B选项，由得，，故B错误; C 选项，，故C错误; D选项，由基本不等式得:，故D正确. 故选：AD 命题点2 解简单的对数方程或不等式 ［例3］ （2026·济南模拟） 【14题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查偶函数的性质与抽象函数的单调性综合应用，核心解题思路是利用偶函数将不同区间的自变量转化到同一单调区间，再结合单调性脱去函数符号 “”，进而解对数不等式即可. 【详解】因为，又是定义在上的偶函数， 所以， 原不等式变为，即， 又因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：． （2026·中山模拟） 【15题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由，可得或，再利用充分条件、必要条件的定义即得. 【详解】由，可得所以； 由，可得， ∴或， ∴或； 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 命题点3 对数函数性质的综合应用 ［例4］ （2026·泉州模拟） 【16题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD. 【详解】，当且仅当时，取得最小值1，A正确． 因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误． 因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确． 因为，所以，所以，D正确． 故选：ACD （2026·岳阳模拟） 【17题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】A.通过化简计算可得的最大值；B：利用复合函数的单调性规则来判断；C：通过计算是否恒成立来判断；D：通过计算是否恒成立来判断. 【详解】函数 当时，取到最大值4， 故此时取到最大值 ，A错误； 可以看作是由函数复合而成， 而是定义域上的增函数，在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上为增函数，在上为减函数，故B正确； 因为函数，故的图象关于直线对称，C正确； 因为不恒成立,故的图象不关于点对称，D错误. 故选：BC. 跟踪训练2 （2026·衡阳质检） 【18题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可得，即可得出，则；又，即可得出. 【详解】， 所以，所以. ，所以. 所以有. 故选：C. （2026·辽宁教研联盟模拟） 【19题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即可判断D 【详解】因为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 因为，即为奇函数， 所以的图像关于原点对称，故B错误，C正确； 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $