第02讲 代数式的值（暑假预习讲义）新七年级数学新教材湘教版

第02讲 代数式的值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 直接代入求代数式的值 题型2 整体代入求代数式的值 题型3 根据程序图求代数式的值 题型4 代数式在实际问题中求值 题型5 列代数式求图形面积的值 题型6 代数式在规律探索中的运用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 代数式的值、代入求值、负数代入、乘方代入、整体代入思想 1.理解代数式的值的概念，掌握求代数式值的标准步骤：代入、计算。 2.熟练代入数值计算代数式的值，重点掌握负数、分数代入时必须添加括号的解题规范。 3.结合有理数混合运算法则，准确完成含乘方、乘除、加减的代数式求值计算。 4.初步学会整体代入法，不用单独求出字母数值，直接整体代换快速解题。 学习重点：1.代数式常规代入求值的方法与步骤； 2.规范书写求值解题过程。 学习难点：1.识别含π的单项式系数，区分常数与字母；2.判断多项式次数（取最高次项次数），忽略常数项次数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代数式的值 ◆1、代数式的值：如果把代数式里的字母用数代入，那么计算所得出的结果叫作这个代数式的一个值． （1）一般地，代数式的值不是固定不变的，是随着代数式中字母取值的变化而变化的． （2）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形， （3）当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值除了需满足使代数式本身有意义外，还要保证具有实际意义，如a表示学生的人数，则a只能取正整数． 即时即练1．当代数式的值为7时，则代数式的值为（        ） A． B．0 C． D．4 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（      ） A． B． C． D． 知识点02 代数式求值的方法与步骤 第一步：代入：用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”． 第二步：计算：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”． 即时即练1．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有8个圆片，第3个图案中有11个圆片，第4个图案中有14个圆片，……，依此规律，第2026个图案中有（   ） A．2026个圆片 B．4054个圆片 C．6080个圆片 D．10130个圆片 2．某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 题型1 直接代入求代数式的值 【例1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【技巧归纳】 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果即所求. 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知当，时，代数式的值是__________． 【变式1-2】（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】当，时，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式1-4】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）请根据图示的对话解答下列问题． (1) ； ； (2)已知，求的值． 题型2 整体代入求代数式的值 【例2】（25-26七年级上·湖南湘西·期末）已知是方程的解，则代数式的值为（） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【技巧归纳】 “整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化,把所给的条件当做整体代入所求的式子即可，有时要对式子进行变形． 【变式2-1】已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知实数x满足 ，则代数式 的值为（   ）． A． B．0 C．1 D． 【变式2-3】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【变式2-4】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）整体代换是数学的一种思想方法，例如：若，则_____；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值．（结果用表示） 题型3 根据程序图求代数式的值 【例3】按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 计算程序图的转换步骤，实质上是指明了运算的顺序，根据程序图中的运算顺序，代入求值即可，要注意对结果的准确性． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入的值是8，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2025次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【变式3-4】如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 题型4 代数式在实际问题中求值 【例4】水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． (1)小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． (2)设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） (3)若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 【技巧归纳】 本题考查了求代数式的值，解答本题首先要对表格中的数据准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题. 【变式4-1】运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220﹣a). （1）正常情况下，在运动时，一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少? （2）一个45岁的人运动时,10秒钟心跳的次数为22，他有危险吗? 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）某书店推出名著阅读促销活动，《西游记》每套定价80元，《水浒传》每套定价60元，活动期间提供两种优惠方案： 方案一：买一套《西游记》送一套《水浒传》； 方案二：《西游记》和《水浒传》都按定价的付款． 现某学校要购买《西游记》10套，《水浒传》x套． (1)分别用含x的代数式表示两种方案所需费用； (2)当时，选择哪种方案更省钱？说明理由． 【变式4-3】滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5元/公里的标准收取里程费用．3．时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算．任务： （1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为2.8公里，行车时间为5分钟，需付车费 　 元． （2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（a＞3）公里，行车时间为b（b＞8）分钟，则应付车费多少元？（列代数式、化简） （3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ 【变式4-4】（23-24七年级上·四川德阳·期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带条． (1)若该客户按方案一购买，需付款多少元（用含的式子表示）？若该客户按方案二购买，需付款多少元（用含的式子表示）？ (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；当时，你能给出一种更为省钱的购买方法吗？试写出你的购买方法和所需费用． 题型5 列代数式求图形面积的值 【例5】为优化厨房电器的空间适配性，某家电品牌在设计新款抽油烟机时，需要精准计算其侧面截面的面积（该截面由长方形烟机主体区域与梯形进风区域组成）．已知设计图纸中，长方形区域的宽为，长为，梯形区域的上底与长方形的宽一致（为），下底为，高为4．请根据这些参数完成截面面积的计算，为后续的安装空间预留材料用量估算提供数据支持． (1)用含，的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求该截面的面积． 【技巧归纳】 先根据几何图形的面积计算公式用代数式表示出来，然后再根据给出字母的数值代入求值即可，有时要用到割补法求图形的面积. 【变式5-1】如图，已知长方形的长为x，宽为y． （1）用含x的代数式来表示阴影部分面积； （2）当x＝7cm，y＝5cm时，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【变式5-2】已知长方形的长为8，宽为4，内部圆的半径为1． (1)根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积（结果保留π）； (2)当时，求阴影部分的面积的值（取3.14）． 【变式5-3】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为x米的正方形草地，若长方形的长为a米，宽为b米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积是 ； (2)若长方形广场的长为200米，宽为150米，正方形的边长为10米，若种植草地每平方米价格120元，问种植这块草地需要多少钱？ 【变式5-4】（24-25七年级上·全国·单元复习）如图所示，某长方形广场的四角都有一块半径相同的圆形的草地，已知圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米． (1)请用代数式表示广场空地的面积； (2)如果种草每平方米花费100元，硬化广场空地每平方米花费200元，求种草和硬化的费用分别为多少？（用含a，b，r，的式子表示） (3)若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，计算广场空地的面积（计算结果保留）． 题型6 代数式在规律探索中的运用 【例6】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）当等于1，2，3时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，按此规律进行下去，则当时，图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为（    ） A．95 B．96 C．97 D．98 【技巧归纳】 用代数式表示规律时用到特殊到一般的思想，先探究出规律再利用规律解决问题． 【变式6-1】根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（     ） A．64 B．81 C．121 D．100 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2025个图案中被涂黑的小正方形个数为（   ） A．8105 B．8097 C．8093 D．8101 【变式6-3】如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 【变式6-4】（23-24七年级下·湖南郴州·开学考试）如图是一计算程序，回答如下问题：    (1)当输入某数后，第1次得到的结果为5，则输入的数值是多少？ (2)小华发现若输入的的值为16时，第1次得到的结果为8，第2次得到的结果为4， ①请你帮小华完成下列表格： 输入16 第1次结果 第2次结果 第3次结果 第4次结果 第5次结果 运算结果 8 4 ②你能求出第2021次得到的结果是多少吗？请说明理由. 题型7根据表格求代数式的值 【例7】填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况． n 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）随着n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ （2）估计一下，哪个代数式的值先小于？ 【技巧归纳】 代数式在生活中的应用主要是根据实际问题列出用字母表示数量关系的式子，然后根据题中所给的数据求出所列式子的值，从而解决这个实际问题. 【变式7-1】填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况. m 1 2 3 4 5 6 7 （1）随着m值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ （2）估计一下，随着m值的逐渐变大，哪个代数式的值先超过200？ 【变式7-2】观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … b … (1)【初步感知】根据表中信息可知：a＝____；b＝____； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：_____； (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当时，代数式的值为． 【变式7-4】（25-26七年级上·全国·课后作业）（教材变式）填写下表，并观察两个代数式值的变化情况． x … 0 1 2 3 … … … … … (1)随着x的值由小变大，两个代数式的值如何变化？ (2)的值有最大值吗？有最小值吗？ 【变式7-4】综合与实践 为探索代数式与的值的变化情况，小明通过填写下表，获得了相应的结论． (1)请你将小明所填的表格补充完整； (2)根据表格解答问题： ①随着的值逐渐增大，关于这两个代数式的值的变化情况，小明给出下列结论： A．代数式的值逐渐增大；    B．代数式的值逐渐增大； C．代数式的值逐渐减小；    D．代数式的值先逐渐减小，再逐渐增大． 其中正确的是________（在横线上填写所有正确结论的字母序号）； ②这两个代数式中，________的值先超过100． 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，则的值为（   ） A． B．1 C． D．7 2．若，，且，那么的值是（   ） A．4或2 B．或 C．4或 D．或2 3．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）若的值为，则的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25七年级上·全国·单元复习）学习情境·程序框图如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输入的值，则输出的值为（   ） A． B． C． D．5 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）当时，代数式的值等于13，那么当时，代数式的值为（    ） A． B． C．11 D．13 6．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·湖南永州·阶段检测）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 图形 … 五边形数 1 5 12 22 35 51 … 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表： 1          第一行 5   12       第二行 22   35    51    第三行 …    …   …   …   … 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为（    ） A．1330 B．1335 C．1340 D．1345 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）当，时代数式的值是____________． 10．（24-25六年级上·上海闵行·期末）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则__________． 11．（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 12．（24-25七年级上·湖南·期中）蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，也给仿生学提供了技术支持，科学家们正是模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构，蜜蜂蜂房的一组有规律的图案如图所示，它们由相同的小正六边形组成，依此规律，第100个图案中有_____个小正六边形． 13．（2026·广东揭阳·二模）“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______． 14．（24-25六年级上·北京·期中）当时，代数式的值为，求代数式的值． 15．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如下左图是某款智能手机的背面，将其后置摄像头模组抽象成如下右图所示的图形，中心圆的半径为r，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的．      (1)请用r的式子表示上右图中阴影部分的面积S（注意化简）； (2)当时，计算上右图中阴影部分的面积S（取，结果精确到）． 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第3个图中共有______根火柴；第4个图中共有______根火柴；第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有______根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2025个图形中共有多少根火柴？ 17．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）学校创意手工社团开展活动，需要采购彩泥和模具．学校小卖部就有这两种商品，其中彩泥每盒定价元，模具每个定价元．购买套以上还推出两种优惠方案，方案一：买一盒彩泥送一个模具；方案二：彩泥和模具都按定价的付款．现社团需要购买彩泥盒，模具个（）． (1)若社团按方案一购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)若社团按方案二购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (3)当时，通过计算说明哪种方案购买更划算． 18．关于的算式，当取任意一组相反数与时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下算式中，是“偶代数式”的有___________，是“奇代数式”的有___________；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ (2)对于整式，当分别取2与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当分别取，，，，0，1，2，3.25，4时，求这九个整式的值之和． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 代数式的值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 直接代入求代数式的值 题型2 整体代入求代数式的值 题型3 根据程序图求代数式的值 题型4 代数式在实际问题中求值 题型5 列代数式求图形面积的值 题型6 代数式在规律探索中的运用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 代数式的值、代入求值、负数代入、乘方代入、整体代入思想 1.理解代数式的值的概念，掌握求代数式值的标准步骤：代入、计算。 2.熟练代入数值计算代数式的值，重点掌握负数、分数代入时必须添加括号的解题规范。 3.结合有理数混合运算法则，准确完成含乘方、乘除、加减的代数式求值计算。 4.初步学会整体代入法，不用单独求出字母数值，直接整体代换快速解题。 学习重点：1.代数式常规代入求值的方法与步骤； 2.规范书写求值解题过程。 学习难点：1.识别含π的单项式系数，区分常数与字母；2.判断多项式次数（取最高次项次数），忽略常数项次数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代数式的值 ◆1、代数式的值：如果把代数式里的字母用数代入，那么计算所得出的结果叫作这个代数式的一个值． （1）一般地，代数式的值不是固定不变的，是随着代数式中字母取值的变化而变化的． （2）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形， （3）当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值除了需满足使代数式本身有意义外，还要保证具有实际意义，如a表示学生的人数，则a只能取正整数． 即时即练1．当代数式的值为7时，则代数式的值为（        ） A． B．0 C． D．4 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到的值，再将所求代数式变形为含有的形式，代入计算即可. 【详解】解：∵代数式的值为7， ∴， 移项整理得， 将所求代数式变形得， 把代入上式， ∴原式 ． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题代数式的求值，熟练掌握代数式的计算法则是解题的关键； 把数字按程序依次计算，并判断是否重新输入计算，可得到结果； 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 则最后输出的结果为， 故选：B 知识点02 代数式求值的方法与步骤 第一步：代入：用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”． 第二步：计算：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”． 即时即练1．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有8个圆片，第3个图案中有11个圆片，第4个图案中有14个圆片，……，依此规律，第2026个图案中有（   ） A．2026个圆片 B．4054个圆片 C．6080个圆片 D．10130个圆片 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，熟练掌握图形规律的探索方法是解题的关键．先观察图案中圆片数量的变化，归纳出第个图案圆片的数量，再代入计算即可． 【详解】解：第1个图案：， 第2个图案：， 第3个图案：， 第4个图案：， ∴ 第个图案圆片数量为：， 当时，， 故选：C． 2．某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)方案：，方案： (2)选择方案更为优惠 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）将分别代入计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元； （2）解：当学生人数时， A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元 ； ∴选择方案更为优惠． 题型1 直接代入求代数式的值 【例1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】将给定的的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入，得， 即代数式的值为． 【技巧归纳】 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果即所求. 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知当，时，代数式的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 将，代入代数式中进行计算即可． 【详解】当，时， ． 故答案为：． 【变式1-2】（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须为零，那么得到且，求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ 且， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ ， 故选：C． 【变式1-3】当，时，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了代数式求值，正确代入已知数据计算是解题关键． （1）直接把a，b的值代入求出答案； （2）直接把a，b的值代入求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【变式1-4】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）请根据图示的对话解答下列问题． (1) ； ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数和绝对值的定义，非负数的性质，正确求出a、b的值是解题的关键． （1）只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，且最小的正整数为1，据此可得答案； （2）根据非负数的性质得到，据此结合（1）所求可得m、n的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵a与3互为相反数， ∴； ∵b的绝对值为最小的正整数， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 题型2 整体代入求代数式的值 【例2】（25-26七年级上·湖南湘西·期末）已知是方程的解，则代数式的值为（） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，求代数式的值，将代数式整体代入求解是解题的关键．根据方程的解定义得到，得到，整体代入求解即可． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【技巧归纳】 “整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化,把所给的条件当做整体代入所求的式子即可，有时要对式子进行变形． 【变式2-1】已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知实数x满足 ，则代数式 的值为（   ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查已知代数式化简求值，将已知条件进行合理的变形是关键． 利用已知条件，得到，进而将代数式化简求值． 【详解】解：由可得，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-3】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【分析】当时，代数式的值为2005，可先求出的值；当时，和的值为时的相反数，进而求出代数式的值． 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 【变式2-4】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）整体代换是数学的一种思想方法，例如：若，则_____；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值．（结果用表示） 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了求代数式的值． （1），据此即可求解； （2），据此即可求解； （3）根据条件可得，再利用整体思想即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：； （3）解：∵当时，代数式的值为m， ∴， ∴ 当时， ． 题型3 根据程序图求代数式的值 【例3】按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，根据，可知输出的结果用进行计算，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴输出的结果为， 故选：D． 【技巧归纳】 计算程序图的转换步骤，实质上是指明了运算的顺序，根据程序图中的运算顺序，代入求值即可，要注意对结果的准确性． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入的值是8，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了流程图的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 找出流程图运算的周期，即可解答． 【详解】解：由题意可得：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴每四次进行一个循环，周期为， ∵余， ∴第2025次输出的结果是， 故选：C． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2025次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是求代数式的值，规律探究，熟练掌握相关方法，发现输出结果的数字变化规律是解题的关键．将代入，然后依据程序进行计算，依据计算结果得到其中的规律，然后依据规律求解即可． 【详解】解：当时，第一次输出结果， 第二次输出结果， 第三次输出结果， 第四次输出结果， …， 由上可知，计算结果按2，1，4三个数依次循环， ． 所以第2025次得到的结果为4． 故选：D． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【答案】18或 【分析】本题考查了代数式求值与流程图，理解图示，掌握代数式的计算是关键，根据题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：输入x的值是4，则输出y的值为1， ∵， ∴， 解得，， ∴输出y的值为8时， 第一种情况，，则，解得，，符合题意； 第二种情况，，则，解得，，符合题意； 故答案为：或 ． 【变式3-4】如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 题型4 代数式在实际问题中求值 【例4】水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． (1)小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． (2)设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） (3)若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 【答案】(1)49元 (2)①时，水费为；②当时，水费为：； (3)吨 【分析】（1）根据九月份用了16吨水和收费标准进行列式计算即可； （2）分和两种情况进行列式即可； （3）按照收费标准进行列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，（元）， 即应缴水费49元； （2）解：分两种情况： ①当时，水费为； ②当时，水费为：； （3）解：（吨）， 答：小强家十一月的用水量是吨． 【技巧归纳】 本题考查了求代数式的值，解答本题首先要对表格中的数据准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题. 【变式4-1】运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220﹣a). （1）正常情况下，在运动时，一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少? （2）一个45岁的人运动时,10秒钟心跳的次数为22，他有危险吗? 【分析】（1）直接把a=15代入b=0.8（220﹣a）计算即可； （2）先把a=45代入b=0.8（220﹣a）计算得到这个人在运动所能承受的每分钟心跳的最高次数为140次；而每10秒心跳的次数是22次，即每分种心跳的次数是132次，即可判断他没有危险． 【详解】解：（1）当a=15时，b=0.8（220﹣a）=0.8×（220﹣15）=0.8×205=164（次）， 在运动时一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次； （2）因为10秒钟心跳次数为22次， 所以1分钟心跳次数为22×6=132（次）， 当a=45时，b=0.8（220﹣a）=0.8×（220﹣45）=140＞132， 所以这个人没有危险． 【点睛】本题考查了代数式求值和列代数式：把符合条件的字母的值代入代数式进行计算，然后根据计算的结果解决实际问题． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）某书店推出名著阅读促销活动，《西游记》每套定价80元，《水浒传》每套定价60元，活动期间提供两种优惠方案： 方案一：买一套《西游记》送一套《水浒传》； 方案二：《西游记》和《水浒传》都按定价的付款． 现某学校要购买《西游记》10套，《水浒传》x套． (1)分别用含x的代数式表示两种方案所需费用； (2)当时，选择哪种方案更省钱？说明理由． 【答案】(1)方案一：，方案二： (2)选择方案一更省钱 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是根据题意正确列出代数式． （1）根据所给优惠规则列代数式即可； （2）将代入（1）中结论，求出两个代数式的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款： 元， 按方案二购买，需付款： 元； （2）解：选择方案一更省钱，理由如下： 当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴当时，选择方案一更省钱． 【变式4-3】滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5元/公里的标准收取里程费用．3．时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算．任务： （1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为2.8公里，行车时间为5分钟，需付车费 　 元． （2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（a＞3）公里，行车时间为b（b＞8）分钟，则应付车费多少元？（列代数式、化简） （3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ 【分析】（1）根据行车里程没有超过3公里，行车时间没有超过8分钟，判断车费即可； （2）先根据行车里程超过3公里得出里程费，再根据行车时间超过了8分钟得出时长费，然后根据车费的构成解答即可； （3）将数值代入（2）计算即可． 【详解】解：（1）小爱同学需付车费为10元． 故答案为：10； （2）里程费为（a﹣3）×1.5元，时长费为（b﹣8）×0.25元， 所以应付车费为10+1.5（a﹣3）+0.25（b﹣8）＝10+1.5a﹣4.5+0.25b﹣2＝（3.5+1.5a+0.25b）元； （3）当a＝18，b＝20， 3.5+1.5×18+0.25×20＝35.5． 需付车费35.5元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，列出代数式是关键． 【变式4-4】（23-24七年级上·四川德阳·期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带条． (1)若该客户按方案一购买，需付款多少元（用含的式子表示）？若该客户按方案二购买，需付款多少元（用含的式子表示）？ (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；当时，你能给出一种更为省钱的购买方法吗？试写出你的购买方法和所需费用． 【答案】(1)若按方案一购买，需付款元；若按方案二购买，需付款元 (2)按方案一购买较为合算；更省钱的购买方法是先按方案一购买20套西装，再按方案二购买10条领带，所需费用为4360元 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值，能根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意列出算式，再进行计算即可； （2）把代入（1）的算式，再得出答案即可；更省钱的方法是按方案一购买20套西服，再按方案二购买10条领带，再求出所需费用即可． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款：元， 按方案二购买，需付款：元； （2）解：当时， 方案一需付款：（元）， 方案二需付款：（元）， ∵， ∴当时，按方案一购买较为合算； 更省钱的方案是：先按方案一购买20套西服，花（元），这样送了20条领带，再按方案二购买（条）领带， 这样共花（元）， 答：当时，按方案一购买较为合算，更为省钱的购买方法是先按方案一购买20套西服，再按方案二购买10条领带，所需费用为4360元． 题型5 列代数式求图形面积的值 【例5】为优化厨房电器的空间适配性，某家电品牌在设计新款抽油烟机时，需要精准计算其侧面截面的面积（该截面由长方形烟机主体区域与梯形进风区域组成）．已知设计图纸中，长方形区域的宽为，长为，梯形区域的上底与长方形的宽一致（为），下底为，高为4．请根据这些参数完成截面面积的计算，为后续的安装空间预留材料用量估算提供数据支持． (1)用含，的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求该截面的面积． 【答案】(1) (2)48 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，熟练掌握该截面的面积的构成是解题关键． （1）根据该截面的面积等于长方形区域的面积与梯形区域的面积之和，化简即可得； （2）将，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：当，时， ． 【技巧归纳】 先根据几何图形的面积计算公式用代数式表示出来，然后再根据给出字母的数值代入求值即可，有时要用到割补法求图形的面积. 【变式5-1】如图，已知长方形的长为x，宽为y． （1）用含x的代数式来表示阴影部分面积； （2）当x＝7cm，y＝5cm时，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）；（2）阴影部分的面积为 【分析】（1）利用长方形的面积减去半圆的面积即可得到阴影部分的面积； （2）将x，y的值代入（1）中的代数式即可求得结论． 【详解】解：（1）阴影部分的面积为：xy﹣＝xy﹣πy2； （2）当x＝7cm，y＝5cm时， 阴影部分的面积为：7×5﹣π×52＝（35﹣）cm2． 答：当x＝7cm，y＝5cm时，求图中阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查列代数式及已知字母的值求代数式的值，正确掌握长方形的面积、圆的面积是解题的关键． 【变式5-2】已知长方形的长为8，宽为4，内部圆的半径为1． (1)根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积（结果保留π）； (2)当时，求阴影部分的面积的值（取3.14）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式和代数式的求值．列出代数式是解决本题的关键． （1）用正方形的面积两个三角形的面积即可； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知： 阴影部分的面积； （2）解：当时， 所以，阴影部分的面积为． 【变式5-3】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为x米的正方形草地，若长方形的长为a米，宽为b米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积是 ； (2)若长方形广场的长为200米，宽为150米，正方形的边长为10米，若种植草地每平方米价格120元，问种植这块草地需要多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式及代数式求值． （1）阴影部分的面积长方形广场面积正方形草地，据此即可列出代数式； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：阴影部分的面积． （2）解：根据题意可得这块草地的面积为， 当时，代入得（平方米）， 元， 答：种植这块草地需要元． 【变式5-4】（24-25七年级上·全国·单元复习）如图所示，某长方形广场的四角都有一块半径相同的圆形的草地，已知圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米． (1)请用代数式表示广场空地的面积； (2)如果种草每平方米花费100元，硬化广场空地每平方米花费200元，求种草和硬化的费用分别为多少？（用含a，b，r，的式子表示） (3)若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，计算广场空地的面积（计算结果保留）． 【答案】(1) (2)种草的费用为元，硬化的费用为元 (3)平方米 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，解题的关键是理解题意，正确列出代数式． （1）利用长方形的面积减去四个角的小半圆的面积求解即可； （2）分别求得种草花费总费用和硬化广场花费的总费用，即可求解； （3）将数值代入（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：广场空地的面积为：平方米； （2）解：种草的费用为元，硬化的费用为元； （3）解：当时，（平方米）， 所以广场空地的面积为平方米． 题型6 代数式在规律探索中的运用 【例6】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）当等于1，2，3时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，按此规律进行下去，则当时，图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为（    ） A．95 B．96 C．97 D．98 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是根据图形的变化寻找规律．观察图形的变化先得到前几个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数，得出规律，进而可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图形中，白色小正方形1个，黑色小正方形个， 第2个图形中，白色小正方形个，黑色小正方形个， 第3个图形中，白色小正方形个，黑色小正方形个， …， 所以第n个图形中，白色小正方形个，黑色小正方形个， 所以第8个图形中，白色小正方形个，黑色小正方形个， 所以第8个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为个． 故选：B 【技巧归纳】 用代数式表示规律时用到特殊到一般的思想，先探究出规律再利用规律解决问题． 【变式6-1】根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（     ） A．64 B．81 C．121 D．100 【答案】B 【分析】根据前三个图形，可得到第n个图左上角的数为n，右上角的数为，下面的数为，即可求解． 【详解】解：第1个图左上角的数为1，右上角的数为，下面的数为， 第2个图左上角的数为2，右上角的数为，下面的数为， 第3个图左上角的数为3，右上角的数为，下面的数为， ……， 以此类推可得，第n个图左上角的数为n，右上角的数为，下面的数为， ∵第n个图中的， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2025个图案中被涂黑的小正方形个数为（   ） A．8105 B．8097 C．8093 D．8101 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已有图形确定其变化规律是解题的关键． 观察图形可知第1个、第2个、第3个图案中涂有阴影的小正方形的个数，易归纳出第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：，由此求解即可． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； … 发现规律： 第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为： ； ∴第2025个图案中涂有阴影的小正方形个数为：． 故选：D． 【变式6-3】如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 【答案】 【分析】通过观察数列中相邻两项的差，发现后一项比前一项依次增加，从而得出等于从加到的和，利用求和公式即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ， 所以． 当时， ． 【变式6-4】（23-24七年级下·湖南郴州·开学考试）如图是一计算程序，回答如下问题：    (1)当输入某数后，第1次得到的结果为5，则输入的数值是多少？ (2)小华发现若输入的的值为16时，第1次得到的结果为8，第2次得到的结果为4， ①请你帮小华完成下列表格： 输入16 第1次结果 第2次结果 第3次结果 第4次结果 第5次结果 运算结果 8 4 ②你能求出第2021次得到的结果是多少吗？请说明理由. 【答案】(1)10 (2)①2，1，4；②4 【分析】（1）讨论：当输入值是奇数时则；当输入值是偶数时则，然后解出满足条件的的值； （2）①依次进行计算得到当开始输入的值时为偶数，第一次输出的结果为8；当再次输入的值时为偶数，第二次输出的结果为4；同样得到第三次输出的结果为2；第四次输出的结果为1；第五次输出的结果为4； ②根据①的计算发现，这样得到除第一次的结果外，以后每3次进行循环，由于，所以第2021次得到的结果是1． 【详解】（1）解：因为第一次得到的结果为，而输入值可能是奇数，也可能是偶数， 当输入值是奇数时，则，解得，不符合前提，舍去； 当输入值是偶数时，则，解得，符合为偶数； 故输入的数值是； （2）①当开始输入的值时为偶数，所以第一次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第二次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第三次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第四次输出； 当再次输入的值时为奇数，所以第五次输出， 故答案为：2，1，4； ②由①的计算可知，输出结果，从第二次开始，每3次一个循环， 则第六次的结果与第三次的结果是一样的，第七次与第四次相同，以此类推. 因为， 所以第2021次得到的结果是4． 【点睛】本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算，也考查了阅读理解能力以及规律型问题的解决方法． 题型7根据表格求代数式的值 【例7】填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况． n 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）随着n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ （2）估计一下，哪个代数式的值先小于？ 【答案】表见解析；（1）都逐渐减小；（2）的值先小于． 【分析】（1）逐个求值，将结果准确计算，观察表格数据即可． （2）将代入和中进行比较即可． 【详解】解： n 1 2 3 4 5 6 7 8 ， （1）随着n的值逐渐变大，代数式和的值都逐渐减小； （2）当时，，而当时，，所以的值先小于． 【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是准确计算． 【技巧归纳】 代数式在生活中的应用主要是根据实际问题列出用字母表示数量关系的式子，然后根据题中所给的数据求出所列式子的值，从而解决这个实际问题. 【变式7-1】填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况. m 1 2 3 4 5 6 7 （1）随着m值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ （2）估计一下，随着m值的逐渐变大，哪个代数式的值先超过200？ 【答案】表中第一排依次填：14，20，26，32，38，44，50；表中第二排依次填：3，9，19，33，51，73，99；（1）随着m值的逐渐变大，两个代数式的值逐渐变大；（2）的值先超过200. 【分析】填表：逐个求值，将结果准确计算即可． （1）随着m的值逐渐变大，5n逐渐变大，所以6m+8也逐渐变大；也逐渐变大． （2）当m=32时，6m+8=200，而当m=10时，2m2+1=201，所以的值先超过200． 【详解】表中第一排依次填：14，20，26，32，38，44，50；表中第二排依次填：3，9，19，33，51，73，99； （1）随着m值的逐渐变大，两个代数式的值逐渐变大； （2）当m=32时，6m+8=200，而当m=10时，2m2+1=201，所以的值先超过200． 【点睛】本题考查了求代数式的值，解答本题首先要准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题． 【变式7-2】观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … b … (1)【初步感知】根据表中信息可知：a＝____；b＝____； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：_____； (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当时，代数式的值为． 【答案】(1)1， (2)x的值每增加1，的值都增加2 (3) 【分析】 （1）分别将代入两个代数式．计算可得结论； （2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论； （3）按要求使x的系数为，常数项为﹣7即可． 【详解】（1） 解：，由题意得：， ． 故答案为：1；； （2） 观察表格中第三行可以看出，x的值每增加1，的值都增加2， 故答案为：x的值每增加1，的值都增加2． （3） ∵x的值每增加1，代数式的值就都减小5， ∴x的系数为． ∵当时，代数式的值为， ∴代数式的常数项为． ∴这个含x的代数式是：． 【点睛】本题考查了求代数式的值，数字类规律探究．发现规律是解题的关键． 【变式7-4】（25-26七年级上·全国·课后作业）（教材变式）填写下表，并观察两个代数式值的变化情况． x … 0 1 2 3 … … … … … (1)随着x的值由小变大，两个代数式的值如何变化？ (2)的值有最大值吗？有最小值吗？ 【答案】(1)填表如下： x … 0 1 2 3 … … 1 3 5 7 … … 0 3 4 3 0 … 的值随着x的增大而增大；的值在时最大，当时，代数式的值随x的增大而增大，当时，代数式的值随x的增大而减小． (2)的值有最大值，没有最小值． 【分析】把x的值分别代入两个代数式中计算，填写到表格中，根据数据回答问题． 【详解】（1）填表如下： x … 0 1 2 3 … … 1 3 5 7 … … 0 3 4 3 0 … 的值随着x的增大而增大；的值在时最大，当时，代数式的值随x的增大而增大，当时，代数式的值随x的增大而减小． （2）的值有最大值，没有最小值． 【点睛】本题考查了代数式求值及寻找规律，掌握通过代入具体值计算代数式的值，观察值的变化趋势，读懂题意是解题的关键． 【变式7-4】综合与实践 为探索代数式与的值的变化情况，小明通过填写下表，获得了相应的结论． (1)请你将小明所填的表格补充完整； (2)根据表格解答问题： ①随着的值逐渐增大，关于这两个代数式的值的变化情况，小明给出下列结论： A．代数式的值逐渐增大；    B．代数式的值逐渐增大； C．代数式的值逐渐减小；    D．代数式的值先逐渐减小，再逐渐增大． 其中正确的是________（在横线上填写所有正确结论的字母序号）； ②这两个代数式中，________的值先超过100． 【答案】(1)填表见解析 (2)①AD，② 【分析】本题考查代数式求值，掌握代数式求值的方法是解题的关键． （1）将的值代入对应代数式计算即可； （2）①②根据各代数式的值变化情况判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 填表如下： （2）解：①随着的值逐渐增大，代数式的值逐渐增大，代数式的值先逐渐减小，再逐渐增大， ∴AD正确. 故答案为：AD． ②由表格可知，代数式的值先逐渐减小，再逐渐增大后比代数式的值增大的更快， 的值先超过100． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，则的值为（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】C 【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵新运算规则为， ∴求时，对应，， 代入计算得： ， ∴结果为． 2．若，，且，那么的值是（   ） A．4或2 B．或 C．4或 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的定义、代数式求值，正确求得a、b值是解答的关键． 根据绝对值的定义，结合条件，排除不满足条件的组合，仅保留，和 ，两种情况，分别计算的值即可。 【详解】解：∵， ∴或； ∵，∴或． 又∵， ∴当时，最大值为，不符合题意，舍去； ∴，或，， 当，时，； 当，时，； ∴的值为4或2． 故选：A． 3．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）若的值为，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是代数式的值，掌握整体代入求代数式的值是解题的关键． 把化为，再把整体代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级上·全国·单元复习）学习情境·程序框图如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输入的值，则输出的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值．由于是负数，则把代入中计算即可． 【详解】解：当时，． 故选：D． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）当时，代数式的值等于13，那么当时，代数式的值为（    ） A． B． C．11 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先将代入代数式求出的值，再利用整体代入法求时代数式的值． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， ∵当时， ， ∴将代入得， 原式， 故选：B． 6．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解． 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 7．（25-26七年级上·湖南永州·阶段检测）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 图形 … 五边形数 1 5 12 22 35 51 … 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表： 1          第一行 5   12       第二行 22   35    51    第三行 …    …   …   …   … 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为（    ） A．1330 B．1335 C．1340 D．1345 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律，学生的观察能力，发现规律总结概括能力，观察表中图形及数字、数表的变化，发现其规律是解决本题的关键． 观察表中图形及数字的变化规律可发现第n个五边形数可表示为：，观察数表找到规律，计算出这个数表中的第八行从左至右第2个数是第几个五边形数即n的值，代入上面的代数式即可求得答案． 【详解】解：观察表中图形及数字的变化规律可得第n个五边形数可表示为： 由数表可知前七行数的个数和为：， ∴数表中的第八行从左至右第2个数是第30个五边形数即， ∴把代入得：， 故选：B． 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）当，时代数式的值是____________． 【答案】13 【分析】题目主要考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键，将，代入即可求解. 【详解】解：当，时，； 故答案为：13. 10．（24-25六年级上·上海闵行·期末）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据定义；；．代入表达式计算即可． 【详解】解：∵a是最小的正整数， ∴； ∵b是最大的负整数， ∴； ∵ c是绝对值最小的有理数， ∴． 则， 故答案为：2． 11．（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【答案】44 【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出，的值． 【详解】解：∵第1个图中，，， 第2个图中，，， 第3个图中，，， ∴第4个图中，，． 12．（24-25七年级上·湖南·期中）蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，也给仿生学提供了技术支持，科学家们正是模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构，蜜蜂蜂房的一组有规律的图案如图所示，它们由相同的小正六边形组成，依此规律，第100个图案中有_____个小正六边形． 【答案】302 【分析】通过观察图形，分别数出第1、2、3个图案中小正六边形的个数，发现后一个图案比前一个图案多3个小正六边形，从而归纳出第n个图案中小正六边形个数的规律，最后将代入公式计算即可． 【详解】解：观察图形可知， 第1个图案中有5个小正六边形， 第2个图案中有个小正六边形， 第3个图案中有个小正六边形， ⋯ 归纳可得，第个图案中小正六边形的个数为； 当时， ． 13．（2026·广东揭阳·二模）“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______． 【答案】26 【分析】根据题意分别求出以及的值，由此发现以26，65，122三个数为一个循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 由此发现，以26，65，122三个数为一个循环， ∵， ∴． 14．（24-25六年级上·北京·期中）当时，代数式的值为，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到，再整体代入所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：当时，代数式的值为， ∴， 即， ． 15．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如下左图是某款智能手机的背面，将其后置摄像头模组抽象成如下右图所示的图形，中心圆的半径为r，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的．      (1)请用r的式子表示上右图中阴影部分的面积S（注意化简）； (2)当时，计算上右图中阴影部分的面积S（取，结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． （1）用大圆的面积减去5个小圆的面积得出结果即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ． 答：阴影部分的面积为． （2）解：当时， ． 答：阴影部分的面积约为． 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第3个图中共有______根火柴；第4个图中共有______根火柴；第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有______根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2025个图形中共有多少根火柴？ 【答案】(1)10；13；19 (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，代数式求值，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，后面一个图形比前面一个图形多3根火柴（相邻两个图形），据此规律求解即可； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据（2）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，第3个图中共有10根火柴，第4个图中共有13根火柴， ∵第1个图中共有根火柴， 第2个图中共有根火柴， 第3个图中共有根火柴， 第4个图中共有根火柴， ……， ∴以此类推，可知，第n个图形中共有根火柴， ∴第6个图中共有根火柴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得第n个图形中共有根火柴， 故答案为：； （3）解：根， ∴第2025个图形中共有根火柴． 17．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）学校创意手工社团开展活动，需要采购彩泥和模具．学校小卖部就有这两种商品，其中彩泥每盒定价元，模具每个定价元．购买套以上还推出两种优惠方案，方案一：买一盒彩泥送一个模具；方案二：彩泥和模具都按定价的付款．现社团需要购买彩泥盒，模具个（）． (1)若社团按方案一购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)若社团按方案二购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (3)当时，通过计算说明哪种方案购买更划算． 【答案】(1) (2) (3)方案一 【分析】本题主要考查的知识点是列代数式以及代数式求值，用于解决实际购买中的方案选择问题； （）方案一是买一盒彩泥送一个模具，社团购买彩泥盒，所以会送个模具，而需要购买的模具是几个()，那么需要额外付钱购买的模具数量是个，彩泥每盒元，买盒彩泥的费用是元；额外购买个模具，每个模具元，这部分费用是元；总费用就是彩泥的费用加上额外购买模具的费用； （）方案二是彩泥和模具都按定价的付款，彩泥买盒，每盒元，所以彩泥的费用是元；模具买几个每个元，所以模具的费用是 元，总费用就是彩泥费用与模具费用之和； （）当时，分别将代入方案一和方案二的费用表达式，计算出各自的费用，再比较大小，费用小的方案更划算． 【详解】（1）解： ， 故答案为：元； （2） ， 故答案为：元； （3）当时，方案一需付款：（元）， 方案二需付款：（元）， ∵  ， ∴  方案一购买更划算． 18．关于的算式，当取任意一组相反数与时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下算式中，是“偶代数式”的有___________，是“奇代数式”的有___________；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ (2)对于整式，当分别取2与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当分别取，，，，0，1，2，3.25，4时，求这九个整式的值之和． 【答案】(1)①③；② (2)；6 (3) 【分析】本题考查代数式求值，涉及新定义，解题的关键是理解“偶代数式”与“奇代数式”的定义并会运用． （1）根据定义即可判定； （2）分别代入计算即可； （3）是“奇代数式”，x分别取，，，，0，1，2，3.25，4时，它们的和为0，只需计算九个式子中的即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②， 故答案为：①③；②； （2）解：当时，， ∴整式值为； 当时，， ∴整式值为6； （3）解：∵是“奇代数式”， ∴x分别取，，，，0，1，2，3.25，4时，的和为0， 而是“偶代数式”， ∴x分别取，，，，0，1，2，3.25，4时，的和为： ∴九个整式的值之和 ， ∴这九个整式的值之和是． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $