福建省福州市2025-2026学年高二下学期期末数学自编模拟试卷一

**基本信息** 本试卷以高二下学期数学核心内容为载体，通过生态水果利润计算（解答题17）、成绩统计分析（解答题19）等真实情境，融合新定义运算（单选5）、函数零点问题（填空14），梯度覆盖基础与创新能力，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|二项式定理、概率、幂函数、向量等|新定义运算（5题）考察创新意识| |多选题|3|不等式性质、二项分布、条件概率|结合逻辑推理（9题）强化思维严谨性| |填空题|3|基本不等式、全概率公式、函数零点|函数零点问题（14题）深化数形结合| |解答题|5|三角函数、集合、导数应用、统计概率|生态利润模型（17题）体现应用意识，统计分析（19题）培养数据观念|

2025-2026高二下学期期末考数学模拟试卷一答案 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．的展开式中的系数为（    ） A．6 B．20 C．21 D．26 【答案】D 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有，则，， 则中含的项为， 则的系数为. 故选：D. 2．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案． 【详解】根据题意， 记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C， 则, 则目标是被甲击中的概率为. 故选：D. 3．已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（    ） A．［－1,0] B． C．［0,2] D． 【答案】B 【分析】根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解. 【详解】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为． 故选：B． 解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得， 所以．因为，所以．因为 ， 所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为． 故选：B． 4．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】根据投影向量的定义可得，在上的投影向量为. 故选：A 5．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算 “” ，定义如下，当时，；当时，，则函数的最大值等于（“·”和“-”仍为通常的乘法和减法） A．-1 B．1 C．12 D．6 【答案】D 【详解】因为，所以，易知函数再上单调递增，所以，故选D. 6．已知奇函数的定义域为，当时，单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分或讨论即可. 【详解】因为为奇函数，时，单调递增，且， 则时，单调递增，且， 由，得， 或， 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 7．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过换元令，得，由于有两个不同的正根，列出不等式求解即可. 【详解】由， 得，令， 得， 由题意可知方程有两个不同的正根， 则，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D 8．在斜中，内角的对边分别为.已知，若是的平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理求出，记，结合三角形的面积公式求出，利用余弦的倍角公式进行求解即可. 【详解】，且 ， ，，又 中，，∴. 记如图， 由，，∴， ∴. 故选：B 二、多选题 9．对于实数，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解. 【详解】对于A，，， 即，故A正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，令，满足，但，故C错误； 对于D，，， 即，故D错误. 故选:AB. 10．下列说法中正确的是（    ） A．设随机变量X服从二项分布，则 B．一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 D．， 【答案】ABC 【分析】由二项分布的概率公式即可判断A，由超几何分布的概率公式即可判断B，由条件概率的公式，即可判断C，由期望以及方差的性质，即可判断D. 【详解】对于A，由二项分布的概率公式可得，故A正确； 对于B，由题意可得随机抽取8个零件进行检测，全部合格的概率为， 则至少有一件不合格的概率为，故B正确； 对于C，由题意可得，， 所以，故C正确； 对于D，由期望的性质可得， 由方差的性质可得，故D错误； 故选：ABC 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项求解判断即可. 【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立， 所以，故A错误； 对于B，由，得， 即，则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 又，所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，， 所以，又因为， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值， 故答案为： 13．有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为_____． 【答案】0.17/ 【分析】根据全概率公式直接求解即可. 【详解】记事件表示“任取一件产品为次品”； 事件分别表示零件为甲、乙、丙工厂生产， 则，，，，，， . 故答案为：. 14．函数有四个零点，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】函数零点转化为的解，即函数与直线的交点的横坐标，由数形结合思想可得解． 【详解】由得，作函数的图象和直线，如图， 函数在和上递减，在和上递增，，由图象知当时，的图象和直线有四个交点．即有4个零点． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的零点个数，解题时把问题转化为函数图象与直线交点个数，通过数形结合思想求解． 四、解答题 15．已知角终边上一点的坐标为． (1)化简下列式子并求其值：； (2)求角的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再由三角函数的定义直接求值； （2）利用角的定义及终边相同的角的表示即可求解. 【详解】（1） . 因为角终边上一点的坐标为， 所以,所以. 所以. （2）因为角终边上一点的坐标为，所以角终边在第四象限，且角终边与x轴正方向的夹角为，所以. 所以角的集合为. 16．已知集合，. (1)求，； (2)若集合，且“，”为假命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据补集的定义求出和，再求交集； （2）“”为假命题，则其否定“”为真命题，由此确定的取值范围. 【详解】（1）对于集合，根据补集定义，或. 对于集合或，. 那么. （2）因为“”为假命题，则其否定“”为真命题，这意味着中的元素都不在中，即. 当时，满足，此时，解得. 当时，即时，要使，则或者. 由，解得. 由，解得，但，所以这种情况无解.   综上所得，实数的取值范围是或. 17．某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当施用肥料4千克时，单株利润取得最大值640. 【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可； （2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知：； （2）根据（1）可知： 当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 易知， 当时，， 当且仅当，即时取得等号， 综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640. 18．已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由得，求出，对函数求导，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而可得切线方程； （2）先由题中条件，得到对，都有恒成立，令，，对其求导，利用导数的方法，求出其在区间上的最小值，即可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，， 所以在点处的切线斜率为， ∴在处的切线方程为，即； （2）对，都有恒成立，等价于对，都有恒成立， 令，， 则，令可得， 若，则；若，则； ∴在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以， ∴. 即的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 19．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对期末考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，150]），按下列分组[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]作出频率分布直方图.如图，样本中分数在[70，90）内的所有数据是：72，75，77，78，81，82，85，88，89. 根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表. 分数 [60，80） [80，120） [120，150） 可能被录取院校层次 专科 本科 自招 （1）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取1人，求此人能被专科院校录取的概率； （2）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为专科的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：1. 【分析】（1）由题意可知，分数在[70，80）的学生有4名，分数在[80，90）的学生有5名，再结合频率分布直方图可求出的值，从而可求出，求出分数在[60，80）的人数，进而可求出概率， （2）由题意可得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得随机变量ξ的分布列和数学期望 【详解】解：（1）由题意知分数在[70，80）的学生有4名，分数在[80，90）的学生有5名， 由题图可知，分数在[70，80）的频率为0.008×10=0.08，则n==50， 所以x==0.01，y==0.014， 样本中可能被专科院校录取的人数为50×（0.004+0.008）×10=6. 抽取的50人中，可能被专科院校录取的频率是， 所以从该校高三年级学生中任取1人可能被专科院校录取的概率. （2）选取的样本中可能被专科院校录取的人数为6， 可能被自招院校录取的人数为50×（0.012+0.008+0.004）×10=12， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 所以P（ξ=3）===；P（ξ=2）===； P（ξ=1）===；P（ξ=0）===. ∴随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期期末考数学模拟试卷一 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．的展开式中的系数为（    ） A．6 B．20 C．21 D．26 2．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是(    ) A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（    ） A．［－1,0] B． C．［0,2] D． 4．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 5．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算 “” ，定义如下，当时，；当时，，则函数的最大值等于（“·”和“-”仍为通常的乘法和减法） A．-1 B．1 C．12 D．6 6．已知奇函数的定义域为，当时，单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在斜中，内角的对边分别为.已知，若是的平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．对于实数，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 10．下列说法中正确的是（    ） A．设随机变量X服从二项分布，则 B．一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 D．， 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，，且，则的最小值为________． 13．有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为_____． 14．函数有四个零点，则的取值范围为_______. 四、解答题 15．已知角终边上一点的坐标为． (1)化简下列式子并求其值：；(2)求角的集合． 16．已知集合，. (1)求，； (2)若集合，且“，”为假命题，求实数m的取值范围. 17．某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 18．已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围. 19．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对期末考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，150]），按下列分组[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]作出频率分布直方图.如图，样本中分数在[70，90）内的所有数据是：72，75，77，78，81，82，85，88，89. 根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表. 分数 [60，80） [80，120） [120，150） 可能被录取院校层次 专科 本科 自招 （1）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取1人，求此人能被专科院校录取的概率； （2）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为专科的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $