精品解析：上海市闵行中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分150分 一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分． 1. 已知，则_________ 2. 直线的斜率为______________． 3. 若则正整数n的值为_______． 4. 某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 5. 设A、B为两个事件，且，若，，则____________． 6. 直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 7. 某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元． 8. 已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为_______． 9. 某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切．以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2），若，，则直线的一般式方程为_____________． 10. 某校篮球队的成员是来自学校高三10个班的12位同学，其中高三（1）班、高三（2）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选5人作为主力队员，则这5名主力队员来自不同的班级的概率为____________． 11. 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 12. 关于x的两个方程，均有实根，其中a，b，，则最小值为________． 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分． 13. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 平均值 标准差 数学成绩X/分 88 62 物理成绩Y/分 75 63 若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 16. 定义，，已知互不相等的正实数，，，，a，b，c，d是，，，的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足：，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 从这个数中选择若干个不重复的数字． （1）能组成多少个无重复数字且不含的四位数？ （2）能组成多少个无重复数字且被整除的四位数？ （3）能组成多少个无重复数字且小于的数？ 18. 已知实数，在的二项展开式中. （1）求项的系数； （2）若第三项不大于第五项，求的取值范围. 19. 许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏．在一个套娃娃的摊位上，一轮“套娃娃”游戏规则是：①规定小朋友套娃娃成功次或套次后游戏结束，即中途不放弃，直到成功一次为止或套次结束；②每次套娃娃费用是元，例如第一、二次未成功，第三次成功，费用元．每次套娃娃成功的概率为且相互独立． （1）求小朋友一轮套娃娃成功的概率； （2）记随机变量为小朋友一轮套娃娃的次数，求的分布列和数学期望； （3）假设每个娃娃价值元，每天有位小朋友到此摊位玩一轮套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望． 20. 设椭圆：的左顶点为 （1）求的离心率 （2）设的左焦点为，上顶点为，若点在上且位于轴右侧，，求点的横坐标 （3）设直线：，与交于不同的两点和，若点在以为直径的圆外，求实数的取值范围 21. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）存在，使得成立，求实数k的取值范围； （3）若对于，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分150分 一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分． 1. 已知，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的关系求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 2. 直线的斜率为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】转换成斜截式即可得. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 3. 若则正整数n的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由组合数的公式可得，解方程即可得出答案. 【详解】由可得， 则，解得：或. 故答案为：. 4. 某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 【答案】拒绝 【解析】 【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于， 属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联， 本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响. 5. 设A、B为两个事件，且，若，，则____________． 【答案】## 【解析】 【详解】由条件概率公式. 6. 直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 【答案】 【解析】 【详解】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 7. 某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元． 【答案】6 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入得到值，再令即可. 【详解】由已知数据，， 因为，则，代入，则， 则，令，则. 故答案为：6 8. 已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解． 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 9. 某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切．以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2），若，，则直线的一般式方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意求得，设直线的斜率为，由与内侧分道线相切建立等式结合图形计算求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，， 所以，即， 因为点在轴上，所以， 由题意可得以点为圆心的半圆形内弯道所在方程为， 设直线的斜率为，则直线方程为，即， 因为与内侧分道线相切， 所以，解得， 结合图形可知，代入直线方程化简可得. 10. 某校篮球队的成员是来自学校高三10个班的12位同学，其中高三（1）班、高三（2）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选5人作为主力队员，则这5名主力队员来自不同的班级的概率为____________． 【答案】 【解析】 【详解】从位同学中选人作为主力队员，共有种选法. 因为高三（1）班、高三（2）班各出2人，其余班级各出1人，分下列三种情况： 情况一：从2个有2人的班级中各选取1人，再从8个有1人的班级中选取3人，共有种. 情况二：从2个有2人的班级中选取1个班级，再从该班中选取1人，最后从8个有1人的班级中选取4人，共有种. 情况三：从8个有1人的班级中选取5人，共有种. 根据分类加法计数原理，5名主力队员来自不同班级的情况数共有种. 根据古典概型概率公式，5名主力队员来自不同的班级的概率. 11. 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 当时，当时，该函数单调递增， 所以， 所以对任意，都有，一定有成立， 解得，这与相矛盾，不符合题意； 当时，当时，， 所以对任意，都有，一定有成立，而， 所以； 当时，设表示两数中最大的数， 因为当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以当时，， 对任意，都有，一定有且， 解得， 综上所述：， 所以的取值范围为. 12. 关于x的两个方程，均有实根，其中a，b，，则最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，基本不等式等对题中的方程拆分求解，求出，再求出的最小值，即可求出最小值. 【详解】由可得：， 因为，当且仅当时等号成立， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得最小值，且， 所以，，又因为， 所以当且仅当且时，方程成立， 由，结合的单调性可知， 再将代入，得，即， 两边取自然对数得：，解得：， 由可得：， 因为，所以，即， 则，设，则方程可变为， 可化为， 的最小值可看成原点到直线的距离的平方， 所以，又， 因为，所以，所以， 所以， 令，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以， 综上：最小值为. 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分． 13. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 14. 老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 平均值 标准差 数学成绩X/分 88 62 物理成绩Y/分 75 63 若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据、的大小关系得到对称轴的位置关系，接着通过、的大小可以得到哪个曲线更矮胖，从而选出正确选项. 【详解】因为，所以随机变量的正态曲线的对称轴在随机变量的正态曲线的对称轴的左边，所以排除B、C； 又因为，所以随机变量的总体分布更离散，正态曲线比随机变量的正态曲线更“矮胖”，排除D，所以选A. 15. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程 【详解】设，有， 由可知， 又由椭圆的定义有， 可得，解得， 可得， ，， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 16. 定义，，已知互不相等的正实数，，，，a，b，c，d是，，，的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足：，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】分别列出所有分组情况，计算出对应的值，然后计算对应概率，再计算进行判断即可. 【详解】由题意（无序）可能的情况有分别对应（无序）有， 上述情况对应的分别为. ，. ，，. ，，. 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 从这个数中选择若干个不重复的数字． （1）能组成多少个无重复数字且不含的四位数？ （2）能组成多少个无重复数字且被整除的四位数？ （3）能组成多少个无重复数字且小于的数？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，从从这个数字中选取4个进行全排即得； （2）依据被整除的数的末位特征确定分类，分类后结合四位数首位不能为的限制对每类分别计数，再依据分类加法计数原理对各类结果求和得到总个数； （3）按照位数对符合“小于”要求的数进行合理分类，对每一类分别考虑首位不能为的限制计算每类的个数，再通过分类加法计数原理求和得到最终结果. 【小问1详解】 依题意，只需从这个数字中选取4个进行全排， 则可组成无重复数字且不含的四位数有个； 【小问2详解】 因为被整除的数特征为末位只能是或，则可分成两类情况： 末位为：剩余三位从剩下个数字中选个排列，则有种排法； 末位为：首位不能为，因此首位有种排法，剩余两位从剩下个数字选个排列， 则有种排法， 由分类加法计数原理，可组成无重复数字且被整除的四位数有个； 【小问3详解】 小于的数包含一位数、两位数、三位数，可分成三类情况： 一位数：共个，则有种； 两位数：十位不能为，十位种选择，个位从剩余个数字选个，则有种； 三位数：百位不能为，百位种选择，剩余两位从剩余个数字选个排列，则有种， 由分类加法计数原理，可组成无重复数字且小于的数有个. 18. 已知实数，在的二项展开式中. （1）求项的系数； （2）若第三项不大于第五项，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得通项为，令，运算求解即可； （2）由（1）可得：，，根据题意列式求解即可. 【小问1详解】 的二项展开式的通项为， 令，解得， 所以项的系数为. 【小问2详解】 由（1）可得：，， 由题意可知：，且，解得， 所以的取值范围为. 19. 许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏．在一个套娃娃的摊位上，一轮“套娃娃”游戏规则是：①规定小朋友套娃娃成功次或套次后游戏结束，即中途不放弃，直到成功一次为止或套次结束；②每次套娃娃费用是元，例如第一、二次未成功，第三次成功，费用元．每次套娃娃成功的概率为且相互独立． （1）求小朋友一轮套娃娃成功的概率； （2）记随机变量为小朋友一轮套娃娃的次数，求的分布列和数学期望； （3）假设每个娃娃价值元，每天有位小朋友到此摊位玩一轮套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望． 【答案】（1） （2） 的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）运用对立事件概率公式，将“成功概率”转化为“次均失败”的补事件；利用独立重复试验概率模型计算未成功概率，进而通过减法求得目标概率； （2）依据终止规则确定随机变量的取值，并利用几何分布（前次失败、第次成功）及“次强制结束”的特殊情形计算各取值概率；最后按离散型随机变量期望定义式，对各取值与其概率的乘积求和； （3）将利润表示为“总收入（次数×单价）减去总成本（成功人数×娃娃进价）”，并借助期望的线性性质分别计算两项期望；利用第（1）、（2）问所得的概率与期望结果，代入总量（30人）后求出利润期望. 【小问1详解】 由题意可知，小朋友套娃娃未成功的概率为， 则小朋友套娃娃成功的概率为； 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： ． 【小问3详解】 由（1）可知，小朋友套娃娃成功的概率为， 记摊主每天利润为元，则的期望为 ， 故摊主每天利润的期望为元． 20. 设椭圆：的左顶点为 （1）求的离心率 （2）设的左焦点为，上顶点为，若点在上且位于轴右侧，，求点的横坐标 （3）设直线：，与交于不同的两点和，若点在以为直径的圆外，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程得到，，求出，代入求解即可. （2）根据求出及直线的方程，与椭圆联立求解即可. （3）直线与椭圆方程联立，结合得到的范围；根据点在圆外得到，进而得到，结合向量数量积及韦达定理得到关于的不等式，求交集即可. 【小问1详解】 由椭圆方程可得，，，则， 所以. 【小问2详解】 由题意知，，，. 设直线的斜率为，直线的斜率为，则. 因为，所以，所以直线的方程为. 联立，整理得，解得或. 因为点位于轴右侧，所以点的横坐标为. 【小问3详解】 设，， 联立，整理得， ，所以，即. 则，. 因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角，而点在以为直径的圆外， 所以，等价于. 又，， 所以 ， 则，即 ，解得或. 又，所以或. 故实数的取值范围为. 21. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）存在，使得成立，求实数k的取值范围； （3）若对于，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）减区间是，；增区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数求解即可； （2）解法一：令，分，两种情况，结合导数讨论求解即可；解法二：分离变量，令，求导，根据导数求得最值即可求解； （3）由（1）可得函数在区间上的最值，根据导数可得函数在区间上的最值，分，两种情况求解即可. 【小问1详解】 ， 当或时，，当时，， 所以的减区间是，；增区间是； 【小问2详解】 解法一：，即为，， 题意等价于在上有解． 设， ， 当时，，在上单调递增， 因为， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 所以， 由得，此时， 所以存在，即，使得成立， 综上，． 解法二：存在， 即在有解 在有解 所以， 令， ， 当，，在，递增 当，，在递减 所以，即 综上，． 【小问3详解】 m，，，， 由（1）得在上递减，在上递增， ， 设，则， 时，，在区间上单调递增， 所以，即，所以， ①当时，对于，，不等式恒成立， 等价于，所以 ②当时，对于，，不等式恒成立， 等价于，所以 且，所以 综上可知：实数a的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $