精品解析：江苏南通通州区2025-2026学年下学期初一数学期末试卷

初一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 对乘坐飞机的旅客进行安检 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查市场上冷冻食品的质量情况 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，可得的值大约是（ ） A. 22.36 B. 70.71 C. 223.6 D. 707.1 6. 如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（ ） A. 4 B. C. 0.5 D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组有解，并且它的所有解都是不等式的解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）． 11. 5的算术平方根是________． 12. 为强化青少年健康管理，践行“健康第一”的发展理念，某市对辖区内20000名初一学生开展体重抽样监测，随机抽查了其中1000名学生的体重进行统计分析，此次调查的样本容量为______． 13. 如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 14. 如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向．那么从岛看，两岛的视角的度数为______． 15. 关于x，y的二元一次方程与的部分解分别如表1，表2． 表1 x … 0 1 2 … y … 2 5 … 表2 x … 0 1 2 … y … 3 2 1 … 则关于x的不等式的解集为______． 16. 已知实数，，满足． （1）若，，则的取值范围是______； （2）若，，是正整数，且，则值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）解方程组： 18. 的值能否同时大于和的值？说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．平移，平移后点，，的对应点分别为点，，． （1）画出平移后的； （2）点的坐标为______，点的坐标为______． 20. 如图，中，是边上的高，平分，，交于点．若，求的度数． 21. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某校为全面了解七年级学生使用大模型辅助学习的情况，随机抽取了30名学生，统计了他们一周使用大模型辅助学习的时间x（单位：）如下： 20，23，24，24，25，30，34，37，43，44，46，46，48，50，51， 54，58，64，66，67，72，75，78，80，87，90，97，100，103，115 （1）将收集的数据分成以下五组：①，②，③，④，⑤，并整理成频数分布表： 组别 ① ② ③ ④ ⑤ 合计 人数（频数） 表中a的值为______，b的值为______； （2）如果选择一种统计图描述这30名学生一周使用大模型辅助学习时间的分布情况，最合适的是______； A．趋势图 B．折线图 C．条形图 D．直方图 （3）若该校七年级共有900名学生，请估计七年级学生中一周使用AI大模型辅助学习不少于60分钟的学生人数；根据本次调查反映的辅助学习时长差异，请你提出一条能帮助同学们科学使用工具的建议． 22. 如图，点，，分别在的边，，上，连接，． （1）若，求证； （2）写出，，，的和，并说明理由． 23. “苏超”联赛火热开赛，为发展校园足球，某校筹备班级足球联赛．七（1）班的两名班委一起去体育用品商店选购班级训练用球，销售人员告诉他们：目前有A，B两种型号的足球在售，同时购买两种型号的足球更实惠，1只A型球和1只B型球的总售价是180元，2只A型球和3只B型球的总售价是440元． （1）若设A型球每只售价为x元，B型球每只售价为y元，求x和y的值； （2）七（1）班计划买这两种型号足球共8只用于分组训练，总预算不超过730元，他们最多能买几只A型足球？ 24. 【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ （1）请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． （2）你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 25. 对于平面直角坐标系中的任意一点，称点为点的“互变点”． 例如：点为点的“互变点”． （1）若点为点的“互变点”，则点的坐标为______； （2）若点为点的“互变点”，求点的坐标； （3）已知点，，点为线段上一点，点为点的“互变点”，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．若点在长方形的内部（不含边界），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，即可判断选项. 【详解】解：是有限小数，是整数，是分数，都属于有理数. 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数. 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 对乘坐飞机的旅客进行安检 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查市场上冷冻食品的质量情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行判定即可． 【详解】解：A、调查对乘坐飞机的旅客进行安检，应用全面调查，故此选项符合题意； B、调查某批次的汽车抗撞击能力，因为抗撞击能力检测属于有损检测，故应用抽样调查，故此选项不符合题意； C、调查某市居民垃圾分类的情况，人数众多，应用抽样调查，故此选项不符合题意； D、调查市场上冷冻食品的质量情况，应用抽样调查，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，根据规则逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ 和不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； ∵ 和不是同类二次根式，不能合并，∴B错误； ∵ ，∴C错误； ∵ ，符合二次根式加减运算规则，∴D正确. 4. 如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到直尺不经过第三象限，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意得，直尺经过一、二、四象限，不经过第三象限， ．为第一象限的点，故该选项不符合题意； ．为第二象限的点，故该选项不符合题意； ．为第三象限的点，故该选项符合题意； ．为第四象限的点，故该选项不符合题意. 5. 已知，，可得的值大约是（ ） A. 22.36 B. 70.71 C. 223.6 D. 707.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ∴． 6. 如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是． 7. 下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（ ） A. 4 B. C. 0.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到使命题不成立的反例即可.当不等式两边同乘负数时，不等号方向改变，因此当时原命题不成立. 【详解】解：对不等式变形，两边同时减去，得：， ∵已知，若，根据不等式的性质，不等号方向改变，可得， ∴此时，原命题不成立. 选项中只有，符合要求，因此选D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解：1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 9. 若关于x的不等式组有解，并且它的所有解都是不等式的解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解各个不等式，再结合不等式组有解的条件，以及原不等式组所有解都是的解的要求，确定的取值范围. 【详解】解：∵ ，解得 ， ∵ ，解得 ， ∵ 不等式组有解，∴ ，此时原不等式组解集为. 再解不等式，解得， ∵ 原不等式组的所有解都是的解， ∴ ， 若，则存在解不满足. 综上可得的取值范围是. 10. 如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据三角形内角和定理表示出，根据平角的定义表示出，进而根据角平分线的性质以及三角形的外角的性质表示出，结合选项，即可求解． 【详解】解：∵，， 设 ∴ 又∵ ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴ ∴ 即． 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）． 11. 5的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根求法，根据算术平方根定义：若，（），则叫的平方根，其中叫做算术平方根．熟记算术平方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：5的算术平方根是， 故答案为：． 12. 为强化青少年健康管理，践行“健康第一”的发展理念，某市对辖区内20000名初一学生开展体重抽样监测，随机抽查了其中1000名学生的体重进行统计分析，此次调查的样本容量为______． 【答案】1000 【解析】 【分析】根据样本容量的定义，样本容量是样本中包含的个体的数目，本题中抽取的样本个体数量为，可直接得出结果. 【详解】解：随机抽查了名学生的体重进行统计分析，因此样本中包含的个体数目为，即此次调查的样本容量为. 13. 如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 14. 如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向．那么从岛看，两岛的视角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点，根据已知可得，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 依题意， ∴ ∴ 15. 关于x，y的二元一次方程与的部分解分别如表1，表2． 表1 x … 0 1 2 … y … 2 5 … 表2 x … 0 1 2 … y … 3 2 1 … 则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据表格中的解求出方程中参数的值，再代入不等式按一元一次不等式解法计算即可得到解集。 【详解】解：对于二元一次方程，将表1中代入方程，得，解得，将代入方程，得，解得. 对于二元一次方程，将表2中代入方程，得，解得，将代入方程，得，解得. 将代入不等式，得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得. 16. 已知实数，，满足． （1）若，，则的取值范围是______； （2）若，，是正整数，且，则值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据条件式可得，根据得出不等式组，求得不等式组的解集即可求解； （2）根据题意可得，则，得出，同理得出或，分类讨论求得的值，进而求得代数式的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 解不等式①得： 解不等式②得： ∴ （2）∵，，，是正整数， ∴ ∴ ∴ 又∵是正整数， ∴ ∵ ∴ 同理可得 ∴ ∵是正整数，且 ∴或 当时，，，不成立 当时， ∴ ∴ 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，实数的运算进行计算即可求解； （2）根据加减消元法即可求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解： ①得③， ②＋③得， 解得． 将代入①得， 解得． ∴这个方程组的解为 18. 的值能否同时大于和的值？说明理由． 【答案】不能，见解析 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，然后分别求出两个不等式的解集，再求公共部分即可． 【详解】解：不能．理由如下： ， 由①得：＜， 由②得：＞， ∴不等式组无解，因此不能同时大于和的值． 【点睛】本题考查的是根据题意列不等式组并求解，熟练掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，小小大大无解”． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．平移，平移后点，，的对应点分别为点，，． （1）画出平移后的； （2）点的坐标为______，点的坐标为______． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找到，，的对应点，，，顺次连接，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，中，是边上的高，平分，，交于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义可得，进而求得，根据角平分线的定义求得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：是边上的高， ． ． 平分． ． 是的外角． ∴． 21. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某校为全面了解七年级学生使用大模型辅助学习的情况，随机抽取了30名学生，统计了他们一周使用大模型辅助学习的时间x（单位：）如下： 20，23，24，24，25，30，34，37，43，44，46，46，48，50，51， 54，58，64，66，67，72，75，78，80，87，90，97，100，103，115 （1）将收集的数据分成以下五组：①，②，③，④，⑤，并整理成频数分布表： 组别 ① ② ③ ④ ⑤ 合计 人数（频数） 表中a的值为______，b的值为______； （2）如果选择一种统计图描述这30名学生一周使用大模型辅助学习时间的分布情况，最合适的是______； A．趋势图 B．折线图 C．条形图 D．直方图 （3）若该校七年级共有900名学生，请估计七年级学生中一周使用AI大模型辅助学习不少于60分钟的学生人数；根据本次调查反映的辅助学习时长差异，请你提出一条能帮助同学们科学使用工具的建议． 【答案】（1）； （2）D （3）人；建议合理即可（如：单次不超过30分钟，避免过度依赖：应自主思考与辅助相结合等．） 【解析】 【分析】（1）结合已知数据，数出③组和⑤组的数据个数，即可求解； （2）根据题意选用合适的统计图即可求解； （3）根据样本估计总体，进而写出一条建议，即可求解． 【小问1详解】 解：③中的数据有：64，66，67，72，75，78，共个，故， ⑤中的数据有：100，103，115，共个，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人， 答：估计七年级学生中一周使用大模型辅助学习不少于60分钟的学生人数为390人． 22. 如图，点，，分别在的边，，上，连接，． （1）若，求证； （2）写出，，，的和，并说明理由． 【答案】（1）∵是的外角， ∴，即． ∵， ∴． （2）． 理由：连接． 在中，， 在中，， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角的性质可得，结合已知，即可得证； （2）连接．根据三角形内角和定理可得，，两式相加，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. “苏超”联赛火热开赛，为发展校园足球，某校筹备班级足球联赛．七（1）班的两名班委一起去体育用品商店选购班级训练用球，销售人员告诉他们：目前有A，B两种型号的足球在售，同时购买两种型号的足球更实惠，1只A型球和1只B型球的总售价是180元，2只A型球和3只B型球的总售价是440元． （1）若设A型球每只售价为x元，B型球每只售价为y元，求x和y的值； （2）七（1）班计划买这两种型号足球共8只用于分组训练，总预算不超过730元，他们最多能买几只A型足球？ 【答案】（1） （2）4只 【解析】 【分析】（1）设A型球每只售价为x元，B型球每只售价为y元，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设购买a只A型足球，则购买只B型足球，结合（1）的结论，列出不等式，解不等式求得最大正整数解，即可求解． 【小问1详解】 根据题意列方程组： 解得 【小问2详解】 设购买a只A型足球，则购买只B型足球． 根据总预算不超过730元，列不等式：． 解得． ∵a为正整数，∴． 答：他们最多能买4只A型足球． 24. 【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ （1）请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． （2）你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 25. 对于平面直角坐标系中的任意一点，称点为点的“互变点”． 例如：点为点的“互变点”． （1）若点为点的“互变点”，则点的坐标为______； （2）若点为点的“互变点”，求点的坐标； （3）已知点，，点为线段上一点，点为点的“互变点”，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．若点在长方形的内部（不含边界），求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据变换规则，进行变换计算，即可求解． （2）根据定义，列出方程组，解方程组即可求解． （3）根据题意设，．则，，根据点在长方形的内部（不含边界）得出不等式组，进而求得的范围． 【小问1详解】 依题意的“互变点”为即 【小问2详解】 由题可知：，． 联立方程组得 解得 ∴． 【小问3详解】 ∵点，，点为线段上一点， 所以可设，．则， ∵， ∴． ∵点都在长方形的内部（不含边界）， ∴ 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $