福建省福州市2025-2026高二下学期期末数学自编模拟试卷二

**基本信息** 涵盖函数、概率统计等核心知识，以手机近视率、电池健康度等现实情境设计问题，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|8|不等式性质、向量夹角、函数单调性|结合高斯函数考查抽象能力| |多选题|3|均值不等式、函数零点、统计量|通过互斥事件考查逻辑推理| |填空题|3|三角恒等变换、条件概率、不等式恒成立|以车床加工次品率考查数据意识| |解答题|5|集合运算、绝对值不等式、函数模型、概率统计|药熏消毒模型体现数学建模，乘客满意度分析强化数据处理与表达|

2025-2026高二下学期期末考数学模拟试卷二答案 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得，，即，可得， 所以，故A，B错误； 由，可得，，则，故C错误； 由，可得，故D正确． 故选：D. 2．已知平面向量满足，若，则向量的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【解析】利用向量数量积公式知代入，化简可得，然后再代入，即可求出向量的夹角. 【详解】， ，故向量的夹角为． 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及向量夹角的计算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 3．已知函数满足：对任意的，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义，可得在R上单调递增，根据解析式，结合单调性，分析求解，即可得答案. 【详解】因为对任意的，有， 所以在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 故选：A 4．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答. 【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”， 则，且互斥，，， 依题意，，解得， 所以所求近视的概率为. 故选：B 5．已知函数在处取得极大值，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．或6 【答案】B 【分析】求出函数的导数，根据函数在处取得极大值，可得，即可求出c的值，验证后即可确定答案. 【详解】由，可得， 因为函数在处取得极大值， ，解得，或， 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故函数在处取极小值，不符合题意； 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故函数在处取极大值，符合题意， 故选：B 6．定义在上的函数满足的图象关于对称，且在上是减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据条件分析出的奇偶性以及在上的单调性，再根据指、对数函数的单调性分析所给自变量的大小，由此判断出函数值之间的大小关系. 【详解】因为函数满足的图象关于对称，则图象关于轴对称，则是偶函数且在上是增函数， 因为，，，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，难度一般.的图象关于对称的图象关于轴对称是偶函数；的图象关于成中心对称的图象关于成中心对称是奇函数. 7．某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 【答案】B 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加. 8．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例：，.已知函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整理可得，进而分析的单调性和值域，分类讨论的符号结合取整函数的定义运算求解即可. 【详解】因为， 可知在定义域内单调递减，且， 且，则，，可得， 若，则，可知，， 则，可得； 若，则； 若，则，可知，， 则，可得； 综上所述：函数的值域是. 故选：C. 二、多选题 9．已知正数，，满足，则（   ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于ABC，利用基本不等式即可判断；对于D，根据消元，结合二次函数的最值即可判断. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，故B正确． 对于C，， ， 当且仅当即时，等号成立，故C正确． 对于D，， ，， 当时有最小值，故D正确． 故选：BCD. 10．（多选）已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间为 B．当有3个零点时， C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 【答案】BD 【分析】函数，结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数的图象，根据图象找出单调增区间即可判断选项A；根据图象观察函数和图象有3个交点时的取值范围即可判断选项B；解方程即可判断选项C；当时，观察函数和的图象的交点个数即可判断选项D. 【详解】作出函数的图象如图所示，，， 对于A选项，由图象可知，函数的增区间为和，故A选项错误； 的零点是函数和图象交点的横坐标， 对于B选项，由图象可知，当有3个零点时，，故B选项正确； 对于C选项，由和得或，即当时，有两个零点，和1，所有零点之和为，故C选项错误； 对于D选项，当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，故D选项正确． 故选：BD. 11．下列说法中，正确的是（    ） A．一组数据9， 8， 13，10，12， 14的第70百分位数为13 B．若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6 C．已知随机事件A和B互斥且，则 D．已知随机变量X服从正态分布．若，则 【答案】AC 【分析】根据第百分位数的概念，求出一列数字的第70百分位数，判断A的正误； 根据方差的性质，由一组数据的方差，计算新的一组数据的方差，判断B的正误； 根据随机事件的性质和互斥事件的概念，以及对立事件的概念，判断C的正误； 根据正态分布的性质，求出正态分布的参数，判断D的正误； 【详解】一组数据从小到大排列为8，9，10，12，13，14，共有6个数据，可知，所以第70百分位数为第五个数，即13，所以A正确； 由样本数据的方差为2，可得数据的方差为，所以B错误； 由随机事件A和B互斥，则， 由，且，得， 则，所以C正确； 由得， 因为可知，所以，则，所以D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．已知，，则______ 【答案】 【分析】利用对数的运算及换底公式即可得解. 【详解】，，， 故答案为： 13．有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 14．若不等式恒成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】不等式恒成立等价于，，令，，利用导数研究函数的最值，即可得出结论． 【详解】不等式恒成立，， 令，， ，， 令，则函数在上单调递增， ， ， ， 存在唯一使得，即，， 时，函数在上单调递减， 时，函数在上单调递增． 时，函数取得极小值，即最小值， ， 实数的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 15．已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，或，. (2) 【分析】（1）直接根据集合的交并补运算求解即可； （2）根据题意得真包含于，进而分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，，， 所以，， 或，或. （2）解：因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以 当时，,即，此不等式无解，故不成立； 当时，，解不等式得， 当时，此时有，不满足真包含于，舍去 综上，实数的取值范围 16．已知函数． (1)当不等式的解集为时，求实数的值； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围， (3)设为常数，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）一元二次不等式解集的分界点为所对应方程的根，所以的根为.即，列方程可解出； （2）恒成立，即恒成立，转化为关于的一元二次不等式大于解集为，所以恒成立，可解得的范围； （3）由，得，，所以分三种情况，再利用一元二次不等式解法，即可求解． 【详解】（1）由的解集为，所以是方程的两根， 所以，即，解得或． （2）因为恒成立，即恒成立， 则，整理得到，所以． （3）由，得， ①当，即，解集为R ②当，即，解集为 ③当，即，由，得到或，解集为或， 综上，①当，原不等式的解集为R ②当，原不等式的解集为 ③当，原不等式的解集为或， 17．为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，与之间的函数关系； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室（精确到）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式； （2）令，即可得出结果. 【详解】（1）由题知，药物释放过程中，设， 将代入解析式可得，，解得， 以及，解得， 所以从药物释放开始，. （2）由（1）知，， 令，则， 所以从药物释放开始，至少需要经过约小时后，学生才能回到教室. 18．已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 19．动车和BRT(快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下所示： 满意程度 30岁以下 30-50岁 50岁及50以上 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 满意 50 5 100 10 100 20 一般 20 15 40 20 20 25 不满意 5 0 20 10 20 20 （1）若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率； （2）记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差； （3）以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率，若从所有乘客中随机抽取4人，记年龄在30~50岁的乘客人数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）；（2）平均分为，方差为；（3）分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）根据平均数及方差公式计算可得； （3）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为年龄在30~50岁的乘客的概率，再根据二项分布概率公式求出分布列与数学期望. 【详解】解：（1）记从样本中任取1人，抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上为事件A； 所以 （2）30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分为 方差为 （3）样本中年龄在30~50岁的乘客的频率为，依题意， 所以，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期期末考数学模拟试卷二 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量满足，若，则向量的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 3．已知函数满足：对任意的，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极大值，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．或6 6．定义在上的函数满足的图象关于对称，且在上是减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 8．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例：，.已知函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正数，，满足，则（   ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 10．已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间为 B．当有3个零点时， C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 11．下列说法中，正确的是（    ） A．一组数据9， 8， 13，10，12， 14的第70百分位数为13 B．若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6 C．已知随机事件A和B互斥且，则 D．已知随机变量X服从正态分布．若，则 三、填空题 12．已知，，则______ 13．有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 14．若不等式恒成立，则实数的取值范围为____________. 四、解答题 15．已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16．已知函数． (1)当不等式的解集为时，求实数的值； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围， (3)设为常数，解关于的不等式． 17．为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，与之间的函数关系； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室（精确到）. 18．已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 19．动车和BRT(快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下所示： 满意程度 30岁以下 30-50岁 50岁及50以上 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 乘坐动车 乘坐BRT 满意 50 5 100 10 100 20 一般 20 15 40 20 20 25 不满意 5 0 20 10 20 20 （1）若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率； （2）记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差； （3）以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率，若从所有乘客中随机抽取4人，记年龄在30~50岁的乘客人数为X，求X的分布列及数学期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $