6.1 平行四边形的性质 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形性质的系统性应用，以题载法构建从基础性质到动态综合的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|单选1-4、填空11-13|性质直接应用（对边/对角/对角线）|从定义到性质，构建概念-性质-应用链条| |动态与综合|单选5、9、10，解答19、20|动态几何分析（面积最值）、折叠变换、方程思想|性质拓展到动态问题，结合函数与几何推理| |实际与跨知识|单选4、17，解答18|实际模型转化、函数与平行四边形存在性|性质应用到实际场景，融合代数与几何模型|

6.1 平行四边形的性质 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一、单选题 1．如图，在中，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 5．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 6．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 7．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 8．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，在中，是的中点，，点是线段上的动点，设，．图2是点从点运动到点时随的变化关系的图象，则的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为，已知、、，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 11．如图，小明用四根木条钉成一个木框，推动得．若，，则等于_____． 12．如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，则的周长为________． 13．如图，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是、、，则顶点C的坐标是______． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．点在上，点在上（点不与点，重合），且．过点作，交于点，以和为邻边作．当将分成面积相等的两部分时，的长为_________． 15．如图，在中，，将沿对角线翻折后，点落到点处，，垂足为点，，则_________________ ． 三、解答题 16．如图，在中，点在对角线上，连接，使得．求证：．    17．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图是它的骨架示意图，点在伞柄，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合即，，点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求 ，两点之间的距离． 18．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线：与坐标轴相交于，两点，直线：（）与坐标轴相交于，两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知，点是直线上的动点． (1)求直线的函数表达式； (2)过点作轴的垂线与直线和轴分别相交于，两点，当时，求点的坐标； (3)若点是轴上的动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知四边形是平行四边形，，，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至，所在的直线与交于点． (1)如图，当点落在内部时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图，当点与点重合时，求的长； (3)当取最大值时，直接写出此时折痕的长． 20．如图1，在中，，点是边上的动点，作，与边交于点． (1)如图1，若，，，求的长度； (2)若，，当时，求的长（用含有，的式子表示）； (3)如图2，在的平分线上截取，若，请探究，，的关系，并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C C A B C B 1．C 【分析】根据平行四边形对角相等即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 2．B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵点，将线段向左平移三个单位长度， ∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形， ∴线段扫过的面积为， 故选：B． 3．D 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故选项A、B成立； ∴，， ∴，，故选项C成立，选项D不一定成立． 4．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 5．C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 6．C 【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可． 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 7．A 【分析】求出，，得到的周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等）， ， 四边形是一个等腰梯形， ， ， ， ， 的周长为， 无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 9．C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质可得，结合函数图象可知当与重合时，当与重合时，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，最后利用平行四边形面积公式求解即可． 【详解】如图，连接， ，是的中点， ，， 当点与点重合时，，此时，， ， 由图（2）可知，当时，， ， 当点与点重合时，，，此时取得最大值， 由图（2）得，的最大值为， ， 在中，由勾股定理得， ， 即， ， 联立， 解得， ， 的面积为． 10．B 【分析】设平行四边形的面积为，则，由图形可知，，将、、代入，即可得． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，， ∴， ∴， 解得． 11． 【分析】根据平行四边形的性质可得，进而求得，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12． 【分析】根据勾股定理求出的长，利用平行四边形的性质得出和的长，根据作图痕迹可知是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为求解． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， 的周长为： ． 13． 【分析】直接利用平行四边形的性质得出的长，进而得出顶点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，、， ∴， ∵， ∴点C的坐标是. 14．/ 【分析】根据点、的坐标求出点的坐标，进而得到直线的解析式. 设，根据表示出点、的坐标. 根据平行四边形是中心对称图形，经过对称中心的直线平分其面积，可知直线经过线段的中点， 利用中点坐标公式表示出中点坐标，代入直线解析式求出的值，即可得到的长. 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，为的中点， 点的坐标为，即； 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 点在上，点的坐标为， 点的坐标为， 点在上， 点的坐标为， 四边形是平行四边形，且将分成面积相等的两部分， 直线经过的对称中心，即线段的中点， ∵线段的中点坐标为，即， ∴将点代入，得 ，解得； . 15． 【分析】根据平行四边形的性质求出，，根据折叠的性质求出，则，根据勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 根据折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 16．证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】证明，即可得证. 【详解】略 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 18．(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，点坐标为或或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）首先求出，，得到，设，，表示出，然后根据列方程求解即可； （3）设，，分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点的横坐标2代入直线， 得， ， ， ， 将点和点坐标代入直线，得， 解得， 直线； （2）解：∵ ∴当时， ∴ ∵ 当时， ∴ ∴， 设，， ∴ ∵ ∴ 解得或 ∴或 ∴点的坐标为或； （3）解：设，， ，， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形 ①当，为对角线时， ∴和的中点交于一点， ∴， 解得， 点； ②当，为对角线时， 同理可得，， 解得， ； ③当，为对角线时， 同理可得， 解得， ， 综上，点坐标为或或． 19．(1)， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质即可证明． （2）过作，交的延长线于，依据中，，列方程求解即可得出结论； （3）依据，可知，当最短时，最大，进而得出当时，有最大值．依据中，，求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图所示，过作，交的延长线于， 设，则， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． （3）解：如图所示，由折叠可得， ∵， ， ， ， ， ∴当最短时，最大， ∴当时，最短，有最大值， 由（2）可得与之间的距离为， ∴当时，， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，解一元二次方程，平行四边形的性质以及勾股定理的综合运用，解题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 20．(1)； (2)； (3)结论：，证明如下： 连接， 平分，， ， ， 为等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在与中 ， ， ， ． 【分析】（1）先利用平行四边形性质求出各内角，结合、推导角度，判定、为含的直角三角形，求出、，再用勾股定理求； （2）在上截取，结合用证，转化线段得到，代入边长求解； （3）连接，先由角平分线、证为等边三角形，得、，结合平行四边形与推出，通过角度等量代换证，再转化线段得到的数量关系． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）解：在上取点，使，连接 ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在与中 ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $