§1.4 基本不等式（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦基本不等式，通过自主诊断夯实基础，分类讲练突破关键能力，整合多地模拟题（如广州、长沙质检），适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |判断/选择/填空|21题|概念理解、性质应用、配凑/常数代换等方法|分层设计（基础-能力），真题关联（2026各地模拟），方法分类讲练|

1.4 基本不等式 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 1. 不等式与成立的条件是相同的．（ ） 2. 若，则的最小值是．（ ） 3. 函数，最小值为4．（ ） 4. “且”是“”的充要条件．（ ） 5. 若函数在处取得最小值，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. （多选）若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，则的最小值为__________. 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 基本不等式的理解及常见变形 ［例1］ （2026·广州质检） 8. 设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若0<a<b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. b>>a> B. b>>>a C. b>>>a D. b>a>> 跟踪训练1 （2025·衡阳联考） 10 给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 11. （多选）已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 题型二 基本不等式的性质 命题点1 直接法 ［例2］ 12. 若实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. （2026·长沙调研） 13. 设正实数、满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 命题点2 配凑法 ［例3］ 14. 函数，的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 15. 若，则的最小值是______． 命题点3 常数代换法 ［例4］ 16. （多选）已知，为正实数，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 （2026·宿迁调研） 17. 已知，都是正数，且，则的最小值为________；的最小值为________． 命题点4 消元法 ［例5］ （2026·徐州质检） 18. 已知，则的最小值为__________． 命题点5 构造不等式法 ［例6］ （2026·郑州模拟） 19. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为2 C. 的最小值为2 D. 跟踪训练2 （2026·池州模拟） 20. 若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ） A. B. C. D. （2026·青岛模拟） 21. 若实数，且，则（ ） A. B. C. D. 1.4 基本不等式 必备知识·整合 夯实基础 回归教材 【自主诊断】 判断下列结论是否正确．（请在括号中填“正确”或“错误”） 【1题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据基本不等式的取等条件直接计算. 【详解】由已知的取等条件为； 的取等条件为，且，， 故答案为：错误. 【2题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据基本不等式,求两个正数和的最值,要求两个正数的积为定值,而 不是定值，从而判断正误. 【详解】因为,所以为正数,所以根据基本不等式,当两个正数的积为定值时,这两个正数的和有最小值, 而,不是定值,所以不是定值,所以不是的最小值. 故答案为:错误 【3题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】用基本不等式求最值需验证等号成立条件，判断在定义域内是否有解． 【详解】解： 由基本不等式， 当且仅当​即时取等号 的最大值为1，无法取到2，故等号不成立，最小值不为4，命题错误． 故答案为：错误． 【4题答案】 【答案】错误 【解析】 【分析】根据基本不等式直接判断. 【详解】当且时，，当且仅当时，不等式取等号， 即“且”是“”的充分条件； 当成立时，当且仅当时，取等号，此时且，或且， 即“且”不是“”的必要条件； 综上所述“且”是“”充分不必要条件， 故答案为：错误. 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为函数， 当且仅当，即时，等号成立， 所以等于3， 故选：C 视频 【6题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】本题关键在于利用基本不等式和重要不等式及其变形逐一判断即可. 【详解】当时，由基本不等式成立条件可知A不成立； 由重要不等式变形可得，所以B成立； 对于C，因为，所以成立，所以C成立； 当且时，由基本不等式成立条件可知D不成立． 故选：. 【7题答案】 【答案】## 【解析】 【分析】将所求的式子乘以“1”,然后利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 关键能力·突破 分类讲练 以例求法 题型一 基本不等式的理解及常见变形 ［例1］ （2026·广州质检） 【8题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式以及其变形与不等式性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，为正实数，，故， 故，即，故A正确； 对于B，由于，当且仅当即时取等号， ，当且仅当即时取等号， 故，故B正确； 对于C，，为正实数，则，故， 即，故，故C错误； 对于D，因为，为正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D正确. 故选：ABD. 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质结合基本不等式进行判断 【详解】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>. 故b>>>. 故选：C 跟踪训练1 （2025·衡阳联考） 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值确定错误推导，结合基本不等式判断正确推导. 【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确. ②，当时，，所以②错误. ③，根据基本不等式的知识可知③正确. 所以正确的为①③. 故选：B 【11题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的应用，作差法比较大小，掌握作差法和基本不等式的变形是解题的关键． 对每个选项，利用作差法或基本不等式，判断不等式是否恒成立． 【详解】解：A、，即，故A选项正确； B、当时，，则恒成立，即恒成立，当时，原不等式恒成立，故B选项正确； C、当时，，即，恒成立，当时，，即，，当时，不等式左侧无意义，该不等式不成立，故C选项错误； D、由重要不等式可知，，，恒成立，故D选项正确． 故选：ABD． 题型二 基本不等式的性质 命题点1 直接法 ［例2］ 【12题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得. 【详解】由可知，则，代入得：， 当时等号成立，即当时，取得最小值. 故选：D. （2026·长沙调研） 【13题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误. 【详解】设正实数、满足. 对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当时，等号成立，B选项错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C选项正确； 对于D选项，，则， 当且仅当时，等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 命题点2 配凑法 ［例3］ 【14题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可求得最小值为8. 【详解】由可得， 因此， 当且仅当，即时，等号成立； 即所求最小值为8. 故选：B 【15题答案】 【答案】0 【解析】 【分析】由题意可得，将原式变形利用基本不等式即可求得当时取最小值0. 【详解】由可得，则， 又，利用基本不等式可得； 当且仅当时，等号成立； 故答案为：0 命题点3 常数代换法 ［例4］ 【16题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的应用，代数式的变形技巧，掌握基本不等式的使用条件与配凑方法是解题的关键． 由已知条件变形推导关系，结合基本不等式逐一判断各选项的最值与等式是否成立． 【详解】解：因为，，所以，． A、因为，所以，得，A正确； B、由，得（当且仅当时取等号），所以，， 所以的最小值为，B错误； C、（当且仅当，时取等号），C正确； D、因为，所以（当且仅当时取等号），D正确． 故选：ACD． （2026·宿迁调研） 【17题答案】 【答案】 ①. 4 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的应用，“1的代换”技巧，掌握利用已知条件对目标式进行变形的方法是解题的关键． 利用对目标式进行“1的代换”，再用基本不等式求最小值． 【详解】 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为4． 因为，，所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：4；3． 命题点4 消元法 ［例5］ （2026·徐州质检） 【18题答案】 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由已知 则×，当且仅当时，取“=”则此时，由于，解得，,故答案为． 考点：1.基本不等式；2.方程组的解法. 命题点5 构造不等式法 ［例6］ （2026·郑州模拟） 【19题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】由即可对A判断；由可对B判断；由即可对C判断；由，则即可对D判断. 【详解】对于A，，即，当且仅当时成立，故A不正确； 对于B，由，得，即，故B正确； 对于C，由，因为，所以， 当时，的最小值为2，故C正确； 对于D，因为，所以， 当且仅当，即等号成立，故D不正确． 故选：BC． 跟踪训练2 （2026·池州模拟） 【20题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得. 【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确； 对于B， ，， 又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误； 对于C，，，所以， 则，并且时等号成立.，所以C正确； 对于D，，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以D正确. 故选：ACD. （2026·青岛模拟） 【21题答案】 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $