专题1.6 三角形章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦苏科版八年级上册三角形章节，系统梳理三边关系、中线、高、角平分线、全等三角形、等腰三角形等核心知识点，从基础概念到性质应用，再到倍长中线、旋转模型等综合问题，构建完整学习支架。 资料含思维导图助力知识结构化，23个题型讲练（典例+变式）强化推理能力，中考真题与分层练习提升应用意识。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，培养几何直观与创新意识。

专题1.6 三角形章节复习『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 题型讲练 6 题型一 确定第三边的取值范围 6 题型二 三角形三边关系的应用 6 题型三 根据三角形中线求长度 6 题型四 根据三角形中线求面积 7 题型五 与三角形的高有关的计算问题 8 题型六 利用网格求三角形面积 8 题型七 全等三角形的性质 10 题型八 全等的性质和SAS综合(SAS) 10 题型九 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 11 题型十 全等的性质和SSS综合(SSS) 12 题型十一 全等的性质和HL综合(HL) 13 题型十二 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 13 题型十三 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 14 题型十四 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 15 题型十五 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 16 题型十六 全等三角形综合问题 17 题型十七 线段垂直平分线的判定 17 题型十八 角平分线的判定定理 19 题型十九 等腰三角形的性质和判定 20 题型二十 等边三角形的判定和性质 21 题型二十一 含30度角的直角三角形 22 题型二十二 斜边的中线等于斜边的一半 22 题型二十三 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 23 中考真题演练 24 难度分层训练 26 【基础夯实】 26 【培优拔高】 27 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形，只需要判断两条较短的线段之和是否大于第三边即可。 三角形的 边角关系 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”。 “大边对大角”的使用有一个前提条件：必须在同一个三角形中 三角形的中线 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 1.三角形的中线是线段； 2.三条中线的交点，一定在三角形的内部； 3.三角形的中线平分三角形的面积。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 1.三角形的高线是线段； 2.三条高线交于一点，该点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，也可能在顶点处。 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 1.三角形的角平分线是线段； 2. 三条角平分线交于一点，该交点一定在三角形的内部。 全等三角形 1.全等三角形的定义:两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质:全等三角等三角应边相等，对应角相等。 3. 全等三角形的判定方法:边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4. 三角形的稳定性 全等三角形的所有对应元都相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 线段 垂直平分线 1.性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理:到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互为逆命题的。 角平分线 1.性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 这里的角平分线与三角形的角平分线是不同的。三角形的角平分线是一条线段，此处的角平分线是一条射线。 等腰三角形 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 性质①等边对等角； ②三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 ③等腰三角形是轴对称图形； 3. 判定：①等角对等边； ②两条边相等； 三角形是轴对称图形，它的对称轴可能是一条，也可能是三条。当等腰三角形是底和腰不相等的时候，它只有一条对称轴；当底和腰相等的时候，也就是等边三角形的时候。它有三条对称轴。所以我们说等腰三角形有一条对称轴是不准确的。 等边三角形 1. 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 ①三条边相等； ②三个角相等都等于60度； ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴； 3. 判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形； ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形具有等腰三角形所有的性质。是一种特殊的等腰三角形。 含30º角 直角三角形 30º角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前提：直角三角形。 题型一 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 题型二 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已有两根木条，长分别是和，现要从下面4根木条中选一根，使3根木条组成三角形，可以选（　　） A． B． C． D． 题型三 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 题型四 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 题型五 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 题型六 利用网格求三角形面积 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系． (1)画出与关于y轴对称的； (2)请直接写出的面积为______． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)①作图：在轴上找一点，使的周长最小； ②点的坐标为________（直接写出答案）． 题型七 全等三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·天津·期中）如图所示的两个三角形全等，则的度数是_________． 【变式训练】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 题型八 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，，、分别是、的平分线，试判定线段与是否相等，并说明理由． 【变式训练】（25-26八年级上·山东滨州·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 题型九 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，B，C，E三点在同一条直线上，与相交于点F，求证：F是的中点． 【变式训练】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接交于点，求证：． 题型十一 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足， ．求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，连接，若，求证：． 题型十二 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式训练】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 题型十三 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【变式训练】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形，并写出点和的坐标： (2)如果点D在第一象限，且以点A、B、D为顶点的三角形与全等．直接写出所有符合条件的点D的坐标． 题型十四 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【变式训练】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 题型十五 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）平面直角坐标系中，点，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标 ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 题型十六 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）在中，过点作，点在直线上，连接，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，请判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由； (3)在（1）（2）的条件下，，则_____ 【变式训练】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型十七 线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期末）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：是的中点． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型十八 角平分线的判定定理 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 题型十九 等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 题型二十 等边三角形的判定和性质 【典例精讲】如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 题型二十一 含30度角的直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（   ） A． B． C． D． 题型二十二 斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，已知、相交于点C，，，F、G、H分别是、、的中点， (1)求证：； (2)若，______． 题型二十三 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点 (1)【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； (2)【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，点、是边上的两个动点，且满足，则当以、、的长为边长构成直角三角形时，______． 【真题演练1】（2025·北京通州·中考真题）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【真题演练2】（2025·广东广州·中考真题）如图，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④平分；其中正确的为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【真题演练3】（2025·山西朔州·中考真题）如图，在中，，，，为边上一动点，连接．当取最小值时，的长为______． 【真题演练4】（2025·陕西西安·中考真题）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【真题演练5】（2025·广西崇左·中考真题）已知，如图，在中，，点D在边上，点F在边上，连接并延长交的延长线于点E，，．求证：是等边三角形． 【基础夯实】 1．如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 5．（24-25八年级上·江西吉安·期中）的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【培优拔高】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，在等腰直角中，，，点D在线段上，连接且，与的平分线相交于点G，点F在的外角平分线上，连接，且，延长线交于点E，下列说法正确的有（ ） ①； ②； ③若，，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，等边的边长为2，于点D，E为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为_________． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图在中，，垂直平分，分别交于．为线段上一动点，为边上一动点，则的周长最小值为___________． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知． (1)用直尺和圆规按下列要求作图： ①作的角平分线； ②作，与的延长线相交于点E； ③作，垂足为F． (2)在（1）所作图形中，若，，，则的长为___________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题1.6 三角形章节复习『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 题型讲练 5 题型一 确定第三边的取值范围 5 题型二 三角形三边关系的应用 6 题型三 根据三角形中线求长度 7 题型四 根据三角形中线求面积 8 题型五 与三角形的高有关的计算问题 10 题型六 利用网格求三角形面积 11 题型七 全等三角形的性质 13 题型八 全等的性质和SAS综合(SAS) 13 题型九 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 15 题型十 全等的性质和SSS综合(SSS) 17 题型十一 全等的性质和HL综合(HL) 19 题型十二 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 20 题型十三 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 22 题型十四 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 24 题型十五 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 26 题型十六 全等三角形综合问题 32 题型十七 线段垂直平分线的判定 35 题型十八 角平分线的判定定理 38 题型十九 等腰三角形的性质和判定 40 题型二十 等边三角形的判定和性质 42 题型二十一 含30度角的直角三角形 45 题型二十二 斜边的中线等于斜边的一半 47 题型二十三 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 50 中考真题演练 55 难度分层训练 61 【基础夯实】 61 【培优拔高】 66 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形，只需要判断两条较短的线段之和是否大于第三边即可。 三角形的 边角关系 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”。 “大边对大角”的使用有一个前提条件：必须在同一个三角形中 三角形的中线 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 1.三角形的中线是线段； 2.三条中线的交点，一定在三角形的内部； 3.三角形的中线平分三角形的面积。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 1.三角形的高线是线段； 2.三条高线交于一点，该点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，也可能在顶点处。 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 1.三角形的角平分线是线段； 2. 三条角平分线交于一点，该交点一定在三角形的内部。 全等三角形 1.全等三角形的定义:两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质:全等三角等三角应边相等，对应角相等。 3. 全等三角形的判定方法:边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4. 三角形的稳定性 全等三角形的所有对应元都相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 线段 垂直平分线 1.性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理:到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互为逆命题的。 角平分线 1.性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 这里的角平分线与三角形的角平分线是不同的。三角形的角平分线是一条线段，此处的角平分线是一条射线。 等腰三角形 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 性质①等边对等角； ②三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 ③等腰三角形是轴对称图形； 3. 判定：①等角对等边； ②两条边相等； 三角形是轴对称图形，它的对称轴可能是一条，也可能是三条。当等腰三角形是底和腰不相等的时候，它只有一条对称轴；当底和腰相等的时候，也就是等边三角形的时候。它有三条对称轴。所以我们说等腰三角形有一条对称轴是不准确的。 等边三角形 1. 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 ①三条边相等； ②三个角相等都等于60度； ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴； 3. 判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形； ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形具有等腰三角形所有的性质。是一种特殊的等腰三角形。 含30º角 直角三角形 30º角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前提：直角三角形。 题型一 确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【答案】6 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， 则，即， 第三边长a为整数， 第三边长． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 题型二 三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已有两根木条，长分别是和，现要从下面4根木条中选一根，使3根木条组成三角形，可以选（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，设第三根木条长度为，利用三角形三边关系（任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边）求出的取值范围，再从选项中选出符合范围的数值即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵选项中只有满足， 故选：B． 题型三 根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 题型四 根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 【答案】18 【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为3，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. 题型五 与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 题型六 利用网格求三角形面积 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系． (1)画出与关于y轴对称的； (2)请直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴对称的点、、，然后顺次连接即可； （2）根据割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)①作图：在轴上找一点，使的周长最小； ②点的坐标为________（直接写出答案）． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)①图见解析；② 【分析】周长最小问题要先排除固定长度的线段，再利用“将军饮马”模型来解题． （1）先根据轴对称的性质画出点、、，连接成三角形即可； （2）利用割补法计算网格中的三角形面积； （3）①连接，与轴的交点即为所求的点； ②结合图象，直接写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：； （3）解：①如图，点Q即为所求； ②由图可知，点Q的坐标为． 题型七 全等三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·天津·期中）如图所示的两个三角形全等，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】根据三角形全等对应角相等直接求解即可得到答案． 【详解】根据三角形全等的性质可得． 【变式训练】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是关键；由全等三角形的性质得，结合得，由平行线的判定即可证明． 【详解】解：， ． ， ． ． 题型八 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，，、分别是、的平分线，试判定线段与是否相等，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，关键是推出． 根据角平分线定义和已知求出，根据推出，根据全等三角形的性质推出即可． 【详解】解：，理由如下， ∵、分别是、的平分线， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·山东滨州·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】（1），2；（2）见解析 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项，再计算得到，最后代入原式即可； （2）利用线段的和得到，再利用垂直的定义得到，即可利用证明，推出，即可证明． 【详解】（1）解： ， ， ∵， ∴原式； （2）证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴ ∴． 题型九 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，B，C，E三点在同一条直线上，与相交于点F，求证：F是的中点． 【答案】见解析 【分析】证明，再根据全等三角形的性质及中点定义即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴F是的中点． 【变式训练】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证出即可； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，由得到，利用解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴ （2）解：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】证明：如图，连接， 在与中，， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及线段的和差关系，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质，并利用全等三角形的对应边、对应角相等进行推理论证是解题的关键。 （1）先由推出，再结合、证明，得到对应角相等，进而证明。 （2）利用（1）中得到的角相等和边相等，证明，得到，再通过线段的和差关系推出。 【详解】（1）证明：∵点、、、在同一条直线上，， ∴， 又∵，． ∴， ∴， ∴ （2）证明：∵连接交于点． ∴， ∵，． ∴， ∴， ∵ ∴，即：． 题型十一 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足， ．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是关键． 先证明，则，结合等量代换可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，连接，若，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，即可得到． 【详解】证明：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 题型十二 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：A、带①②去，符合判定，能得到一块完全一样的三角形玻璃； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 题型十三 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据角平分线尺规作图的要求作出图形即可； （2）根据证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可； （3）以O为圆心，适当长为半径作弧交，于点E，F，过点F作，过点E作，直线交于点P，作射线即可． 【详解】（1）解：如图①，射线即为所求； （2）解：如图①中，连接，， 在和中， ， ， ， 平分 ； （3）解：如图②中，射线即为所求． 【变式训练】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形，并写出点和的坐标： (2)如果点D在第一象限，且以点A、B、D为顶点的三角形与全等．直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为；点的坐标为 (2)点D坐标为， 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作；点的坐标为；点的坐标为； （2）解：如图，满足条件的点D有两个，点D坐标为，． 题型十四 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 题型十五 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）平面直角坐标系中，点，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标 ． 【答案】(1)，； (2)见详解； (3)或或． 【分析】（1）由变形为，再由非负数的性质列出方程求出a、b的值即可； （2）作，交x轴于点N，先证明，再证明，即可证明； （3）根据D、F、G分别为顶角时进行讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ∵，， ∴，， 解得，， ∴，； （2）证明：作，交x轴于点N，则， ∵， ∴， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点，y轴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形， ∴， 过点D作轴于点L，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，； 若，， 过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q， 则， ∴， ∴， ∴， 可得，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，，作轴，作轴于点P，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点F的坐标为或或． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 题型十六 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）在中，过点作，点在直线上，连接，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，请判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由； (3)在（1）（2）的条件下，，则_____ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，旋转的性质，结合已知，证明即可证明结论． （2）根据平行线的性质，旋转的性质，结合已知，证明即可证明结论． （3）根据前面的结论，分类计算即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得． ， ． 又， ， ，， ， ， 故． （2）解：线段，，的数量关系为， 证明：如图2得，由旋转的性质得． ， ． ， ， ， ，， ， ． （3）解：当是图1的情况时，由（1）知， 又由全等知， ， ． 当是图2的情况时，由（2）知， ． 综上，． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 题型十七 线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期末）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意作法即可求解； （）连接，，通过垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，连接，， 由作图可知，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴是的中点． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 题型十八 角平分线的判定定理 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 题型十九 等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得，再根据得，由此即可得出结论； （2）延长到M，使，连接，先证和全等得，再证明得，则，然后再根据含有角的直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：延长到M，使，连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，，则有； （2）根据角平分线的性质得．由平行线的性质得，则，有，即可说明是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； （2）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 题型二十 等边三角形的判定和性质 【典例精讲】如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据旋转可得，旋转角度，可得为等边三角形，再由求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， 则的长为5 ． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据等边三角形的性质证明，即可求解； （2）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解； （3）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图3，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二十一 含30度角的直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中，， ； （2）解：由（1）可知：， ，， ，， ， 又， ， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据含角的直角三角形的性质，求出的长度，再求出树高． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∴树高为． 题型二十二 斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先由与推出是等腰直角三角形，得到；再利用和直角三角形斜边、直角边对应相等，证明；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合的条件，直接得出； （）由且是中点，可得垂直平分，故，进而推出；结合算出，再在中求得；利用之前已证的，得到，最后通过计算，从而证得． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∵ ， ∴； （2）证明：∵，是中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，已知、相交于点C，，，F、G、H分别是、、的中点， (1)求证：； (2)若，______． 【答案】(1)见解析 (2)46 【分析】（1）连接，根据三线合一可得，根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （2）设，根据等腰三角形的性质分别求出，，，再根据即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵F、G分别是、的中点，，， ， ， ∵H是的中点， ． （2）解：设， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， 又， ， ． 题型二十三 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点 (1)【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； (2)【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 【答案】(1)①图形见解析，；②证明见解析；③的长为或 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，多项式乘多项式与图形面积； （1）①由角平分线得到，，再根据三角形内角和得到，即可根据求解； ②证明，得到，则，结合，得到； ③点在线段上，由②可得，代入求值即可；若点在射线上，在下方，由②同理可得，，则，代入求值即可； （2）由，，，取一点，使，，过作交直线于，连接，证明，得到，，设，，则，，，根据，得到，连接，取中点，连接，根据，得到，代入整理得，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：①连接，补全图形如图所示： ∵，点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②若点在线段上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③若点在线段上，由②可得， ∵，， ∴， ∴； 若点在射线上，在下方，如图： 由②同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴，， 取一点，使，，过作交直线于，连接， ∴，， ∴， ∴，， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 连接，取中点，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 代入得， 整理得， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，点、是边上的两个动点，且满足，则当以、、的长为边长构成直角三角形时，______． 【答案】2或 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，得到，，，，进而得到，通过证明，得到，根据题意可得是直角三角形，再分2种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， ∵，， ∴， ∴． 由旋转的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵以，，的长为边长构成直角三角形， ∴以，，的长为边长构成直角三角形， 即是直角三角形， ∴或， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，或． 故答案为：2或． 【真题演练1】（2025·北京通州·中考真题）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短． 利用等边三角形的性质可判断①；证明，可得可判断②③⑤；当最小时，即点运动到点时，的周长最小，可判断④；取的中点，可得，即三点共线时，的周长最小，可判断⑥． 【详解】解：在等边中，点是的中点， ，故①正确； 是等边三角形，是等边三角形， ， ，即， ， ，，故②正确，⑤错误； ， ， ，故③正确； 当最小时，的周长最小， 根据垂线段最短，可得点运动到点时，的周长最小， 此时， 的周长最小为，故④正确； 如图，取的中点， ， ， ， 的周长等于的周长为， ， ， 根据两点之间线段最短，可得三点共线时，最短，即的周长最短， 为等边三角形，， ， 所以的周长最短时，，故⑥错误， ， 综上，正确的为①②③④，共4个， 故选：B． 【真题演练2】（2025·广东广州·中考真题）如图，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④平分；其中正确的为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线和垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据题意得到，易证，从而得到，再根据全等三角形的性质可得，可推出，平分；，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，②正确； ∴平分；④正确； ∴，即，③正确， 故选：D． 【真题演练3】（2025·山西朔州·中考真题）如图，在中，，，，为边上一动点，连接．当取最小值时，的长为______． 【答案】 【分析】延长到点，使得，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，如图所示，得到，由垂线段最短得出当点与重合时，的值最小，由此可得结论． 【详解】解：延长到点，使得，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，如图所示： ， ∴， ， 即垂直平分线段， ，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，为线段， 设此时， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则， ， 解得， ∴， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·陕西西安·中考真题）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【答案】或． 【分析】先确定是等腰三角形，得出，由于不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，需分三种情况，分别利用角的关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设，由对称性可知，， ∴， ①如图1：当时，， 由，得，解得：． ∴． ②如图2：当时，则． 由得：，解得x＝37．5°， ∴． ③当时，则， 由得，，此方程无解． ∴不成立． 综上所述，或． 【真题演练5】（2025·广西崇左·中考真题）已知，如图，在中，，点D在边上，点F在边上，连接并延长交的延长线于点E，，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】如图，在上取一点M，连接，使得．先证明，得出，，再证明，则，，再根据三角形外角的性质，得，即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上取一点M，连接，使得， ∵与是对顶角， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【基础夯实】 1．如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证，由此可得阴影部分的面积为等边三角形的面积． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积的变化情况是一直不变 ． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，，根据三角形面积之间的关系可得：，，根据，可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，， 点是边的中点，点在边上，， ，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， 点在边上，， ， ， 整理得：， ， ． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用， 先求出，进而求出，再根据三角形中线的定义得，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴ ， ∴． ∵点D是的中点， ∴ ． ∵点E是的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：24． 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可知，，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴； ∵，平分， ∴，， ∵和的平分线分别为相交于点O，且，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江西吉安·期中）的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求． 【培优拔高】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，在等腰直角中，，，点D在线段上，连接且，与的平分线相交于点G，点F在的外角平分线上，连接，且，延长线交于点E，下列说法正确的有（ ） ①； ②； ③若，，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据等腰三角形三线合一可得垂直平分，连接，得到，进而通过倒角证出，进而得出①正确；要判断②的正误，线段和差联想截长补短，所以延长到N，使，连接，构造等边三角形，证即可得出②正确；利用所对的直角边是斜边的一半可得出边上的高线，以及的长度，再结合②的结论，即可得出四边形的面积为，所以③正确． 【详解】解：如图，连接， 平分，是等腰直角三角形， 垂直平分，， ， ， ， ， 在中，，， ∴， ， 故①正确； 如图，延长到N，使，连接， 平分， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 根据四边形内角和可得，， ， ， ， ， 故②正确； 如图，作于M，作于，作于， 平分， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故③正确；所以正确的有3个． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定．在上截取，连接，证明得出，，进而可得，，再证明得出，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，等边的边长为2，于点D，E为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质及垂线段最短，连接，利用“手拉手”模型得出全等，得出点F的运动轨迹即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则点F在过点A且与夹角为的射线上． 过点D作射线的垂线，垂足为M， ∵，且， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图在中，，垂直平分，分别交于．为线段上一动点，为边上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键；连接，当三点共线时，的周长最小，此时，最小值为. 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小，当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴的周长最小值为：. 故答案为：. 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知． (1)用直尺和圆规按下列要求作图： ①作的角平分线； ②作，与的延长线相交于点E； ③作，垂足为F． (2)在（1）所作图形中，若，，，则的长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图，平行线的判定与性质，含直角三角形的性质； （1）利用基本作图先作的平分线，再作，然后过A点作的垂线即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，再由角平分线定义得，证明，则，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长． 【详解】（1）解：如图，、和为所作； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $