§2.7 指数运算与对数运算（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦指数与对数运算，融合教材改编与模拟真题，通过基础诊断、题型讲练及应用拓展，实现从概念巩固到实际问题解决的能力进阶。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |自主诊断|7|指数对数概念辨析|回归教材，夯实基础| |指数运算|3|指数幂运算性质|多选与化简结合，强化运算规则| |对数运算|4|对数运算法则与换底公式|结合模拟题，注重性质应用| |指对运算应用|4|实际问题中的指对模型|融入科技（电动汽车、区块链）与生活情境（水果新鲜度），体现应用价值|

2.7 指数运算与对数运算 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. ．（ ） 2. 分数指数幂可以理解为个a相乘．（ ） 3. .（ ） 4. 若，则．（ ） （人教A必修一P127T5改编） 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 7. 计算：__________． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 指数运算 ［例1］ 8. （多选）下列各式正确的是（式中字母均是正数）（ ） A. B. C. D. 9. [多选]下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则． 跟踪训练1 10. 化简： （1）； （2）． 题型二 对数运算 ［例2］ （2026·丹东模拟） 11. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 1 （2026·焦作模拟） 12. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 跟踪训练2 （2026·杭州质检） 13. 已知，若且，则a＝（ ） A. B. C. D. （2025·八省联考） 14. 已知函数，若，则____________． 题型三 指对运算的应用 ［例3］ （2026·青岛检测） 15. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ） A. 25天 B. 30天 C. 35天 D. 40天 （2026·贵阳模拟） 16. 电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的放电时间（单位：h）和放电电流（单位：A）之间满足经验关系式（为表征电池特性的常数），其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数）.对于同一蓄电池，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 跟踪训练3 （2026·张家口、保定模拟） 17. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. （2026·恩施模拟） 18. 区块链作为一种革新技术，已经被应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定为比特，则密码一共有种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行次运算，现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（ ）参考数据：， A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 2.7 指数运算与对数运算 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据根式的运算求解即可. 【详解】． 故答案为：错误 【2题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据分数指数幂的含义即可得结论. 【详解】由分数指数幂的意义可知，分数指数幂不可以理解为个a相乘， 故答案：错误 【3题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据指数的运算性质即可得到答案. 【详解】. 故答案为：错误. 【4题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】利用特值法判断即可. 【详解】若，可取，此时无意义，题中等式不成立， 故答案为：错误. （人教A必修一P127T5改编） 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用换底公式可得，然后运用对数运算法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】把指数式化为对数式，根据对数运算性质进一步化简即可. 【详解】由，得， ，， . 故选:C. 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题关键在于： 1.指数运算关键：牢记 “负指数取倒数，分数指数根式互化”，带分数需先化为假分数再运算； 2.对数运算关键：利用对数运算法则进行化简；注意的基础结论. 【详解】原式 ． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 指数运算 ［例1］ 【8题答案】 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查了指数幂的运算性质，根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算法则是解题的关键． 利用指数幂的运算性质，逐一化简各选项并判断等式是否成立． 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC． 【9题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】由指数幂的运算性质对选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B． ，B正确； 对于C，原式 ，C错误； 对于D，当时，，得， 由，得， 所以，D正确． 故选：BD. 跟踪训练1 【10题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题关键在于： 1.化整为零：将复杂的指数式拆分为多个简单项，逐一化简； 2.底数统一：将小数和分数化为以整数为底的幂，方便应用指数运算性质； 3.零次幂：任何非零数的次幂都等于，即. 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 题型二 对数运算 ［例2］ （2026·丹东模拟） 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以，则. 故选：B. （2026·焦作模拟） 【12题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算逐项计算. 【详解】，A成立； ，B不成立； ，C成立； ，D不成立. 故选：AC 跟踪训练2 （2026·杭州质检） 【13题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由左右同取对数可得，将代入计算即可得. 【详解】由，故，即，又， 故，即. 故选：D. （2025·八省联考） 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 题型三 指对运算的应用 ［例3］ （2026·青岛检测） 【15题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出及的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答. 【详解】依题意，，解得，当时，， 即，解得，于是得，解得， 所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度. 故选：B （2026·贵阳模拟） 【16题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题核心是利用是定值，建立两组放电条件下的等式关系； 关键步骤是对指数方程两边取对数，将指数转化为线性运算求解即可. 【详解】由题意知， 所以，即， 两边取以10为底的对数，得， 所以． 故选：. 跟踪训练3 （2026·张家口、保定模拟） 【17题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件有，利用对数的运算性质得到，即可求解. 【详解】由题知，则， 又，所以，所以， 故选：D （2026·恩施模拟） 【18题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】所需时间，利用对数运算法则化简可得，进而得到，由指数运算法则可求得结果. 【详解】由题意知：所需时间， ， . 故选：A. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $