专题10.3 整式的加减【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题10.3 整式的加减（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解整式加减的运算法则，能熟练进行去括号、合并同类项。 · 掌握整体代入法求代数式的值，体会整体思想。 · 能运用整式加减解决图形周长、面积等实际问题。 · 理解“不含某项”“值与字母无关”等条件，并能列方程求参数。 · 能处理新定义、正整数等综合问题，提升代数推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 整式加减的法则 去括号法则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“−”号，去括号后各项符号都改变。 合并同类项法则：系数相加，字母及指数不变。 · 整式加减的实质是去括号、合并同类项。 · 注意符号，尤其是括号前是负号时，要变号。 ※ 典型例题 1 题目：化简：3(-a²b+2ab²) − 2(3ab²−a²b)。 解析：原式 = −3a²b+6ab² − 6ab² + 2a²b = −a²b。 答案：−a²b ☆ 2. 整体思想 在整式加减中，有时将某个式子看作一个整体，可简化运算。常应用于整体代入求值。 · 把已知条件中的式子作为整体，代入所求代数式。 · 注意变形技巧，如将 2x²+xy+y² 拆分成已知式的组合。 ※ 典型例题 2 题目：已知 x²−xy=4，3xy+y²=3，求 2x²+xy+y² 的值。 解析：2x²+xy+y² = 2(x²−xy) + (3xy+y²) = 2×4 + 3 = 11。 答案：11 ☆ 3. 整式加减的应用 用整式表示实际问题中的数量关系，如周长、面积、和差等。常通过图形分析，列代数式并化简。 · 根据图形中的线段关系，用字母表示未知长度。 · 利用周长、面积公式，列出整式并化简。 ※ 典型例题 3 题目：如图，大长方形的长为 m，宽为 n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），求阴影部分的周长之和。 （图形描述：大长方形内放置6个小长方形，阴影部分为未被覆盖的四个角） 解析：设小长方形长为 a，宽为 b。通过平移，阴影周长可化为大长方形周长与内部线段的关系，最终化简得 6n。 答案：6n ☆ 4. 无关型问题 若整式化简后不含某一项，或与某个字母的取值无关，则该项系数为0。据此可列方程求参数。 · 先合并同类项，将含参项系数用参数表示。 · 令指定项的系数为0，解方程。 ※ 典型例题 4 题目：已知多项式 (2x²+ax−y+6) − (bx²−2x+5y−1) 的值与 x 的取值无关，求 a、b 的值。 解析：化简得 (2−b)x² + (a+2)x − 6y + 7。与 x 无关，则 2−b=0，a+2=0，解得 b=2，a=−2。 答案：a=−2，b=2 ☑ 知识总结表 核心概念 法则/方法 注意事项 去括号 括号前是“+”，不变号；是“−”，都变号 注意符号，特别是负号后 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 只有同类项才能合并 整体思想 将某式看作整体，代入或合并 注意整体符号变化 不含某项 该项系数为0，列方程 需先合并同类项 图形问题 根据图形列代数式，化简 注意线段关系 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】整式的加减（第1–5题） ※方法总结 · 先去括号，再合并同类项。 · 注意符号，特别是括号前为负号时。 · 整体代入时，将已知式整体代入。 1．（2026春•沙坪坝区月考）已知x2﹣xy＝4，3xy+y2＝3，则2x2+xy+y2的值是（　　） A．8 B．2 C．11 D．13 2．（2026•长沙一模）用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•左权县期末）下列计算正确的是（　　） A．5mn﹣mn＝4 B．3m2﹣2m2＝m2 C．m﹣（n+2）＝m﹣n+2 D．3mn2﹣3m2n＝0 4．（2025秋•马边县期末）若关于x的多项式8x2+nx减去多项式mx2+5x+3其结果为常数项，则m+n的运算结果是（　　） A．40 B．13 C．3 D．﹣13 5．（2025秋•清苑区期末）王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如表所示的一个多项式，则所捂的多项式为（　　） +（﹣x+3）＝x2+3x﹣1 A．x2+4x﹣4 B．﹣2x2﹣2x﹣2 C．x2﹣x﹣2 D．﹣x2﹣2x+4 【考点2】算得准不准（第6–11题） ※方法总结 · 严格按照运算法则计算。 · 注意乘方、绝对值的优先级。 · 新定义运算，按定义转化为常规运算。 6．（2026春•昌平区期中）计算：2x+2（7x﹣2y）﹣2（x+6y）． 7．（2026•河西区校级开学）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝a﹣2b，例如：2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4． （1）求﹣3⊕2的值； （2）先化简，再求值：（x﹣2y）⊕（x+2y），其中x＝﹣1，y＝2． 8．（2026•江北区校级开学）计算： （1）4a﹣3b﹣2（2a+b﹣1）； （2）． 9．（2025秋•山西校级期末）（1）计算：． （2）已知A＝2x2﹣xy+2y2，B＝4x2+3xy﹣6y2．求2A﹣B的值． 10．（2025秋•南充校级月考）化简： （1）3（﹣a2b+2ab2）﹣2（3ab2﹣a2b）； （2）． 11．（2025秋•成都校级期末）已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2． （1）求； （2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式． 【考点3】图形问题（第12–20题） 方法总结： · 利用图形中的相等关系表示未知长度。 · 列出周长、面积代数式并化简。 · 整体思想在图形中也常用。 12．（2026•青秀区校级模拟）有五张大小相同的长方形卡片（如图①）：现按图②的放法将它们平铺放置在一个长方形（长比宽多2）的纸板上，每张长方形卡片的宽为a、长为b，纸板未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中阴影部分的周长可用a、b表示为（　　） A．10a+4b B．14a+4b C．4a+14b﹣8 D．14a+4b﹣8 13．（2025秋•上城区期末）如图，图1中的①、②、③、④号图形均为正方形，若按图2的方式将①、②、③号正方形放置在④号正方形中，则要求出没有被三个小正方形覆盖的阴影部分的周长和，则需知道下列哪个正方形的边长（　　） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 14．（2025秋•余姚市期末）如图，一个大长方形被分割成五个小长方形，④号和⑤号均为正方形．已知⑤号正方形的边长为1，②号小长方形的长与宽差3．若想求得大长方形的面积，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法： 甲说：只需要知道小长方形①的周长； 乙说：只需要知道小长方形①与③的周长差； 丙说：只需要知道小长方形②与④的周长和； 丁说：只需要知道大长方形的周长； 下列说法正确的是（　　） A．只有甲正确 B．甲和乙均正确 C．乙、丙和丁均正确 D．甲、丙和丁均正确 15．（2025秋•嵊州市期末）如图所示，在两个形状、大小完全相同的大长方形内分别互不重叠地放入5个如图③的小长方形后得到图①、图②．已知大长方形的宽为a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（　　）（用含a的代数式表示） A． B． C． D． 16．（2025秋•萍乡期末）从边长为（a+5）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为（　　） A．2a+12 B．4a+12 C．2a+20 D．4a+20 17．（2026春•浙江期中）有两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将长为a纸条的与长为b纸条的叠合在一起，形成长为90的纸条，则a+b＝　 　 ． 18．（2025秋•营山县期末）如图，将6个形状大小完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y．将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n满足的等量关系是　 　 ． 19．（2026春•南阳校级月考）如图，公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽AB为　 　 米，花圃的长BC为　 　 米；（用含a，b的代数式表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示） （3）若a＝6，b＝1，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？ 20．（2025秋•海阳市期末）根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下：在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【考点4】正整数（第21–24题） ※方法总结 · 理解新定义，转化为整式运算。 · 利用整除、倍数等性质列方程。 · 注意各数位数字的取值范围和限制。 21．（2026•温江区模拟）若一个各数位均不为0的四位自然数M，且M满足千位与十位相同，百位与个位相同，那么我们称这个数为“满意数”．将“满意数”M的千位与百位交换位置，十位与个位交换位置后得到一个新的“满意数”M′，记，则F（8383）＝　 　 ；若P、Q都是“满意数”，其中（1≤y＜x≤9，1≤m＜x≤9且x，y，m均为整数），若P能被5整除，且F（P）﹣F（Q）＝18，则P﹣Q的值为　 　 ． 22．（2026春•重庆期中）对于一个四位正整数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字与个位数字的平方和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“勾股形数”．如：四位数3254，∵32+42＝25，∴3254是“勾股形数”；四位数7846，∵72+62＝85≠84，∴7846不是“勾股形数”，则最小的四位“勾股形数”为　 　 ．对于一个“勾股形数”，记F（M）＝M﹣10a2﹣10d2能被9整除，为整数，则M的最大值与最小值的和为　 　 ． 23．（2026春•铜梁区校级期中）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x），例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）431．则f（4652）＝　 　 ．若s＝1230+a（1≤a≤9，a是整数），t＝4500+b（1≤b≤9，b是整数），若f（s）+f（t）能被3整除，求满足条件的f（t）的最大值是　 　 ． 24．（2026春•重庆期中）对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的十位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是　 　 ；若“精益数”，规定将p的十位数字与百位数字之差记为G（P）．若正整数s，t都是“精益数”，其中s＝1000n+10m+517，t＝10x+2y+3390，（2≤m≤8，1≤n≤9，1≤x≤9，1≤y≤4，且m，n，x，y是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数s和t的和为　 　 ． 【考点5】创新及压轴题（第25–27题） ※方法总结 · “错看”问题：根据错误结果反推正确结果。 · “无关”问题：令相关项系数为0。 · “新定义”问题：严格按定义列式。 · 综合运用整式加减、方程等知识。 25．（2025秋•卢龙县期末）已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1） （1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值． 26．（2025秋•嵩县期末）已知多项式A，B，其中B＝5x2+3x﹣4，马小虎同学在计算“3A+B”时，误将“3A+B”看成了“A+3B”，求得的结果为12x2﹣6x+7． （1）求多项式A； （2）求出3A+B的正确结果； （3）当x时，求3A+B的值． 27．（2026春•广平县月考）在“趣味数学”社团活动上，小星设计了如图所示的卡片游戏，在卡片上写上式子，将相邻两张卡片上的式子的和告诉参与者． （1）小芳参与了游戏，小星在卡片A，B，C上写了三个根式，让小芳判断哪张卡片上的根式最大，小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的根式的和简记如下：，，，则卡片　 　 （填字母）上的根式最大； （2）小冀也参与了游戏，小星在卡片A，B，C上写了三个整式．小冀将小星告诉他的相邻两张卡片上的整式的和简记如下：（B，C）＝x2+4，（A，C）＝x2+5x+1，小星还告诉小冀C卡片上写的整式为x2+2x+1． ①请你帮小冀求卡片A，B上写的整式； ②若卡片A，B上写的整式的和等于4，求x的值． 随堂检测 · 精选练习 练习1：整式加减运算练习2：图形周长探究练习3：整式加减化简练习4：不含项求参数练习5：阴影部分周长 【练习1】（2026春•瑞安市期中）在数学探究课上，某数学兴趣小组围绕“四个连续偶数的数值确定”展开探究．设这四个连续偶数依次为2n，2n+2，2n+4，2n+6（n为整数），若想通过其中相关数值的关系确定这四个偶数的具体数值，下列选项中，能实现这一目的的是（　　） A．两个中间数的差 B．最大数和最小数的乘积与两个中间数的乘积的差 C．最大数和最小数的差 D．两个较大数的乘积与两个较小数的乘积的差 【练习2】（2026春•新昌县期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为（y﹣12）cm； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（x﹣y+4）cm； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【练习3】（2026•娄底一模）化简5（x+y）﹣3（x﹣y）＝　 　 ． 31．（2026•渠县校级开学）已知多项式A【练习4】（2026•渠县校级开学）已知多项式x2+2xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，若A﹣2B中不含x2项和y项，则m+n的值为　 　 ． 【练习5】（2025秋•玄武区校级期末）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：合并同类项判断作业2：图形周长差作业3：不含x,y求值作业4：错看问题作业5：不含x²项作业6：星空数新定义作业7：图形阴影周长作业8：对消多项式作业9：错看与无关作业10：图形面积比 ❤ 复习建议 夯实基础运算：熟练掌握去括号、合并同类项，注意符号。 灵活运用整体思想：在求值题中，将已知式整体代入，简化计算。 图形问题抓关键：从图形中找出相等关系，用字母表示未知量。 无关问题列方程：化简后令相关项系数为0，是求参数的通用方法。 新定义不畏惧：仔细阅读定义，转化为常规整式运算。 【作业1】（2025秋•洛阳期末）下列计算正确的是（　　） A．2x﹣x＝2 B．﹣7m﹣3m＝﹣4m C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a﹣2b D． 【作业2】（2025秋•南关区期末）如图①，有两张形状、大小完全相同的长方形卡片，长、宽分别为a、b（其中a＞b），现将两张卡片按图②放置在一个大长方形中，大长方形未被覆盖部分为A和B，它们的周长分别为∁A、∁B，则∁A﹣∁B的结果为（　　） A．4a﹣4b B．4a﹣2b C．2a﹣2b D．2a﹣4b 【作业3】（2025秋•武城县期末）已知多项式2x2+my﹣12与多项式nx2﹣3y+6的差中不含有x，y，则m+n+mn的值（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．11 D．1 【作业4】（2025秋•上海校级期末）小马虎在计算一次式﹣3x+1与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是2x﹣3，则正确的答案是 　 　 ． 【作业5】（2025秋•龙亭区校级期末）已知关于x的多项式6x2﹣2x2+9x﹣（3ax2﹣5x+2）的取值不含x2项，那么a的值是 　 　 ． 【作业6】（2025秋•沙坪坝区校级期末）我们规定：一个四位数M，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足a+c＝b+d，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为3+5＝7+1，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是　 　 ；一个“星空数”M，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为P（M），M的百位数字与个位数字组成的两位数记为Q（M）．若P（M）+Q（M）被5除余2，且P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是　 　 ． 【作业7】（2025秋•遵义期末）如图，大长方形ABCD的长为acm，宽为bcm，现将六个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙）．若图中阴影部分的周长之和为30cm，则长方形ABCD的宽b为　 　 ． 【作业8】（2026春•无锡期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如M＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是　 　 （填序号）； ①3x2+2x与﹣3x2+2；②x﹣6与﹣x+2． （2）多项式﹣5x2y3+2xy与5x2y3﹣2xy的“对消值”为　 　 ． （3）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【作业9】（2025秋•哈尔滨期末）已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc． （1）计算B的表达式； （2）求正确的结果的表达式； （3）小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a，b，求（2）中代数式的值． 【作业10】（2025秋•江北区校级期中）将若干个长为m、宽为n的甲种小长方形纸片和长为a、宽为b的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． （1）如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形ABCD，其中AD＝27，BE＝x． ①若n＝4，则m＝　 　 ，此时，DP＝　 　 （用含x代数式表示）； ②是否存在符合条件的n，使得长方形BEFG的周长等于长方形DPQH的周长？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． （2）如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形A′B′C′D′中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 整式的加减（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解整式加减的运算法则，能熟练进行去括号、合并同类项。 · 掌握整体代入法求代数式的值，体会整体思想。 · 能运用整式加减解决图形周长、面积等实际问题。 · 理解“不含某项”“值与字母无关”等条件，并能列方程求参数。 · 能处理新定义、正整数等综合问题，提升代数推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 整式加减的法则 去括号法则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“−”号，去括号后各项符号都改变。 合并同类项法则：系数相加，字母及指数不变。 · 整式加减的实质是去括号、合并同类项。 · 注意符号，尤其是括号前是负号时，要变号。 ※ 典型例题 1 题目：化简：3(-a²b+2ab²) − 2(3ab²−a²b)。 解析：原式 = −3a²b+6ab² − 6ab² + 2a²b = −a²b。 答案：−a²b ☆ 2. 整体思想 在整式加减中，有时将某个式子看作一个整体，可简化运算。常应用于整体代入求值。 · 把已知条件中的式子作为整体，代入所求代数式。 · 注意变形技巧，如将 2x²+xy+y² 拆分成已知式的组合。 ※ 典型例题 2 题目：已知 x²−xy=4，3xy+y²=3，求 2x²+xy+y² 的值。 解析：2x²+xy+y² = 2(x²−xy) + (3xy+y²) = 2×4 + 3 = 11。 答案：11 ☆ 3. 整式加减的应用 用整式表示实际问题中的数量关系，如周长、面积、和差等。常通过图形分析，列代数式并化简。 · 根据图形中的线段关系，用字母表示未知长度。 · 利用周长、面积公式，列出整式并化简。 ※ 典型例题 3 题目：如图，大长方形的长为 m，宽为 n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），求阴影部分的周长之和。 （图形描述：大长方形内放置6个小长方形，阴影部分为未被覆盖的四个角） 解析：设小长方形长为 a，宽为 b。通过平移，阴影周长可化为大长方形周长与内部线段的关系，最终化简得 6n。 答案：6n ☆ 4. 无关型问题 若整式化简后不含某一项，或与某个字母的取值无关，则该项系数为0。据此可列方程求参数。 · 先合并同类项，将含参项系数用参数表示。 · 令指定项的系数为0，解方程。 ※ 典型例题 4 题目：已知多项式 (2x²+ax−y+6) − (bx²−2x+5y−1) 的值与 x 的取值无关，求 a、b 的值。 解析：化简得 (2−b)x² + (a+2)x − 6y + 7。与 x 无关，则 2−b=0，a+2=0，解得 b=2，a=−2。 答案：a=−2，b=2 ☑ 知识总结表 核心概念 法则/方法 注意事项 去括号 括号前是“+”，不变号；是“−”，都变号 注意符号，特别是负号后 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 只有同类项才能合并 整体思想 将某式看作整体，代入或合并 注意整体符号变化 不含某项 该项系数为0，列方程 需先合并同类项 图形问题 根据图形列代数式，化简 注意线段关系 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】整式的加减（第1–5题） ※方法总结 · 先去括号，再合并同类项。 · 注意符号，特别是括号前为负号时。 · 整体代入时，将已知式整体代入。 1．（2026春•沙坪坝区月考）已知x2﹣xy＝4，3xy+y2＝3，则2x2+xy+y2的值是（　　） A．8 B．2 C．11 D．13 【分析】将所求代数式整理为已知两个等式的组合形式，再代入计算即可． 【解答】解：∵3xy+y2＝3，x2﹣xy＝4， ∴原式＝2x2﹣2xy+3xy+y2 ＝2（x2﹣xy）+（3xy+y2） ＝2×4+3 ＝11． 故选：C． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2026•长沙一模）用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题按照题目描述的运算顺序，逐步拆解列出代数式，先计算倍数，再计算差，最后计算差的一半即可得到结果． 【解答】解：∵a的3倍可表示为 3a， ∴a的3倍与b的差可表示为 3a﹣b， ∴上述差的一半可表示为 ， 则用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了整式的加减，列代数式，熟练掌握用代数式表示式是关键． 3．（2025秋•左权县期末）下列计算正确的是（　　） A．5mn﹣mn＝4 B．3m2﹣2m2＝m2 C．m﹣（n+2）＝m﹣n+2 D．3mn2﹣3m2n＝0 【分析】逐一判断是否计算正确即可． 【解答】解：根据去括号，合并同类项，正确进行计算如下： A．5mn﹣mn＝4mn，原计算错误，不符合题意； B．3m2﹣2m2＝m2，原计算正确，符合题意； C．m﹣（n+2）＝m﹣n﹣2，原计算错误，不符合题意； D．3mn2与﹣3m2n不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了去括号，合并同类项，正确进行计算是解题关键． 4．（2025秋•马边县期末）若关于x的多项式8x2+nx减去多项式mx2+5x+3其结果为常数项，则m+n的运算结果是（　　） A．40 B．13 C．3 D．﹣13 【分析】根据结果为常数项，得出二次项与一次项的系数为0，进而求出m、n的值，再计算m+n的结果． 【解答】解：原式＝8x2+nx﹣mx2﹣5x﹣3 ＝（8﹣m）x2+（n﹣5）x﹣3， 由条件可知二次项系数8﹣m＝0，一次项系数n﹣5＝0， 解得m＝8，n＝5， ∴m+n＝8+5＝13， 故选：B． 【点评】本题考查多项式的加减运算，熟练掌握运算法则是关键． 5．（2025秋•清苑区期末）王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如表所示的一个多项式，则所捂的多项式为（　　） +（﹣x+3）＝x2+3x﹣1 A．x2+4x﹣4 B．﹣2x2﹣2x﹣2 C．x2﹣x﹣2 D．﹣x2﹣2x+4 【分析】根据图形可以列出算式（x2+3x﹣1）﹣（﹣x+3），然后计算即可． 【解答】解：（x2+3x﹣1）﹣（﹣x+3） ＝x2+3x﹣1+x﹣3 ＝x2+4x﹣4， 即所捂的多项式为x2+4x﹣4， 故选：A． 【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【考点2】算得准不准（第6–11题） ※方法总结 · 严格按照运算法则计算。 · 注意乘方、绝对值的优先级。 · 新定义运算，按定义转化为常规运算。 6．（2026春•昌平区期中）计算：2x+2（7x﹣2y）﹣2（x+6y）． 【分析】根据整式的加减法则进行计算是即可． 【解答】解：原式＝2x+14x﹣4y﹣2x﹣12y ＝14x﹣16y． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 7．（2026•河西区校级开学）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝a﹣2b，例如：2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4． （1）求﹣3⊕2的值； （2）先化简，再求值：（x﹣2y）⊕（x+2y），其中x＝﹣1，y＝2． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，再代入x，y，然后代入计算即可． 【解答】解：（1）由题意得： ﹣3⊕2 ＝﹣3﹣2×2 ＝﹣7； （2）（x﹣2y）⊕（x+2y） ＝（x﹣2y）﹣2（x+2y） ＝x﹣2y﹣2x﹣4y ＝﹣x﹣6y， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝﹣（﹣1）﹣6×2＝﹣11． 【点评】本题考查了新定义，整式的加减，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． 8．（2026•江北区校级开学）计算： （1）4a﹣3b﹣2（2a+b﹣1）； （2）． 【分析】（1）根据整式的计算法则进行计算是解题即可； （2）根据有理数的计算法则进行计算是解题即可； 【解答】解：（1）4a﹣3b﹣2（2a+b﹣1） ＝4a﹣3b﹣4a﹣2b+2 ＝（4a﹣4a）+（﹣3b﹣2b）+2 ＝﹣5b+2； （2） ． 【点评】本题考查整式的计算，正确进行计算是解题关键． 9．（2025秋•山西校级期末）（1）计算：． （2）已知A＝2x2﹣xy+2y2，B＝4x2+3xy﹣6y2．求2A﹣B的值． 【分析】（1）先化简绝对值并计算乘方，再计算乘除法，最后算加减； （2）代入A＝2x2﹣xy+2y2，B＝4x2+3xy﹣6y2，然后去括号合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式 ＝3﹣9﹣4 ＝﹣10； （2）∵A＝2x2﹣xy+2y2，B＝4x2+3xy﹣6y2， ∴2A﹣B ＝2（2x2﹣xy+2y2）﹣（4x2+3xy﹣6y2） ＝4x2﹣2xy+4y2﹣4x2﹣3xy+6y2 ＝10y2﹣5xy． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，掌握相关运算法则准确的计算是解题的关键． 10．（2025秋•南充校级月考）化简： （1）3（﹣a2b+2ab2）﹣2（3ab2﹣a2b）； （2）． 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）3（﹣a2b+2ab2）﹣2（3ab2﹣a2b） ＝﹣3a2b+6ab2﹣6ab2+2a2b ＝﹣a2b； （2）原式＝xy2﹣（x+3y+xy2﹣3x） ＝xy2﹣x﹣3y﹣xy2+3x ＝2x﹣3y． 【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． 11．（2025秋•成都校级期末）已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2． （1）求； （2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式． 【分析】（1）将A、B代入式子计算即可； （2）因为2A﹣3B+C＝0，所以C＝3B﹣2A，将A、B代入式子计算即可． 【解答】解：（1）因为A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2， ； （2）因为2A﹣3B+C＝0， 所以C＝3B﹣2A， 因为A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2， 所以C＝3B﹣2A ＝3（3a2﹣6ab+b2）﹣2（a2+2ab+b2） ＝9a2﹣18ab+3b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝7a2﹣22ab+b2． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 【考点3】图形问题（第12–20题） 方法总结： · 利用图形中的相等关系表示未知长度。 · 列出周长、面积代数式并化简。 · 整体思想在图形中也常用。 12．（2026•青秀区校级模拟）有五张大小相同的长方形卡片（如图①）：现按图②的放法将它们平铺放置在一个长方形（长比宽多2）的纸板上，每张长方形卡片的宽为a、长为b，纸板未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中阴影部分的周长可用a、b表示为（　　） A．10a+4b B．14a+4b C．4a+14b﹣8 D．14a+4b﹣8 【分析】根据题目中的数据和图形，可以表示出阴影部分的周长，然后化简即可． 【解答】解：设图②中大长方形的长为x，则宽为x﹣2， 阴影部分的周长为：2x+2（x﹣2﹣2a）+2（x﹣2﹣b） ＝2x+2x﹣4﹣4a+2x﹣4﹣2b ＝6x﹣4a﹣2b﹣8， 又∵x＝3a+b， ∴6x﹣4a﹣2b﹣8 ＝6（3a+b）﹣4a﹣2b﹣8 ＝18a+6b﹣4a﹣2b﹣8 ＝14a+4b﹣8， 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减、利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 13．（2025秋•上城区期末）如图，图1中的①、②、③、④号图形均为正方形，若按图2的方式将①、②、③号正方形放置在④号正方形中，则要求出没有被三个小正方形覆盖的阴影部分的周长和，则需知道下列哪个正方形的边长（　　） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【分析】设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，结合图1分别表示出③号，④号正方形的边长，然后结合图2分别表示出左上角阴影部分的边长，右下角的阴影部分的长与宽，计算出两个阴影部分的周长之和即可． 【解答】解：设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为（x+y），④号正方形的边长为（2x+y），则 左上角阴影部分的长为（2x+y）﹣x﹣y＝x，宽为（2x+y）﹣（x+y）＝x，即是一个边长为x的正方形， 右下角阴影是一个边长为（2x+y）﹣y＝2x，宽为（2x+y）﹣（x+y）＝x的长方形． ∴两个阴影的周长和为：4x+2×（2x+x）＝10x，与①号边长有关． 故选：A． 【点评】此题考查整式加减和列代数式，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 14．（2025秋•余姚市期末）如图，一个大长方形被分割成五个小长方形，④号和⑤号均为正方形．已知⑤号正方形的边长为1，②号小长方形的长与宽差3．若想求得大长方形的面积，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法： 甲说：只需要知道小长方形①的周长； 乙说：只需要知道小长方形①与③的周长差； 丙说：只需要知道小长方形②与④的周长和； 丁说：只需要知道大长方形的周长； 下列说法正确的是（　　） A．只有甲正确 B．甲和乙均正确 C．乙、丙和丁均正确 D．甲、丙和丁均正确 【分析】根据题意，可以设②号小长方形的宽为a，④号正方形边长为b，然后即可表示出其它的小长方形的长和宽，从而本题得以解决． 【解答】解：设②号小长方形的宽为a，④号正方形边长为b，则②号小长方形的长为a+3， ∵⑤号正方形边长为1， ∴①号小长方形的宽为b﹣1，长为a+4，③号小长方形的宽为a﹣1，长为b+1，大长方形的长为a+b+4，宽为a+b﹣1， ∴①号小长方形的周长为2（b﹣1+a+4）＝2（a+b）+6， ③号小长方形的周长为2（b+1+a﹣1）＝2（a+b）， 小长方形①与③的周长差为2（a+b）+6﹣2（a+b）＝6， 小长方形②与④的周长和为2（a+3+a）+4b＝4（a+b）+6， 大长方形的周长为2（a+b+4+a+b﹣1）＝4（a+b）+6， 大长方形的面积为（a+b+4）（a+b﹣1）， ∴要算出这个大矩形的面积只需要知道a+b的值即可， ∴知道小长方形①的周长；小长方形②与④的周长和；大长方形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积， 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，表示出各个小矩形的长和宽． 15．（2025秋•嵊州市期末）如图所示，在两个形状、大小完全相同的大长方形内分别互不重叠地放入5个如图③的小长方形后得到图①、图②．已知大长方形的宽为a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（　　）（用含a的代数式表示） A． B． C． D． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为b，表示出x、y、a、b之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可． 【解答】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的长为b． 根据题意得：x+y＝a，x＝4y，b＝x+3y，即，b＝7y， 图①中阴影部分的周长4a+2（b﹣x）＝4a+2b﹣2x， 图②中阴影部分的周长为2（a﹣x）+2（b﹣x﹣y）+2（a﹣y）+2（b﹣2y）＝4a+4b﹣4x﹣8y， 则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长之差为： （4a+2b﹣2x）﹣（4a+4b﹣4x﹣8y） ＝4a+2b﹣2x﹣4a﹣4b+4x+8y ＝﹣2b+2x+8y ＝﹣14y+8y+8y ＝2y ． 故选C． 【点评】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（2025秋•萍乡期末）从边长为（a+5）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为（　　） A．2a+12 B．4a+12 C．2a+20 D．4a+20 【分析】根据图形列出代数式，利用长方形的周长公式进行计算即可． 【解答】解：根据图形列出代数式为： 2（a+1）+2（a+5）+2（a+5﹣a﹣1） ＝2a+2+2a+10+2×4 ＝4a+20． 故选：D． 【点评】本题主要考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握长方形周长公式是解题的关键． 17．（2026春•浙江期中）有两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将长为a纸条的与长为b纸条的叠合在一起，形成长为90的纸条，则a+b＝　110　 ． 【分析】根据纸条的总长度为90，列出方程组，解方程组，得出，最后求出a+b的值即可． 【解答】解：长分别为a，b．如图，将长为a纸条的与长为b纸条的叠合在一起，形成长为90的纸条，则： 根据题意得：， 解得：， ∴a+b＝60+50＝110． 故答案为：110． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 18．（2025秋•营山县期末）如图，将6个形状大小完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y．将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n满足的等量关系是m＝2n ． 【分析】通过观察拼接图形，用小长方形的长x和宽y分别表示出G、H和A、B组成的长方形的边长，再代入周长公式，化简后即可推导出m与n的等量关系． 【解答】解：对于图形G的周长为2（x+x﹣y）＝4x﹣2y， 对于图形H的周长为2（3y+2y）＝10y， 则m＝4x﹣2y+10y＝4x+8y， 由n＝2（x+2y）＝2x+4y， 可知m＝2n． 故答案为：m＝2n． 【点评】本题考查长方形的周长公式，代数式的化简与等量关系推导，正确分析各图形的边长是解题关键． 19．（2026春•南阳校级月考）如图，公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽AB为　（a﹣b）　 米，花圃的长BC为　（2a﹣2b﹣1）　 米；（用含a，b的代数式表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示） （3）若a＝6，b＝1，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？ 【分析】（1）利用图中尺寸计算即可； （2）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式求出篱笆总长度； （3）直接将a和b代入第（2）问所得的式子中，将所得结果乘以篱笆的单价，得出篱笆的总价． 【解答】解：（1）公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃ABCD， AB＝（a﹣b）米，BC＝（2a﹣1）﹣2b＝（2a﹣2b﹣1）米， 故答案为：（a﹣b），（2a﹣2b﹣1）； （2）由图可得：花圃的长为（2 a﹣1﹣2 b）米，宽为（a﹣b）米； ∴篱笆的总长度为：（2a﹣1﹣2b）+2（a﹣b） ＝2a﹣1﹣2b+2a﹣2b ＝（4a﹣4b﹣1）米， 答：篱笆的总长度（4a﹣4b﹣1）米； （3）当a＝6，b＝1时，篱笆的总长度为4a﹣4b﹣1＝4×6﹣4×1﹣1＝19（米）， 篱笆的总价为19×50＝950（元）， 答：篱笆的总价为950元． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 20．（2025秋•海阳市期末）根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下：在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【分析】（1）设图1中小长方形的长为x，宽为y，表示出两图形中阴影部分的周长，求出之差列式即可求出y； （2）求出y，就能够求出大长方形的周长． 【解答】解：（1）设图1中小长方形的长为x，宽为y，则图2中大长方形的一边长为5y，另一边为4y，根据题意得：图3阴影部分周长：2（4y+5y﹣x）+2y＝20y﹣2x， 图4阴影部分周长：2（5y+4y﹣x）＝18y﹣2x，则（20y﹣2x）﹣（18y﹣2x）＝m，2y＝m，y， ∴小长方形的宽为：； （2）由（1）知，大长方形的周长＝2（4y+5y）＝18y， ∵y，∴18y＝9m， ∴大长方形（如图2）的周长是：9m． 【点评】本题考查了整式的加减，以及列代数式，掌握利用小长方形的长和宽表示大长方形的各边长是关键． 【考点4】正整数（第21–24题） ※方法总结 · 理解新定义，转化为整式运算。 · 利用整除、倍数等性质列方程。 · 注意各数位数字的取值范围和限制。 21．（2026•温江区模拟）若一个各数位均不为0的四位自然数M，且M满足千位与十位相同，百位与个位相同，那么我们称这个数为“满意数”．将“满意数”M的千位与百位交换位置，十位与个位交换位置后得到一个新的“满意数”M′，记，则F（8383）＝　45　 ；若P、Q都是“满意数”，其中（1≤y＜x≤9，1≤m＜x≤9且x，y，m均为整数），若P能被5整除，且F（P）﹣F（Q）＝18，则P﹣Q的值为　909　 ． 【分析】根据新定义，求得M'，根据所给方法可得F（8383）的值；分别表示出P和Q的值，进而求得F（P）和F（Q）的值，根据P能被5整除，且F（P）﹣F（Q）＝18进行推理，求得P﹣Q的值． 【解答】解：∵M＝8383， ∴M'＝3838， ∵， ∴； 由题意得：P＝1000x+100y+10x+y＝1010x+101y，Q＝1000m+100x+10m+x＝1010m+101x， ∴P'＝1000y+100x+10y+x＝101x+1010y，Q'＝1000x+100m+10x+m＝1010x+101m． ∴， F（Q）＝9m﹣9x， ∵P能被5整除， ∴1010x+101y是5的倍数， ∴y＝5， ∵F（P）﹣F（Q）＝18， ∴（9x﹣9y）﹣（9m﹣9x）＝18， ∴18x﹣9×5﹣9m＝18． ∴18x﹣9m＝63， ∴9（2x﹣m）＝9×7， ∴2x﹣m＝7， ∵P﹣Q＝（1010x+101y）﹣（1010m+101x）＝909x+101y﹣1010m，1≤y＜x≤9，1≤m＜x≤9， ∴若x＝9，则m＝11，（不合题意，舍去）； 若x＝8，则m＝9，（不合题意，舍去）； 若x＝7，则m＝7，（不合题意，舍去）； 若x＝6，则m＝5，y＝5； 若x＝5，则m＝3，y＝5，（不合题意，舍去）； 若x＝4，则m＝1，y＝5，（不合题意，舍去）； 当x＝6，y＝5，m＝5时，P﹣Q＝909×6+101×5﹣1010×5＝5454+505﹣5050＝909； ∴P﹣Q的值为909． 故答案为：45；909． 【点评】本题考查新定义的应用，整式的加减，掌握新定义的应用是解题的关键． 22．（2026春•重庆期中）对于一个四位正整数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字与个位数字的平方和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“勾股形数”．如：四位数3254，∵32+42＝25，∴3254是“勾股形数”；四位数7846，∵72+62＝85≠84，∴7846不是“勾股形数”，则最小的四位“勾股形数”为　1052　 ．对于一个“勾股形数”，记F（M）＝M﹣10a2﹣10d2能被9整除，为整数，则M的最大值与最小值的和为　8111　 ． 【分析】依据要求，最小的四位“勾股形数”千位数字应为1，个位数字至少应为2，但42＝16，符合题意；由题意可得a2+d2＝10b+c，F（M）＝999a+（a+d），则a+d只能是9，再就a与d的取值一一讨论并验证G（M）为整数即可． 【解答】解：最小的四位“勾股形数”千位数字应为1，个位数字至少应为2，但12+22＝5，满足题意，故最小的四位“勾股形数”为1052； 由条件可知a2+d2＝10b+c， ∴F（M）＝1000a+100b+10c+d﹣10（a2+d2） ＝1000a+100b+10c+d﹣10（10b+c） ＝999a+（a+d）， ∵F（M）＝M﹣10a2﹣10d2能被9整除， ∴a+d是9的倍数， 由题意得M的各个数位上的数字均不相等，则a+d＜18， ∴a+d只能是9， 当a＝9，d＝0时，M＝9810， 但不为整数，不符合题意； 当a＝8，d＝1时，M＝8651， 但不为整数，不符合题意； 当a＝7，d＝2时，M＝7532， 但不为整数，不符合题意； 当a＝6，d＝3时，M＝6453， 且为整数，符合题意； 此时M最大为6453； 当a＝1，d＝8时，M＝1658， 且为整数，符合题意； 此时M最小为1658； 而6453+1658＝8111， 即M的最大值与最小值的和为8111． 故答案为：1052，8111． 【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握该知识点是关键． 23．（2026春•铜梁区校级期中）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x），例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）431．则f（4652）＝　243　 ．若s＝1230+a（1≤a≤9，a是整数），t＝4500+b（1≤b≤9，b是整数），若f（s）+f（t）能被3整除，求满足条件的f（t）的最大值是　339　 ． 【分析】根据求代数式的值与变量整数值之间的关系，求解即可． 【解答】解：任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x），则： 由题意可得：； ∵s＝1230+a（1≤a≤9，a是整数）， ∴， ∵t＝4500+b（1≤b≤9，b是整数）， ∴， ∴f（s）+f（t）＝123﹣111a+450﹣111b＝573﹣111（a+b）， ∵f（s）+f（t）被3整除，由f（s）+f（t）＝573﹣111（a+b）可知，573和111都是3的倍数， ∴无论a，b取何值，f（s）+f（t）总能被3整除； ∴该条件对a，b的取值没有限制， ∵f（t）＝450﹣111b要取最大值， ∴b的值应最小， ∵1≤b≤9， ∴b＝1时，f（t）有最大值，f（t）＝450﹣111b＝450﹣111＝339； 故答案为：①243；②339． 【点评】本题考查了新定义问题，求代数式的值与变量整数值之间的关系，并结合所学知识灵活应用是解题关键． 24．（2026春•重庆期中）对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的十位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是　9876　 ；若“精益数”，规定将p的十位数字与百位数字之差记为G（P）．若正整数s，t都是“精益数”，其中s＝1000n+10m+517，t＝10x+2y+3390，（2≤m≤8，1≤n≤9，1≤x≤9，1≤y≤4，且m，n，x，y是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数s和t的和为　14004　 ． 【分析】根据“精益数”意义得到最大的“精益数”，然后根据题意可得s的千位为n，百位为5，十位为m+1，个位为7，t的千位为3，百位为4，十位为x﹣1，个位为2y，则有x＝2y，m＝n+1，进而问题可求解． 【解答】解：对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的十位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则： 求最大的“精益数”，需使高位数字尽可能大，且各数位数字互不相同，满足千位数字加个位数字等于百位数字加十位数字． 千位最大取9，百位最大取8，十位最大取7，则个位数字为8+7﹣9＝6，各数位9，8，7，6 互不相同，因此最大的“精益数”是9876． 由s＝1000n+10m+517 得：s＝1000n+5×100+10（m+1）+7，因此s的千位为n，百位为5，十位为m+1，个位为7． 由G（p） 定义得G（s）＝（m+1）﹣5＝m﹣4． 因为s是“精益数”，所以n+7＝5+（m+1），整理得m＝n+1． 由t＝10x+2y+3390 得：t＝3×1000+4×100+10（x﹣1）+2y，因此t的千位为3，百位为4，十位为x﹣1，个位为2y． 由G（p） 定义得G（t）＝（x﹣1）﹣4＝x﹣5． 因为t是“精益数”，所以3+2y＝4+（x﹣1），整理得x＝2y． 由条件能被3整除，结合1≤y≤4，y为整数，分情况讨论： ①当y＝1时，x＝2时，t＝3412，则x﹣5＝﹣3，可得能被3整除，即为整数． 结合2≤m≤8，m为整数，得m﹣4＝±1，即m＝3或m＝5． 当m＝3时，n＝2，s＝2547，符合条件． 当m＝5时，n＝4，s＝4567，符合条件． ②当y＝2时，x＝4，t的各位数字为3，4，3，4，不满足各数位上的数字互不相同，故t不是“精益数”，舍去． ③当y＝3时，x＝6，x﹣5＝1，可得能被3整除，不存在符合条件的整数m，舍去． ④当y＝4时，x＝8时，t＝3478，则x﹣5＝3，可得能被3整除，即为整数，得m﹣4＝±1，即m＝3或m＝5． 同理可求：s＝2547或s＝4567． 所有满足条件的不同正整数s为2547，4567，不同正整数t为3412，3478， 当能被3整除时，求满足条件的所有正整数s和t的和为： 2547+4567+3412+3478＝14004． 故答案为：9876；14004． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 【考点5】创新及压轴题（第25–27题） ※方法总结 · “错看”问题：根据错误结果反推正确结果。 · “无关”问题：令相关项系数为0。 · “新定义”问题：严格按定义列式。 · 综合运用整式加减、方程等知识。 25．（2025秋•卢龙县期末）已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1） （1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，得出a+2＝0，2﹣b＝0，求出即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可．） 【解答】解：（1）（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1） ＝2x2+ax﹣y+6﹣bx2+2x﹣5y+1 ＝（2﹣b）x2+（a+2）x﹣6y+7， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴a+2＝0，2﹣b＝0， ∴a＝﹣2；b＝2； （2）2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2） ＝2a2﹣2ab+2b2﹣a2﹣ab﹣2b2 ＝a2﹣3ab， 当a＝﹣2，b＝2时，原式＝4+12＝16． 【点评】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据合并同类项法则合并同类项是解此题的关键． 26．（2025秋•嵩县期末）已知多项式A，B，其中B＝5x2+3x﹣4，马小虎同学在计算“3A+B”时，误将“3A+B”看成了“A+3B”，求得的结果为12x2﹣6x+7． （1）求多项式A； （2）求出3A+B的正确结果； （3）当x时，求3A+B的值． 【分析】（1）因为A+3B＝12x2﹣6x+7，所以A＝12x2﹣6x+7﹣3B，将B＝5x2+3x﹣4代入即可求出A； （2）将（1）中求出的A与B＝5x2+3x﹣4代入3A+B，去括号合并同类项即可求解； （3）根据（2）的结论，把x代入求值即可． 【解答】解：（1）∵A+3B＝12x2﹣6x+7，B＝5x2+3x﹣4， ∴A＝12x2﹣6x+7﹣3B ＝12x2﹣6x+7﹣3（5x2+3x﹣4） ＝12x2﹣6x+7﹣15x2﹣9x+12 ＝﹣3x2﹣15x+19； （2）∵A＝﹣3x2﹣15x+19，B＝5x2+3x﹣4， ∴3A+B＝3（﹣3x2﹣15x+19）+5x2+3x﹣4 ＝﹣9x2﹣45x+57+5x2+3x﹣4 ＝﹣4x2﹣42x+53； （3）当x时， 3A+B＝﹣4×（）2﹣42×（）+53 14+53 ＝66． 【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是读懂题意，并正确进行整式的运算．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 27．（2026春•广平县月考）在“趣味数学”社团活动上，小星设计了如图所示的卡片游戏，在卡片上写上式子，将相邻两张卡片上的式子的和告诉参与者． （1）小芳参与了游戏，小星在卡片A，B，C上写了三个根式，让小芳判断哪张卡片上的根式最大，小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的根式的和简记如下：，，，则卡片C （填字母）上的根式最大； （2）小冀也参与了游戏，小星在卡片A，B，C上写了三个整式．小冀将小星告诉他的相邻两张卡片上的整式的和简记如下：（B，C）＝x2+4，（A，C）＝x2+5x+1，小星还告诉小冀C卡片上写的整式为x2+2x+1． ①请你帮小冀求卡片A，B上写的整式； ②若卡片A，B上写的整式的和等于4，求x的值． 【分析】（1）根据题意列出三元一次方程组，求解，再比较大小即可； （2）①根据题意列出三元一次方程组，求解即可； ②根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得方程组：， 三式相加得， 则， ④﹣②，得， ④﹣③，得， ④﹣①，得， ∵， 因此卡片C上的根式最大； 故选：C； （2）小星在卡片A，B，C上写了三个整式．小冀将小星告诉他的相邻两张卡片上的整式的和简记如下：（B，C）＝x2+4，（A，C）＝x2+5x+1，小星还告诉小冀C卡片上写的整式为x2+2x+1．则： ①由题意可知， 解得， ②由题意A+B＝3x+（﹣2x+3）＝x+3＝4， 解得x＝1． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：整式加减运算练习2：图形周长探究练习3：整式加减化简练习4：不含项求参数练习5：阴影部分周长 【练习1】（2026春•瑞安市期中）在数学探究课上，某数学兴趣小组围绕“四个连续偶数的数值确定”展开探究．设这四个连续偶数依次为2n，2n+2，2n+4，2n+6（n为整数），若想通过其中相关数值的关系确定这四个偶数的具体数值，下列选项中，能实现这一目的的是（　　） A．两个中间数的差 B．最大数和最小数的乘积与两个中间数的乘积的差 C．最大数和最小数的差 D．两个较大数的乘积与两个较小数的乘积的差 【分析】根据整式的混合运算进行化简，再进行判断即可． 【解答】解：设这四个连续偶数依次为2n，2n+2，2n+4，2n+6（n为整数）， A，两个中间数的差为（2n+4）﹣（2n+2）＝2，结果为定值，与n无关，无法确定n，不能确定这四个偶数； B，最大数和最小数的乘积与两个中间数的乘积的差为2n（2n+6）﹣（2n+2）（2n+4）＝﹣8，结果为定值，与n无关，无法确定n，不能确定这四个偶数； C，最大数和最小数的差为（2n+6）﹣2n＝6，结果为定值，与n无关，无法确定n，不能确定这四个偶数； D，两个较大数的乘积与两个较小数的乘积的差为： （2n+4）（2n+6）﹣2n（2n+2）＝16n+24， 结果与n有关，已知差值即可求出n，进而确定这四个偶数． 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 【练习2】（2026春•新昌县期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为（y﹣12）cm； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（x﹣y+4）cm； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】分析小长方形较长边：大长方形的长y等于小长方形较长边加3个较短边（4cm），故较长边为y﹣12． 计算阴影A和B的较短边之和：阴影A较短边为x﹣8，阴影B较短边为x﹣y+12，两者之和为2x﹣y+4． 计算阴影A和B的周长和：阴影A周长为2（x+y﹣20），阴影B周长为2（x﹣y+24），两者之和为4x+8，当x为定值时，周长和为定值． 【解答】解：①大长方形的长y等于小长方形的较长边加上3个小长方形的较短边（较短边为4cm）， 即y＝小长方形较长边+3×4， 因此小长方形较长边＝y﹣12，故①正确； ②阴影A的较短边为x﹣2×4＝x﹣8， 阴影B的较短边为x﹣（y﹣12）＝x﹣y+12， 两者之和为（x﹣8）+（x﹣y+12）＝2x﹣y+4≠x﹣y+4，故②错误； ③阴影A的长为（y﹣12）cm，宽为（x﹣8）cm， 周长为：2[（y﹣12）+（x﹣8）]＝2（x+y﹣20）cm； 阴影B的长为3×4＝12（cm）， 宽为x﹣（y﹣12）＝x﹣y+12， 周长为2[12+（x﹣y+12）]＝2（x﹣y+24）； 两者周长和为：2（x+y﹣20）+2（x﹣y+24） ＝2x+2y﹣40+2x﹣2y+48 ＝4x+8， 当x为定值时，周长和为定值，故③正确． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据图形中各部分的边长关系，分别分析小长方形的长、阴影部分的边长及周长和的表达式，判断各说法的正确性． 【练习3】（2026•娄底一模）化简5（x+y）﹣3（x﹣y）＝　2x+8y ． 【分析】先去括号，然后合并同类项计算即可． 【解答】解：5（x+y）﹣3（x﹣y） ＝5x+5y﹣3x+3y ＝（5x﹣3x）+（5y+3y） ＝2x+8y． 故答案为：2x+8y． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 【练习4】（2026•渠县校级开学）已知多项式A＝2x2+2xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，若A﹣2B中不含x2项和y项，则m+n的值为　1　 ． 【分析】根据结果不含x2项和y项，得到这两项的系数为0，进行求解即可． 【解答】解：已知多项式A＝2x2+2xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7， A﹣2B＝2x2+2xy+my﹣8﹣2（﹣nx2+xy+y+7） ＝2x2+2xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14 ＝（2+2n）x2+（m﹣2）y﹣22， ∵A﹣2B中不含x2项和y项， ∴2+2n＝0，m﹣2＝0， ∴n＝﹣1，m＝2， ∴m+n＝2﹣1＝1； 故答案为：1． 【点评】本题考查整式加减中的无关型问题，求出A﹣2B，正确进行计算是解题关键． 【练习5】（2025秋•玄武区校级期末）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是　6n ． 【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据图形求阴影部分的周长即可． 【解答】解：设长方形的长为a，宽为b， ∴阴影的周长＝4a+6b+4（n﹣a）+2（n﹣3b）＝6n， 故答案为：6n． 【点评】本题考查整式的加减法，熟练掌握整式的加减法运算法则，根据图形求周长是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：合并同类项判断作业2：图形周长差作业3：不含x,y求值作业4：错看问题作业5：不含x²项作业6：星空数新定义作业7：图形阴影周长作业8：对消多项式作业9：错看与无关作业10：图形面积比 ❤ 复习建议 夯实基础运算：熟练掌握去括号、合并同类项，注意符号。 灵活运用整体思想：在求值题中，将已知式整体代入，简化计算。 图形问题抓关键：从图形中找出相等关系，用字母表示未知量。 无关问题列方程：化简后令相关项系数为0，是求参数的通用方法。 新定义不畏惧：仔细阅读定义，转化为常规整式运算。 【作业1】（2025秋•洛阳期末）下列计算正确的是（　　） A．2x﹣x＝2 B．﹣7m﹣3m＝﹣4m C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a﹣2b D． 【分析】根据合并同类项法则与去括号法则，逐一计算各选项即可判断对错． 【解答】解：A．2x﹣x＝（2﹣1）x＝x≠2，原计算错误，不符合题意； B．﹣7m﹣3m＝（﹣7﹣3）m＝﹣10m≠﹣4m，原计算错误，不符合题意； C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b≠﹣2a﹣2b，原计算错误，不符合题意； D．a2bca2bc＝﹣a2bc，原计算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查合并同类项、去括号，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【作业2】（2025秋•南关区期末）如图①，有两张形状、大小完全相同的长方形卡片，长、宽分别为a、b（其中a＞b），现将两张卡片按图②放置在一个大长方形中，大长方形未被覆盖部分为A和B，它们的周长分别为∁A、∁B，则∁A﹣∁B的结果为（　　） A．4a﹣4b B．4a﹣2b C．2a﹣2b D．2a﹣4b 【分析】设大长方形的长为x，宽为y，结合已知条件分别表示出∁A、∁B，然后作差并计算即可． 【解答】解：设大长方形的长为x，宽为y， 则∁A＝2（x﹣b+y﹣b），∁B＝2（x﹣a+y﹣a）， 则∁A﹣∁B＝2（x﹣b+y﹣b）﹣2（x﹣a+y﹣a） ＝2x﹣2b+2y﹣2b﹣2x+2a﹣2y+2a ＝4a﹣4b， 故选：A． 【点评】本题考查整式的加减，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【作业3】（2025秋•武城县期末）已知多项式2x2+my﹣12与多项式nx2﹣3y+6的差中不含有x，y，则m+n+mn的值（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．11 D．1 【分析】利用整式的加减运算法则，化简后，根据差中不含x，y，得到x，y的系数为0，求出m，n的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：2x2+my﹣12﹣（nx2﹣3y+6） ＝2x2+my﹣12﹣nx2+3y﹣6 ＝（2﹣n）x2+（m+3）y﹣18， ∵差中不含x，y， ∴2﹣n＝0，m+3＝0， ∴n＝2，m＝﹣3， ∴m+n+mn＝﹣3+2+（﹣3）×2＝﹣3+2﹣6＝﹣7． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减运算方法是关键． 【作业4】（2025秋•上海校级期末）小马虎在计算一次式﹣3x+1与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是2x﹣3，则正确的答案是 　﹣8x+5　 ． 【分析】设另一个一次式为A，根据题意求得A＝5x﹣4，再计算﹣3x+1与A的差，即可求解． 【解答】解：设另一个一次式为A，则： A＝2x﹣3﹣（﹣3x+1）＝5x﹣4， 正确的答案是： ﹣3x+1﹣（5x﹣4）＝﹣8x+5． 故答案为：﹣8x+5． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是关键． 【作业5】（2025秋•龙亭区校级期末）已知关于x的多项式6x2﹣2x2+9x﹣（3ax2﹣5x+2）的取值不含x2项，那么a的值是 　　 ． 【分析】先去括号、合并同类项，然后根据题意令x2的系数为0即可求出a的值． 【解答】解：6x2﹣2x2+9x﹣（3ax2﹣5x+2） ＝6x2﹣2x2+9x﹣3ax2+5x﹣2 ＝（4﹣3a）x2+14x﹣2， ∵关于x的多项式6x2﹣2x2+9x﹣（3ax2﹣5x+2）的取值不含x2项， ∴4﹣3a＝0， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查整式加减：不含某项问题，掌握去括号法则，合并同类项和不含某项即化简后，令其系数为0是解题的关键． 【作业6】（2025秋•沙坪坝区校级期末）我们规定：一个四位数M，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足a+c＝b+d，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为3+5＝7+1，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是　9867　 ；一个“星空数”M，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为P（M），M的百位数字与个位数字组成的两位数记为Q（M）．若P（M）+Q（M）被5除余2，且P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是　11968　 ． 【分析】根据“星空数”的定义可求最大的“星空数”； 找到满足P（M）+Q（M）被5除余2，且P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数）的数，进一步得到满足条件的M的最大值和最小值的和． 【解答】解：∵一个四位数M，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足a+c＝b+d， 9+6＝8+7， ∴最大的“星空数”是9867； ∵P（M）+Q（M）被5除余2， ∴满足条件的M末尾两个数字为43，34，52，25，61，16，75，57，84，48，93，39， ∵满足P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数）， ∴末尾两个数字为34，25（不满足P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数），16（不满足P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数），57（不满足P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数），48，39（不满足P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数）， ∴M最大值为9834，最小值为2134，和是9834+2134＝11968． 故答案为：9867；11968． 【点评】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握“星空数”的定义是本题解题的关键． 【作业7】（2025秋•遵义期末）如图，大长方形ABCD的长为acm，宽为bcm，现将六个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙）．若图中阴影部分的周长之和为30cm，则长方形ABCD的宽b为　5cm ． 【分析】设小长方形的长为m，宽为n（m＞n），根据长方形周长公式计算可得结论． 【解答】解：大长方形ABCD的长为acm，宽为bcm，现将六个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙）． 设小长方形的长为m，宽为n（m＞n）， 则m+3n＝a， 阴影部分的周长为：2a+2（a﹣3n）+2（b﹣3n）+4（b﹣m）＝30 ∴4a+6b﹣12n﹣4m＝30 ∴4a+6b﹣4（m+3n）＝30 代入m+3n＝a ∴4a+6b﹣4a＝30 解得：b＝5 故答案为：5cm． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确整式的加减运算的计算方法和整体代入的思想． 【作业8】（2026春•无锡期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如M＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是　②　 （填序号）； ①3x2+2x与﹣3x2+2；②x﹣6与﹣x+2． （2）多项式﹣5x2y3+2xy与5x2y3﹣2xy的“对消值”为　0　 ． （3）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【分析】（1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）根据题意直接计算求解即可； （3）求出A+B，根据新定义，进行求解即可． 【解答】解：（1）3x2+2x﹣3x2+2＝2x+2，不是常数，故①不是“对消多项式”； x﹣6﹣x+2＝﹣4，为常数，故②是“对消多项式”； 故答案为：②； （2）﹣5x2y3+2xy+5x2y3﹣2xy＝0； 故答案为：0； （3）A+B＝（x﹣a）2﹣bx2﹣2x+b ＝x2﹣2ax+a2﹣bx2﹣2x+b ＝（1﹣b）x2﹣（2a+2）x+a2+b， 由题意可得： ∴1﹣b＝0，2a+2＝0， ∴b＝1，a＝﹣1， ∴A+B＝a2+b＝1+1＝2， ∴“对消值”为2． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 【作业9】（2025秋•哈尔滨期末）已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc． （1）计算B的表达式； （2）求正确的结果的表达式； （3）小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a，b，求（2）中代数式的值． 【分析】（1）由2A+B＝C得B＝C﹣2A，将C、A代入根据整式的乘法计算可得； （2）将A、B代入2A﹣B，根据整式的乘法代入计算可得； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可． 【解答】解：（1）∵2A+B＝C， ∴B＝C﹣2A ＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2（3a2b﹣2ab2+abc） ＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc ＝﹣2a2b+ab2+2abc； （2）2A﹣B＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc） ＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc ＝8a2b﹣5ab2； （3）对，与c无关， 将a，b代入，得： 8a2b﹣5ab2＝8×（）25（）2 ＝0． 【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【作业10】（2025秋•江北区校级期中）将若干个长为m、宽为n的甲种小长方形纸片和长为a、宽为b的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． （1）如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形ABCD，其中AD＝27，BE＝x． ①若n＝4，则m＝　19　 ，此时，DP＝x﹣7　 （用含x代数式表示）； ②是否存在符合条件的n，使得长方形BEFG的周长等于长方形DPQH的周长？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． （2）如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形A′B′C′D′中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【分析】（1）①用m、n、x表示出长方形的长和宽计算即可； ②根据长方形BEFG的周长等于长方形DPQH的周长得出m＝n+9和m+2n＝27，然后计算即可； （2）根据图2和图3阴影部分的周长相等得出a＝4n和m＝3b，再求面积比即可． 【解答】解：（1）∵AD＝AH+HD，AB＝AE+BE，AB＝CD， ∴27＝m+2n，3n+x＝m+DP， ∴当n＝4时，m＝27﹣2n＝19，DP＝x＝7； （2）存在． ∵长方形BEFG的周长等于长方形DPQH的周长， ∴2（BE+EF）＝2（HD+DP），即： x+m＝27﹣m+（3n+x﹣m）， 整理得：m＝n+9①； ∵AD＝27，即：m+2n＝27②， 由①②解得：n＝6． （3）∵图2和图3两种方式下未覆盖部分的周长相等， ∴4n+3b＝a+m，a＝4n， ∴m＝3b， ∴甲长方形的面积：乙长方形的面积 ＝mn：ab ＝3bn：4nb ＝3：4． 【点评】本题考查整式的混合运算的应用，准确识图，列出长方形周长的代数式，掌握整式的混合运算顺序与运算法则是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $