专题05确定圆的条件-2026年苏科版数学八升九暑假预习讲义.

专题05确定圆的条件 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.过点作圆的规律探究：探究平面内过一点、两点、三点的作圆情况，归纳作圆数量与圆心分布规律，理解作圆的核心原理，为核心定理推导铺垫基础。 2.三点定圆核心定理：掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”核心定理，明确定理适用前提与核心内涵，掌握基础应用场景。 3.三角形外接圆与外心：掌握三角形外接圆、内接三角形、外心的基础定义，熟练掌握外接圆标准作图方法、外心核心性质，熟记三类三角形的外心位置规律。 ✅本节核心重点为多点作圆规律、三点定圆定理、三角形外接圆作图与外心性质，知识点无超纲、无遗漏，聚焦课本必考基础考点，夯实圆与三角形结合的几何基础。 ✺学习目标： 知识要求：1.熟练掌握过一点、两点、三点的作圆规律，明确不同条件下的作圆个数与圆心分布特征。 2.熟记三点定圆核心定理，精准掌握“三点不共线”的必备前提条件。 3.理解外接圆、内接三角形、外心的概念，掌握三角形外接圆规范作图方法，厘清概念关联。 能力要求：1.能通过作图推导作圆规律，理解几何定理的推导逻辑，形成基础几何思维。 2.能运用三点定圆定理判断三点是否共圆，解决基础判断、作图类题型。 3.熟练完成三角形外接圆作图，能根据三角形类型判断外心位置，进行简单几何推理。 应试要求：熟练掌握本节全部基础考点，吃透多点作圆规律判断、三点定圆定理辨析、三角形外接圆尺规作图、外心定义与性质等核心知识，能够熟练应对选择、填空、基础作图类常见题型，筑牢本节几何核心考点。 ✺题型归纳： 题型1.确定圆心（尺规作图） 题型2.求能确定的圆的个数 题型3.三角形外接圆的概念辨析 题型4.求三角形外心坐标 题型5.求特殊三角形外接圆的半径 题型6.已知外心的位置判断三角形的形状 题型7.判断三角形外接圆的圆心位置 题型8.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、过平面内多点作圆的规律 ▶作圆的核心本质：确定圆心和半径，平面内作经过定点的圆，关键是找到平面内到所有定点距离都相等的点，该点即为所作圆的圆心，该点到定点的距离即为圆的半径。 1. 过一个点作圆：经过平面内任意一个已知点，可以作出无数个圆，平面内除该定点外的任意一点都可以作为圆心，圆心到该定点的距离为圆的半径。 2. 过两个点作圆：经过平面内任意两个不重合的点，可以作出无数个圆，所有圆的圆心都在这两个点所连线段的垂直平分线上，圆心到任意一个定点的距离为圆的半径。 3.过三个点作圆： （1）当三个点在同一条直线上时，无法找到可以同时经过这三个点的圆，因此共线的三点不能确定一个圆； （2）当三个点不在同一条直线上时，有且只有一个圆能够同时经过这三个点。 知识点二、确定圆的条件（核心定理） 1.定理内容：不在同一直线上的三个点确定一个圆。（核心定理） 2.定理前提：三个点不共线， ★若三点在同一直线上，不存在同时经过三点的圆，无法确定圆。 3.定理解读：在同一平面内，不共线的三个点位置固定后，只能对应唯一一个圆，有且只有一个圆能够同时经过这三个定点。 知识点三、三角形的外接圆与外心 1.核心定义 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 内接三角形：如果一个三角形的三个顶点都在同一个圆上，那么这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 2.外心核心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，这三条相等的线段的长度，就是三角形外接圆的半径。 3.不同三角形的外心位置 （1）锐角三角形：外心落在三角形的内部；见下图1 （2）直角三角形：外心落在斜边的中点上，此时三角形的斜边即为外接圆的直径；见下图2 （3）钝角三角形：外心落在三角形的外部。见下图3 4.基础固定结论 ① 任意一个三角形有且只有一个外接圆，因此任意三角形都存在唯一的外心； ② 同一个圆可以作出无数个内接三角形，所有内接三角形的外接圆都为同一个圆。 5.三角形外接圆标准作图 ▶作图原理：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，只需作出三角形任意两条边的垂直平分线，即可确定外接圆的圆心位置。 ▶作图步骤： ① 选取三角形任意两条边，分别使用尺规作图的方法作出两条边的垂直平分线； ② 两条垂直平分线相交得到的交点，就是三角形的外心，也就是外接圆的圆心； ③ 以该交点为圆心，以交点到三角形任意一个顶点的线段长度为半径画圆； ④ 最终画出的圆，就是该三角形的外接圆。 ▶作图要点：尺规作三角形外接圆时，无需作出三条边的垂直平分线，两条即可确定圆心位置，作图过程必须保留垂直平分线的辅助作图痕迹。 6.核心易错辨析 ❌ 常见误区：任意三个点都可以确定一个圆。 ✅ 课本正解：只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，共线三点无法作圆。 ❌ 常见误区：三角形的外心到三角形三边的距离相等。 ✅ 课本正解：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的点是三角形的内心。 ✺题型◆精讲 题型1.确定圆心（尺规作图） 1．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 2．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 _____． 【答案】（2，0） 【分析】由图像可知B点坐标为（4，4），连接AB、BC，分别做AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心M，M坐标为（2，0）． 【详解】连接AB、BC，分别做AB、BC的中垂线，相交于点M， 由中垂线性质有AM=BM=CM， ∵AM=BM=CM， ∴点M为圆心， 由平面直角坐标系可知， 圆心M的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中圆的图象及性质，圆上任意点到圆心的距离相等，再结合中垂线性质，通过尺规作图结合图象即可求得圆心坐标． 3．中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作图确定圆心，在上任取一点E，连接，分别作线段、的垂直平分线，两直线相交于点O，则点O即为圆心． 【详解】解：如图所示，圆心O即为所求．    题型2.求能确定的圆的个数 1．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 2．过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3） 由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 题型3.三角形外接圆的概念辨析 1．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 2．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 3．如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（ ）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （）连接，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求出即可； 本题考查了作三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的外接圆的半径为． 题型4.求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 3．如图，在直角坐标系中，点的坐标分别是，． (1)外接圆的圆心坐标是______． (2)画出绕点顺时针旋转后所得的图形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形外接圆的圆心为三角形三条边的垂直平分线交点，作出图，即可求得外接圆的圆心坐标； （2）将的点，绕点顺时针旋转后得到对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：根据三角形外接圆的圆心为三角形三条边的垂直平分线交点，画出图如图所示：点即为所求， 外接圆的圆心坐标是， 故答案为：； （2）解：根据题意画出图如图所示， 【点睛】本题主要考查了作图—旋转变换，三角形的外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心为三角形三条边的垂直平分线交点，找出的点，绕点顺时针旋转后得到对应点，是解题的关键． 题型5.求特殊三角形外接圆的半径 1．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 2．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 3．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 题型6.已知外心的位置判断三角形的形状 1．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 2．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 3．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 题型7.判断三角形外接圆的圆心位置 1．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 2．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 【答案】3 【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 3．如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形的外心，连接，分别作、的垂直平分线，交于，连接，以为圆心，长为半径画圆，即可求解；能根据三角形的外心的性质找出圆心的位置是解题的关键． 【详解】解：如图， 为所求作的图形． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 2．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆： ∴最多可画出圆的个数为6个． 故选：． 3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 4．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 二、填空题 6．已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的重心和外心，掌握等腰直角三角形的性质和三角形外接圆的半径的求法是解题关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再由重心的性质即可得出结果． 【详解】解：如图等腰直角三角形，，为外心，为重心， ∴， ∴， ∵为重心， ∴， 故答案为：． 7．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 8．如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 9．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 图见解析；为直径，故圆心必在上，再做的中垂线，其与交点便为圆心 【分析】本题考查了作图，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，可求出、、的长度，可得其恰好符合勾股定理，得出的度数； （2）因为点，，是圆上三点，故作的外心（即边长中垂线的交点）即可确定圆心； 【详解】解：（1）连接，如下图： 可得，，， ∵，故为直角三角形， ∴， 故答案为：． （2）解：作的中垂线，与的交点即为的外心，故为的圆心，见下图： 由（1）可判断为直径，故圆心必在上，再作的中垂线，其与交点便为圆心． 10．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 三、解答题 11．如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形的外心的定义，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据外心的定义可得外心P是三角形三边垂直平分线的交点，即作出的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求： 12．如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 13．如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 14．如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【分析】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证； （2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可； ②根据锐角三角形外心的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②． ∵的外心在其内部， ∴为锐角三角形， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05确定圆的条件 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.过点作圆的规律探究：探究平面内过一点、两点、三点的作圆情况，归纳作圆数量与圆心分布规律，理解作圆的核心原理，为核心定理推导铺垫基础。 2.三点定圆核心定理：掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”核心定理，明确定理适用前提与核心内涵，掌握基础应用场景。 3.三角形外接圆与外心：掌握三角形外接圆、内接三角形、外心的基础定义，熟练掌握外接圆标准作图方法、外心核心性质，熟记三类三角形的外心位置规律。 ✅本节核心重点为多点作圆规律、三点定圆定理、三角形外接圆作图与外心性质，知识点无超纲、无遗漏，聚焦课本必考基础考点，夯实圆与三角形结合的几何基础。 ✺学习目标： 知识要求：1.熟练掌握过一点、两点、三点的作圆规律，明确不同条件下的作圆个数与圆心分布特征。 2.熟记三点定圆核心定理，精准掌握“三点不共线”的必备前提条件。 3.理解外接圆、内接三角形、外心的概念，掌握三角形外接圆规范作图方法，厘清概念关联。 能力要求：1.能通过作图推导作圆规律，理解几何定理的推导逻辑，形成基础几何思维。 2.能运用三点定圆定理判断三点是否共圆，解决基础判断、作图类题型。 3.熟练完成三角形外接圆作图，能根据三角形类型判断外心位置，进行简单几何推理。 应试要求：熟练掌握本节全部基础考点，吃透多点作圆规律判断、三点定圆定理辨析、三角形外接圆尺规作图、外心定义与性质等核心知识，能够熟练应对选择、填空、基础作图类常见题型，筑牢本节几何核心考点。 ✺题型归纳： 题型1.确定圆心（尺规作图） 题型2.求能确定的圆的个数 题型3.三角形外接圆的概念辨析 题型4.求三角形外心坐标 题型5.求特殊三角形外接圆的半径 题型6.已知外心的位置判断三角形的形状 题型7.判断三角形外接圆的圆心位置 题型8.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、过平面内多点作圆的规律 ▶作圆的核心本质：确定圆心和半径，平面内作经过定点的圆，关键是找到平面内到所有定点距离都相等的点，该点即为所作圆的圆心，该点到定点的距离即为圆的半径。 1. 过一个点作圆：经过平面内任意一个已知点，可以作出无数个圆，平面内除该定点外的任意一点都可以作为圆心，圆心到该定点的距离为圆的半径。 2. 过两个点作圆：经过平面内任意两个不重合的点，可以作出无数个圆，所有圆的圆心都在这两个点所连线段的垂直平分线上，圆心到任意一个定点的距离为圆的半径。 3.过三个点作圆： （1）当三个点在同一条直线上时，无法找到可以同时经过这三个点的圆，因此共线的三点不能确定一个圆； （2）当三个点不在同一条直线上时，有且只有一个圆能够同时经过这三个点。 知识点二、确定圆的条件（核心定理） 1.定理内容：不在同一直线上的三个点确定一个圆。（核心定理） 2.定理前提：三个点不共线， ★若三点在同一直线上，不存在同时经过三点的圆，无法确定圆。 3.定理解读：在同一平面内，不共线的三个点位置固定后，只能对应唯一一个圆，有且只有一个圆能够同时经过这三个定点。 知识点三、三角形的外接圆与外心 1.核心定义 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 内接三角形：如果一个三角形的三个顶点都在同一个圆上，那么这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 2.外心核心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，这三条相等的线段的长度，就是三角形外接圆的半径。 3.不同三角形的外心位置 （1）锐角三角形：外心落在三角形的内部；见下图1 （2）直角三角形：外心落在斜边的中点上，此时三角形的斜边即为外接圆的直径；见下图2 （3）钝角三角形：外心落在三角形的外部。见下图3 4.基础固定结论 ① 任意一个三角形有且只有一个外接圆，因此任意三角形都存在唯一的外心； ② 同一个圆可以作出无数个内接三角形，所有内接三角形的外接圆都为同一个圆。 5.三角形外接圆标准作图 ▶作图原理：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，只需作出三角形任意两条边的垂直平分线，即可确定外接圆的圆心位置。 ▶作图步骤： ① 选取三角形任意两条边，分别使用尺规作图的方法作出两条边的垂直平分线； ② 两条垂直平分线相交得到的交点，就是三角形的外心，也就是外接圆的圆心； ③ 以该交点为圆心，以交点到三角形任意一个顶点的线段长度为半径画圆； ④ 最终画出的圆，就是该三角形的外接圆。 ▶作图要点：尺规作三角形外接圆时，无需作出三条边的垂直平分线，两条即可确定圆心位置，作图过程必须保留垂直平分线的辅助作图痕迹。 6.核心易错辨析 ❌ 常见误区：任意三个点都可以确定一个圆。 ✅ 课本正解：只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，共线三点无法作圆。 ❌ 常见误区：三角形的外心到三角形三边的距离相等。 ✅ 课本正解：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的点是三角形的内心。 ✺题型◆精讲 题型1.确定圆心（尺规作图） 1．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 _____． 3．中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    题型2.求能确定的圆的个数 1．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 2．过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 3．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 题型3.三角形外接圆的概念辨析 1．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 2．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 3．如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 题型4.求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    3．如图，在直角坐标系中，点的坐标分别是，． (1)外接圆的圆心坐标是______． (2)画出绕点顺时针旋转后所得的图形． 题型5.求特殊三角形外接圆的半径 1．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 2．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 3．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 题型6.已知外心的位置判断三角形的形状 1．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 3．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 题型7.判断三角形外接圆的圆心位置 1．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 3．如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为______． 7．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 8．如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 9．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 10．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 三、解答题 11．如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 12．如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 13．如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 14．如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $