精品解析：福建厦门大学附属科技中学2025-2026学年高二下学期6月期末考前模拟测试数学试题

厦门大学附属科技中学2025-2026学年下学期期末考前模拟测试 高二数学 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 高二数学备课组命制 高二数学备课组审核 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】由题得，，令，因为，所以，则 . 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布关于对称的性质，结合已知概率推导所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 3. 已知是等差数列，且，则数列前12项和（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和前项和公式求解. 【详解】由等差数列的性质可知：​， 因此：， 所以得，由等差数列前项和公式可得： . 4. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为， 3 4 6 7 20 40 60 那么当时的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，， 因经过点，则，解得， 当时，， 故所求残差为. 5. 甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”， 则，且， 所以. 6. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A. B. C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， . 7. 现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（ ） A. 32 B. 48 C. 54 D. 72 【答案】C 【解析】 【详解】最大数与最小数的组合有， 以最大数为4，最小数为1为例，抽出的3个数字的组合可能为， 对应的排列数分别为种，种，种，种， 故此种情况共有种，总方法数为种. 8. 已知只有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，可得，结合的单调性可得，令，利用导数判断的单调性和图象，结合图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图象，如图所示： 由题意可知：与只有个交点， 则，解得， 所以a的取值范围是. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. 的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C. 被8除所得的余数是1 D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 存在a，使得点为曲线的对称中心 D. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；C选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断； 【详解】A选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，A选项错误； B选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，B选项正确； C选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，C选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，C选项正确. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，D选项错误； 故选：BC 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，并借助线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用进行判断即可. 【详解】设正方体棱长为，为中点， 对A：如图： 在正方体中，对角线 平面， 若取动点落在的边上，则平面， 由线面垂直性质得： ，所以存在满足条件的点，故A正确； 对B：如图 建立空间直角坐标系：， ， 设，， ，所以，即， 在正方体表面，满足该式的动点轨迹为矩形（分别为中点）， 矩形邻边长：， 轨迹周长，故B错误； 对C：如图： 依次取：为中点，为中点，为中点，为中点，为中点， 顺次连接，得六边形， 由中位线定理：， 所以平面，平面， 又是平面内的两条相交直线， 所以平面平面， 若在六边形边上，则平面，所以平面， 即动点的轨迹为六边形， 因为正方体棱长为，所以， 该六边形六条边长全部相等，每个内角均为， 六边形是正六边形， 所以动点的轨迹是正六边形，故C正确； 对D：如图： 由以上坐标系知，且正方体棱长为，侧面内所有点横坐标恒为， 设，其中 设，代入距离公式： ，即， 在侧面矩形内，该方程表示以为圆心、半径的一段圆弧， 因为，，平面， 所以 平面， 又因为平面平面，平面，平面， 根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角， 在矩形内，过作 延长线，垂足为， 中，， 越大，二面角越大，即最大化， 因为，则当取圆弧上切点时， ，， 所以， 即二面角最大角的正切值为，故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【详解】从个因式中依次选择个，个，个， 则结果为， 故的系数为 13. 双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用在以为直径的圆上得到为直角，结合双曲线右支的定义和直线的斜率得到直角三角形三边关系，再由勾股定理推导出双曲线的离心率. 【详解】因为在以为直径的圆上，根据直径所对圆周角为直角，得， 即​是直角三角形，斜边， 因为直线斜率为，所以中两直角边满足， 在双曲线右支上，由双曲线定义， 代入得，， 由得，化简得，即， 因此离心率. 14. 集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为___________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据定义结合古典概率计算公式可填第一空；根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可填第二空. 【详解】里边元素个数为，任取两个不同向量，基本事件数为， 从集合中任取两个不同的向量，若， 则有两个对应位置上的值均为1， 这要求一个向量恰有2个分量为1，另一个向量3个分量全为1， 其中分量全为1的向量只有1个，即； 恰有2个分量为1的向量有个， 因此满足条件的向量对有， 故的概率为； 若，则，，与为不相等的向量矛盾， 所以随机变量的可能取值有， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为. 首先计算： 设， 两边求导得，， 两边乘以后得， 令，得， 所以 所以. 下面计算： 因为， ， ， ， 因为， 所以，所以. 所以. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【小问1详解】 当时 ∴当时， 又 是等比数列， 【小问2详解】 奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 16. 已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2） 【解析】 【小问1详解】 的定义域为，易得， 若，则，则在上单调递增，无极值； 若，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则，则在上单调递增， 则，则， 故的取值范围为. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理来证明线线垂直，再证明线面垂直，最终证明面面垂直； （2）利用空间向量法来求点到面的距离和两平面所成角的大小. 【小问1详解】 由平面，平面，得， 在底面中，，，，， 故，过作，垂足为， 由得，， 又，故，可得， 因此， 由勾股定理逆定理得， 又因为，平面，故平面， 又平面，因此平面平面； 【小问2详解】 如图以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设，则各点坐标分别为：， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，所以， 所以点到平面的距离为， 解得：，即平面的法向量 设平面的法向量为，由， 则， 令，解得，所以，即平面的法向量为， 所以， 因为平面与平面所成的角为锐角，所以平面与平面所成的角的大小为. 18. 某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为 “可靠” 的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. （1）为调查某零件的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了 100 台仪器检测，请根据下述列联表，判断是否有 99% 的把握认为 “仪器可靠” 与 “某零件达优等” 有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件达优等 40 10 50 零件未达优等 30 20 50 合计 70 30 100 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2）若，现从某批 100 台仪器中抽取 4 台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； （3）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100 元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300 元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100 台，工厂预算2.3 万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100 台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3 万元？说明理由. 【答案】（1）没有99%的把握认为“仪器可靠”与“某零件A达优等”有关. （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 ，. （3），100台机器总费用有可能超过预算，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据求出的观测值，并与临界值比对即可. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望及方差. （3）利用期望的定义求出，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 零假设为：“仪器可靠”与“某零件A达优等”无关， 根据表中数据，计算得， 所以没有99%的把握认为“仪器可靠”与“某零件A达优等”有关. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为，且，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望，方差. 【小问3详解】 每台仪器所需费为元，的可能取值为100，400， ， ， 所以， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以实施此方案，最高费用为元元，可能会超过预算. 19. 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 【答案】（1）， （2）最大值． （3）5 【解析】 【分析】（1）由半圆的半径求解，，即可求解半椭圆的方程与离心率； （2）设点A在x轴下方，点B在x轴上方，直线与椭圆联立，再由点S在半圆上以及可得的面积最大即可求解； （3）由题意知，，再由，由对称性求解所截得弦的长，直线与椭圆联立，由韦达定理的代入求解即可. 【小问1详解】 设半椭圆的方程为（，且）． 由半圆的半径为1，得，， 故，，，，所以，， 所以，解得， 所以半椭圆的方程为， 所以半椭圆的离心率． 【小问2详解】 如图，不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方， 由，得，解得或， 所以，则直线的方程为， 又等于半径1，所以． 显然，当点S在半圆上且时，的面积最大． 因为点到直线的距离， 所以点S到直线的距离， 故， 所以面积的最大值． 【小问3详解】 由题意知，． 因为，所以由对称性可知，为椭圆截直线所得弦的长． 设，且与椭圆交于点和． 由，得，则， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2025-2026学年下学期期末考前模拟测试 高二数学 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 高二数学备课组命制 高二数学备课组审核 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 3. 已知是等差数列，且，则数列前12项和（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 4. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为， 3 4 6 7 20 40 60 那么当时的残差为（ ） A. B. C. D. 5. 甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A. B. C. 7 D. 9 7. 现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（ ） A. 32 B. 48 C. 54 D. 72 8. 已知只有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. 的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C. 被8除所得的余数是1 D. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 存在a，使得点为曲线的对称中心 D. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 13. 双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． 14. 集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为___________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则______________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足求数列的前2n项和． 16. 已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面所成的角. 18. 某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为 “可靠” 的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. （1）为调查某零件的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了 100 台仪器检测，请根据下述列联表，判断是否有 99% 的把握认为 “仪器可靠” 与 “某零件达优等” 有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件达优等 40 10 50 零件未达优等 30 20 50 合计 70 30 100 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2）若，现从某批 100 台仪器中抽取 4 台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； （3）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100 元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300 元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100 台，工厂预算2.3 万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100 台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3 万元？说明理由. 19. 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $