§2.4 函数的周期性和对称性（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦函数周期性与对称性，整合近年真题与模拟题，分层设计自主诊断与关键能力突破，夯实基础与提升逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |自主诊断|7|周期定义、奇偶性与对称性关系|基础判断与简单应用，回归教材| |周期性题型|3|周期推导、奇偶性结合周期求解析式|含2025全国Ⅰ卷真题，注重性质综合应用| |对称性题型|5|自对称（轴对称、中心对称）、互对称|结合2024新高考Ⅰ卷改编，设置证明与多选，强化逻辑推理|

§2.4 函数的周期性和对称性 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 若是函数的周期，则也是函数的周期．（ ） 2. 若函数是奇函数，则函数的图象关于点对称．（ ） 3. 若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称．（ ） 4. 若函数满足，则的图象关于直线对称.（ ） 5. 若函数满足，且当时，，则（ ） A. －1 B. C. 0 D. 6. 下列函数与关于对称的是（ ） A. B. C. D. （2026·昆明诊断） 7. 已知函数是奇函数，且，则__________． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 函数的周期性 ［例1］（2025·全国Ⅰ卷，5，5分，易） 8. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. （2025·河北名校联考） 9. 设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为__________. 跟踪训练1 10. （多选）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 函数的一条对称轴为直线 题型二 函数的对称性 命题点1 自对称中的轴对称 ［例2］（2026·榆林质检） 11. 已知函数的定义域为R，对任意都有，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的周期 D. 为偶函数 命题点2 自对称中的中心对称 ［例3］（2024·新高考Ⅰ卷节选） 12. 已知函数.证明：曲线是中心对称图形； 命题点3 互对称问题 ［例4］ 13. 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象（ ） A. 关于x＝1对称 B. 关于x＝3对称 C. 关于y＝3对称 D. 关于(3，0)对称 跟踪训练2 14. 已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 15. 设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为________． §2.4 函数的周期性和对称性 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】根据周期函数的定义进行判断. 【详解】若是函数的周期，则， 所以， 所以也是函数的周期，所以正确， 故答案为：正确. 【2题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】本题考查奇函数的性质以及函数图像的平移变换，我们需要先明确奇函数的图像特征，再分析其平移后的图像特征即可. 【详解】若函数是奇函数，则其图像关于原点对称，即满足， 函数的图像是由的图像向右平移个单位得到的， 图像上的点对应关系为：上的点对应到上的点， 原点向右平移个单位后，得到点，因此，的图像关于点对称. 所以，该命题是正确的. 【3题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据偶函数的性质判断即可. 【详解】因为是偶函数，所以对任意实数，都有：， 这个等式表明，对于函数，当自变量取和时，函数值相等， 函数图象的对称轴是自变量和的中点，即： ，因此，函数的图象关于直线对称. 故该命题为假命题. 【4题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】根据函数对称性的结论作出判断 【详解】，故的图象关于对称， 故答案为：正确. 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解. 【详解】依题意， 因为，所以， 所以，所以函数的周期为4， 所以. 又因为，所以， 当时，，所以， 所以. 故选：B. 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据和关于对称求出解析式. 【详解】关于对称的是，即. 故选：C （2026·昆明诊断） 【7题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】本题关键在于：构造辅助函数，利用奇函数的性质和，推导出的对称关系即可求解． 【详解】方法一： 由是奇函数，， 令，，得． 故答案为：. 方法二 ：由是奇函数，得关于（2，3）对称， 故，即． 故答案为：． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 函数的周期性 ［例1］（2025·全国Ⅰ卷，5，5分，易） 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A （2025·河北名校联考） 【9题答案】 【答案】，. 【解析】 【分析】设，则，则有，由函数的解析式可得的表达式，结合函数的奇偶性与周期性可得，即可求出结果. 【详解】解：根据题意，设，则，则有， 当时，， 则， 又为周期为4的偶函数， 所以，， 则有，； 故答案为：，. 跟踪训练1 【10题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题关键在于： 1.周期推导：由可推出周期，这是解决本题的关键； 2.解析式求解：利用周期性和已知区间的解析式，通过变量替换可求其他区间的解析式； 3.函数对称性：结合奇函数性质和，可推导出函数的对称轴. 【详解】因为，所以，则，所以，故A正确； 当时，，则当时，， ，故B不正确； 由，得函数的一个周期为6，得， ，， 所以，故C正确； 由A选项知，，又，则， 所以函数的一条对称轴为直线，故D正确． 题型二 函数的对称性 命题点1 自对称中的轴对称 ［例2］（2026·榆林质检） 【11题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、奇偶性、周期性逐项判断即可. 【详解】解：∵，则的图象关于直线对称，故A正确，B错误； ∵函数的图象关于直线对称，则，又， ∴，∴4是函数的周期，故C正确； ∵函数，故为偶函数，故D正确． 故选：ACD. 命题点2 自对称中的中心对称 ［例3］（2024·新高考Ⅰ卷节选） 【12题答案】 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】设为图象上任意一点，可证关于对称点为也在函数的图象上，从而可证对称性； 【详解】的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为． 命题点3 互对称问题 ［例4］ 【13题答案】 【答案】A 【解析】 分析】 设为图象上任意一点，说明点在函数的图象上，根据点关于直线对称得解. 【详解】设为图象上任意一点， 则， 所以点在函数的图象上， 而与关于直线对称， 所以函数与的图象关于直线对称. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 跟踪训练2 【14题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可. 【详解】选项A:函数为定义在R上的奇函数，则有，即，又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称.函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 选项B:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称，所以函数的图象关于点对称，所以选项B正确； 选项C、D:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点，所以它们的所有交点关于点对称，不妨设，则有，， 所以，，所以C选项正确；D选项错误． 故选：BC. 【15题答案】 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意求出，从而列出方程，求出. 【详解】∵，函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称 ∴， ∴ ∴ ∴． 故答案为：1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $