§2.2 函数的单调性与最值（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，整合教材改编题与2026年地方期末/诊断题，基础巩固与能力突破梯度分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |基础诊断|7题|单调性定义判断、单调区间确定、最值存在性|教材原题改编（如人教A版必修第一册习题），结合图像分析| |能力突破|10题|单调性证明、比较大小、解不等式、参数范围|2026年多地诊断题（哈尔滨、包头等），分层设计适配一轮复习|

2.2函数的单调性与最值 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 若函数满足，则在上单调递增．（ ） 2. 函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为．（ ） 3. 若函数在区间上连续，则在区间上一定有最值．（ ） 4. 函数的单调递减区间是.（ ） （人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编） 5. 如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 在区间上的最大值为3，最小值为 C. 在上有最小值，有最大值3 D. 当直线与的图象有三个交点时 （2026·山东聊城期末） 6. 设函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 函数是定义在上的减函数，则满足的x值的取值范围_________． 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 确定函数的单调性 命题点1 函数单调性的判断 ［例1］ （2026·哈尔滨诊断） 8. 设函数，，则函数的递增区间为________. 命题点2 利用定义证明函数的单调性 ［例2］ 9. 讨论函数在区间上的单调性． 跟踪训练1 （2026·唐山模拟） 10. 函数的单调递增区间为__． 11. 已知函数．若函数在区间是严格增函数，利用函数单调性的定义，求实数m的取值范围． 题型二 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 ［例3］ （2026·包头诊断） 12. 已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 命题点2 求函数的最值 ［例4］ 13. 已知函数，则的最大值为_______． 命题点3 解函数不等式 ［例5］ 14. 已知函数，若，则实数的取值范围____________． 命题点4 求参数的值（范围） ［例6］ （2026·东莞摸底） 15. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 跟踪训练2 16. 函数的定义域为R，对任意的实数，满足，下列结论正确的是（ ） A. 函数在R上是单调递减函数 B. C. D. 的解为 17. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 2.2函数的单调性与最值 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】利用函数的单调性说明即可. 【详解】如果函数在上单调递增， 则在上任意两个自变量时，， 而已知，只是两个特定点的函数值大小关系， 不能代表在上任意两个自变量时，， 所以仅由，不能满足在上单调递增． 故答案为：错误. 【2题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】举例说明判断即可. 【详解】定义在的函数在上单调递增，而其单调递增区间是，命题错误. 故答案为：错误 【3题答案】 【答案】正确 【解析】 【分析】由连续函数的最值定义即可判断. 【详解】因为函数在区间上连续， 所以一定，使且，都有或， 所以函数在区间上一定有最值. 故答案为：正确. 【4题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】举例可说明错误. 【详解】函数在是单调递减，在上也单调递减. 但这两个单调递减区间不能用并集符号连接， 如取，但，不满足单调递减， 故函数的单调递减区间应表述为和. 故答案为：错误. （人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编） 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数图像，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图像可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A错； B选项，由图像可得，在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图像可得，在上有最小值，有最大值，故C正确； D选项，由图像可得，为使直线与的图象有三个交点，只需，故D错. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由图像观察函数单调性，以及最值，属于基础题型. （2026·山东聊城期末） 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由对数型复合函数的单调性结合二次函数的单调性列出不等式求解即可. 【详解】由在区间上单调递减， 可得在区间上单调递减，且 抛物线的对称轴为直线， 由解得，所以的最大值为4． 故选：B 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】直接根据函数的单调性列出不等式即可，注意函数的定义域. 【详解】解：因为函数是定义在上的减函数，， 所以，解得， 所以满足的x值的取值范围是. 故答案为：. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 确定函数的单调性 命题点1 函数单调性的判断 ［例1］ （2026·哈尔滨诊断） 【8题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】先根据求出，作出的图象，结合图象可得. 【详解】由题知，作出函数的图象如图所示. ∴函数的递增区间为，. 故答案为，. 【点睛】本题主要考查函数的单调区间，图象法是常用方法，正确作出图象是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 命题点2 利用定义证明函数的单调性 ［例2］ 【9题答案】 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】利用作差法分和两种情况讨论即可. 【详解】任取，且， 则， 当时，，即， 函数在区间上单调递减； 当时，，即， 函数在区间上单调递增． 跟踪训练1 （2026·唐山模拟） 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间 【详解】令，解得或，则定义域为， 由在单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，求出的 减区间即为的增区间，再结合的定义域可知的单调递增区间为， 故答案为： 【11题答案】 【答案】． 【解析】 【分析】首先设且，再计算，得到，再求 取值范围. 【详解】任取且， 设则 ， 因为，，所以， 即． 因为，所以，所以． 题型二 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 ［例3］ （2026·包头诊断） 【12题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据当时，恒成立，得到函数在上是减函数，再由函数的图象关于直线对称，得到，然后利用函数的单调性比较. 【详解】因为当时，恒成立， 所以函数在上是减函数， 又函数的图象关于直线对称， 所以， 而， 所以， 所以。 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的单调性，对称性的应用，属于基础题. 命题点2 求函数的最值 ［例4］ 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】分别分析函数在各段的单调性，即可求出函数的最大值. 【详解】因为， 当时，单调递增，所以； 当时，因为与在上单调递减， 所以在上单调递减，所以． 所以的最大值为，当且仅当时取得最大值． 故答案为： 命题点3 解函数不等式 ［例5］ 【14题答案】 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由已知，函数在单调递增，且，故即为，则，解得． 考点：函数的性质． 【方法点睛】函数单调性的常见的命题角度有：1、求函数的值域或最值；2、比较两个函数值或两个自变量的大小；3、解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；4、求参数的取值范围或值． 命题点4 求参数的值（范围） ［例6］ （2026·东莞摸底） 【15题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答. 【详解】由或. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又函数上单调递增，所以. 即的取值范围为：. 故选：D 跟踪训练2 【16题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】变形给定不等式，结合函数单调性定义确定单调性，再逐项判断即可. 【详解】由，得， 因此在上单调递增，A错误； 由，得，B正确； 不一定有，如在上为增函数，，C错误； 由，得，解得，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：涉及抽象函数函数值大小比较问题，利用给定的不等式关系，结合函数单调性定义确定函数的单调性是解题的关键. 【17题答案】 【答案】 【解析】 【分析】化简，根据题意得到，即可求解. 【详解】由函数， 因为在上单调递增，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $