§2.5 函数性质的综合应用（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦函数性质综合应用，整合2026年大连、遵义等多地模拟题，覆盖奇偶性、单调性、周期性及对称性等核心考点，适配一轮复习基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（单选/多选）|9题|函数奇偶性、单调性、周期性、对称性|结合模拟题，注重多性质交汇，梯度设计（例题+跟踪训练）| |填空|4题|函数性质综合应用、参数范围求解|突出逻辑推理与转化思想，关联高考命题趋势|

§2.5 函数性质的综合应用 题型一 函数的奇偶性与单调性 ［例1］ 1. （多选）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. （2026·大连模拟） 2. 已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 跟踪训练1 3. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在处取到最大值 4. 设，若函数是定义在上的奇函数，且当时，，若是上的单调增函数，则取值范围为___________. 题型二 函数的奇偶性与周期性 ［例2］ 5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. （多选）已知定义在R上的函数满足，，且为奇函数，则（　　） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 是一个周期为3的周期函数 D. 跟踪训练2 7. 已知定义在上的函数满足条件：①的周期为2，②为奇函数，③，，，恒成立．则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. （2026·遵义适应性考试） 8. 定义在上的偶函数满足，则______；______. 题型三 函数的奇偶性与对称性 ［例3］（2026·西安模拟） 9. 已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 跟踪训练3 10. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于直线对称，，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 题型四 函数性质的综合应用 ［例4］ 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 为奇函数 跟踪训练4 12. 已知定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 函数的最小正周期是4 C. 函数在上单调递增 D. 直线是函数图象的对称轴 （2026·齐齐哈尔模拟） 13. 已知定义在上的奇函数，满足且在区间上是增函数，则的大小关系为______.（用符号“<”连接） §2.5 函数性质的综合应用 题型一 函数的奇偶性与单调性 ［例1］ 【1题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查了奇函数的性质和函数单调性的应用，掌握利用单调性比较函数值大小的方法是解题的关键． 利用奇函数性质和单调性，将函数值转化到同一单调区间内比较大小． 【详解】解：根据题意可得函数在上单调递增，由可得．由在上单调递增，得，故A错误； 由，，得，故B正确； 由函数在上单调递增，得，故C正确； 由函数在上单调递增，得，故D错误． 故选：BC． （2026·大连模拟） 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数单调性、奇偶性来求得m的取值范围. 【详解】设，由， 得， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在R上的偶函数，所以， 所以对任意的， ， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，可得，即， 即，所以，解得， 故选：D 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 跟踪训练1 【3题答案】 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，得到在上单调递增，在上单调递减，结合函数的图象变换，利用函数的单调性与对称性，以及对数的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 又由的图象是由的图象向左平移1个单位得到的， 所以的图象关于对称，所以A正确； 因为，，， 因为且函数在上单调递增，所以， 即，所以B正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减， 所以函数在处取到最小值，所以D不正确. 故选：ABC. 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数解析式，结合分段函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数为R上的奇函数，所以图象关于原点对称，且， 当时，在上不是单调增函数，故； 当时，， 当时，，则， 得，即当时， 所以， 因为函数在R上单调递增，所以，解得； 所以a的取值范围为. 故答案为：. 题型二 函数的奇偶性与周期性 ［例2］ 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 【6题答案】 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A,因为函数的定义域为R，且，则不可能是奇函数，故A错误； 对于B,因为定义在R上的函数满足， 变形可得， 而为奇函数， 则 ， 则， 则有， 即函数为偶函数，故B正确； 对于C,因为函数满足， 即， 则有， 即函数是一个周期为3的周期函数，故C正确； 对于D,因为是偶函数且周期为3， 则，故D正确． 故选：BCD. 跟踪训练2 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的周期性、奇偶性和单调性，掌握利用函数性质转化函数值的方法是解题的关键． 利用函数的周期性、奇偶性和单调性，将目标函数值转化到同一单调区间内，再比较大小． 【详解】解：因为为奇函数，的周期为2， 所以为奇函数， 因为，，，， 所以在上单调递增， 因为为奇函数， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，，， 所以，即． 故选：C． （2026·遵义适应性考试） 【8题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中，令即可得的值；结合函数的偶函数性质与，换元转化可得函数是一个周期为的函数，赋值求解的值，从而求得的值，由周期即可得所求. 【详解】因为，令，可得，则； 由函数为偶函数，则， 由， 令，则，即， 所以，则， 又，所以，则， 因此可得，故函数是一个周期为的函数； 在中，令，可得， 又，所以， 在中，令，可得， 又，所以， 则， 所以 . 故答案为：；. 题型三 函数的奇偶性与对称性 ［例3］（2026·西安模拟） 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由函数是上的偶函数与的图象关于点对称可得出函数的周期，根据时的表达式可求解出一个周期的函数值，从而解出本题. 【详解】解：因为函数是上的偶函数， 所以， 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以， 所以， 所以函数是上周期为4函数， 当时，， 所以，， 又，， 所以， 所以. 故选：D. 跟踪训练3 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，掌握由对称性和奇偶性推导函数周期的方法是解题的关键． 由的对称轴推出的对称性，结合奇函数性质得到周期，再计算． 【详解】解：因为的图象关于直线对称， 所以，于是， 又是定义在上的奇函数， 所以，则，即， 所以的周期为4， 所以． 故选：A． 题型四 函数性质的综合应用 ［例4］ 【11题答案】 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法推出函数的奇偶性，结合赋值法求出，即可求得，判断A；利用变量代换，推出，即可判断B；利用可推出函数周期，判断C；结合A的分析，可判断D. 【详解】由题意知函数，的定义域均为，， 则，因为是偶函数， 所以， 所以．即为偶函数， 令，则，又，所以， 又，令，所以， 所以，故A正确； 由，得， 两式相加得，所以， 又，所以，即， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； 由得，故，故C正确； 由可知为偶函数，且，即不恒等于0， 即不是奇函数，D不正确， 故选：ABC． 【点睛】方法点睛：（1）涉及抽象函数的求值问题，往往采用赋值法，即令x取特殊值；（2）涉及到抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性问题，往往要结合赋值和相应的定义去解决. 跟踪训练4 【12题答案】 【答案】CD 【解析】 【分析】由题设且、在上递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性. 【详解】由，函数为奇函数，A错； 由，函数的周期为8，B错； 对任意的，，当时，都有， 所以在上递减，结合奇函数知：函数在上递减，即函数上函数递减， 由上可知，即，故关于对称， 所以在上单调递增，且直线是函数图象的对称轴，C、D对. 故选：CD （2026·齐齐哈尔模拟） 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，对称性，将中的值都化到同一单调区间中，再利用单调性进行比较即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 又在区间上单调递增，故在区间上单调递增， 又，故函数的周期， 故， ， ， 根据函数的单调性可得，即， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $