§2.6 二次函数与幂函数（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦二次函数与幂函数，通过自主诊断夯实基础，分类讲练突破关键能力，适配高中数学一轮复习，整合教材改编题与模拟题。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |自主诊断|5题|幂函数定义、二次函数最值等基础概念|教材改编题，回归教材夯实基础| |幂函数图象与性质|5题|幂函数单调性、奇偶性、图象辨析|结合2026年济南模拟题，注重性质综合应用| |二次函数解析式|4题|待定系数法、对称性、值域|九江质检改编题，强调条件转化与建模| |二次函数图象与性质|5题|单调性、最值、图象综合分析|福州调研等模拟题，分层设计含多选与解答题|

§2.6 二次函数与幂函数 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 函数是幂函数．（ ） 2. 当时，幂函数在上单调递增．（ ） 3. 二次函数，的最大值或最小值一定是．（ ） 4. 若幂函数是偶函数，则为偶数．（ ） （人教A版必修第一册P86T7改编） 5. 函数，的值域为（ ） A B. C. D. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 幂函数的图象与性质 ［例1］ 6. 下列命题中正确的是（   ） A. 当时，函数的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过，两点 C. 幂函数图象不可能在第四象限内 D. 若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数 7. 若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 A. B. C. D. 跟踪训练1 （2026·济南模拟） 8. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 9. 已知函数（为常数），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象恒过定点 B. 当时，函数是减函数 C. 当时，函数是奇函数 D. 当时，函数的值域为 题型二 二次函数的解析式 ［例2］（2026·九江质检） 10. 函数满足下列性质： （）定义域为，值域为． （）图象关于对称． （）对任意，，且，都有． 请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）． 11. 已知二次函数满足，且的最大值是8，求二次函数的解析式． 跟踪训练2 12. 已知二次函数的图象过点，，且顶点到x轴的距离等于2，二次函数的表达式为________ 13. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线x=2,且方程=0的两个根的平方和为10，则的解析式为___________ 题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象 ［例3］ 14. 函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ） A. B. C. D. （2026·福州调研） 15. （多选）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，则（ ） A B. C. D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 ［例4］（2026·福州模拟） 16. 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 17. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 跟踪训练3 18. 已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2026·济南模拟） 19. 已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是______． §2.6 二次函数与幂函数 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据幂函数概念判定. 【详解】根据幂函数概念，自变量系数为1，知道不是幂函数. 故答案为：错误. 【2题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】利用幂函数的性质即可判断. 【详解】由幂函数的性质可知，时，符合单调递增的条件，因此该命题是正确的. 【3题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】二次函数在闭区间上的最值，需结合开口方向和对称轴与区间的位置关系综合判断，不能直接认为顶点处的函数值就是区间上的最值. 【详解】由二次函数的图象及性质可知：二次函数在闭区间 上的最值不一定是顶点处的函数值​， 只有当对称轴在区间内时，顶点处的函数值才是该区间上的一个最值. 故原命题错误. 【4题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】取特殊值，说明函数奇偶性，即可判断正误. 【详解】取，则，定义域为R，满足， 即幂函数是偶函数，此时不是偶数， 故答案为：错误 （人教A版必修第一册P86T7改编） 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数单调性，进而可得最值，则值域可求. 【详解】解：函数的对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减， ，， 即的值域为. 故选：A. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 幂函数的图象与性质 ［例1］ 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的图象与性质判断即可. 【详解】对A，当时，函数的图象是一条直线除去点，所以A项不正确； 对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过，所以B项不正确； 对C，幂函数的图象不可能在第四象限内，所以C项正确； 对D，当时，幂函数为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确； 故选：C. 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】在第一象限作出幂函数 的图象，在 内取同一值 ， 作直线 ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知 如图， 故选D． 跟踪训练1 （2026·济南模拟） 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A； 当时，在区间上单调递减，满足题意. 函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B； 因为函数定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 【9题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】，A正确； 当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 当时，的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，C正确； 当时，的值域为，D错误. 故选：AC 题型二 二次函数的解析式 ［例2］（2026·九江质检） 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式. 【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式， 此时对称轴为，开口向上，满足（）， 因为对任意，，且，都有， 等价于在上单调减， ∴，满足（）， 又，满足（），故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的对称性、二次函数的单调性以及二次函数的值域，意在考查综合运用所学知识，灵活解答问题的能力，考查了转化与划归思想、数形结合思想的应用，属于难题. 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设，由，且的最大值是8，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设， 因为，且的最大值是8， 则，解得，故所求二次函数为. 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，其中解答中熟记二次函数的解析式的形式，以及二次函数的性质，合理利用待定系数求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 跟踪训练2 【12题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可设二次函数为（），求得顶点的纵坐标为，于是有，求出的值即可得二次函数的解析式. 【详解】解：因为二次函数的图象过点，， 所以可设二次函数为（），展开得： 顶点的纵坐标为， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2， ∴，即， 所以二次函数的表达式为或. 故答案为：或. 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴方程,用待定系数法设出函数解析式,然后根据以及韦达定理可解得待定系数,从而可得解析式. 【详解】依题意设函数, 由二次函数的图像过点得, 所以,即, 所以, 令,即, 所以, 设方程的两根为, 则,, 所以, 所以,解得, 所以. 故答案为. 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,韦达定理,属于中档题. 题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象 ［例3］ 【14题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为，， 对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为， ，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求； 对于B，当开口向上时，， 此时在上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为， ，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当开口向上时，， 此时其对称轴为，故D不满足要求. 故选：BD. （2026·福州调研） 【15题答案】 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A，因为二次函数的图象与x轴交于两点， 所以，即，故A正确， 对于B，由图象可得对称轴为直线，即， 化简得，故B错误， 对于C，结合图象可得当时，，即，故C错误， 对于D，由已知得，即， 而抛物线开口向下，故，得到，即，故D正确. 故选：AD 命题点2 二次函数的单调性与最值 ［例4］（2026·福州模拟） 【16题答案】 【答案】f(x)min＝ 【解析】 【分析】配方f（x）=（x﹣1）2+1，从而讨论区间[t，t+1]和对称轴x=1的关系：t+1≤1，t＜1＜t+1，t≥1，这样根据二次函数f（x）的单调性及端点值和取得顶点情况，即可求出每种情况下的f（x）的最值． 【详解】解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1； 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1； 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. 综上可知f(x)min＝ 【点睛】考查函数值域的概念，配方求二次函数值域的方法，根据二次函数单调性及取得顶点情况求函数值域的方法． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. 【小问2详解】 因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述：. 跟踪训练3 【18题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. （2026·济南模拟） 【19题答案】 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $