6.1 平行四边形的性质(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 八年级下册（北师大版） (x+1)=0。去括号，得3x-3-x-1=0。解得x=2。检验： 机器每小时分拣20x件。根据题意，得6000-6000 将=2代入(x+1)(x-1)≠0，.原分式方程的解为=2。 20x5x20x 15.解：小李的解法中，第一步是去分母，去分母 =4。解得x=60。经检验，x=60是原分式方程的解。 的依据是等式的基本性质。小李的解答过程不正确。 答：人工每人每小时分拣60件。(2)设需要安排 正确的解答过程：去分母，得受x-2)·-2) y台分拣机。根据题意，得16x20x60y≥100000。解 -2(x-2)。整理，得1-x=-1-2x+4。移项并合并，得= 得y≥票-5京y为正整数，的量小值为6 241 2。检验：当x=2时，x-2=0。原分式方程无解。 答：至少需要安排6台这样的分拣机。 3分式方程（第3课时） 10.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 1.2400-15002.B x公里，根据题意，得80-116-22。解得x=2。经检 x-9 0.5xx 3.解：设甲每分钟跳x次，那么乙每分钟跳(x- 验，x=2是原方程的解。答：一辆该型号快速换轨车 20次。根据题意，得@0想，解得180，经 每小时更换钢轨2公里。 11.解：(1)由题意，设每个A种挂件的价格为 检验，=180是所列方程的根。答：甲每分钟跳180次。 x元，则每个B种挂件的价格为号x元。根据题意， 4.解：设这批单目显微镜的单价为x元，则双目显 微镜的单价为1.5x元。由题意，得8320+6720=40。 得300-200+7。解得=25。经检验，x=25是原方程 4 1.5x 5x 解得x=320。经检验，x=320是原方程的根。1.5x= 的根。答：每个A种挂件的价格为25元。(2)由 1.5×320=480。答：这批双目显微镜的单价为480元。 题意，设该游客最多购买m个A种挂件，则购买 5.解：设B型号的“文房四宝”的单价是x元， (m+5)个B种挂件，又结合(1)知每个A种挂件的 则A型号的“文房四宝”的单价是(1+30%)x元。根 据题意，得300_43003000-20。解得=10。经 价格为25元，每个B种挂件的价格为号×25=20元。 x(1+30%)x 检验，=100是所列方程的解。∴.(1+30%)x=(1+30%)× 根据题意，得25m+20m+5)≤60。m≤9=1g。 100=130(元)。答：A型号的“文房四宝”的单价是 又7m为整数，m=11,则该游客最多购买11个A 130元，B型号的“文房四宝”的单价是100元。 种挂件。 6.解：(1)设商场第一次购进x套运动服。由题 12.解：(1)设A种帐篷的单价为x元。由题 意得68000_32000=10。解这个方程，得x=200。经 2x 意，得1800-3000 xx+400 解得=600。经检验，x=600是 检验，x=200是所列方程的根。2x+x=600（套)。答： 所列原方程的解。x+400=600+400=1000(元)。答： 该商场两次共购进这种运动服600套。(2)设每套 A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000 运动服的售价为y元。由题意，得60032000-68000 元。(2)设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷 32000+68000 ×100%≥20%。解这个不等式，得y≥200。答：每套 (20-m)顶，总费用为取元。由题意，得20-m≥号m。 售价至少是200元。 解得m≤15。又.：两种型号的帐篷均需购买，：0<m≤ 7.解：(1)由图象，可得甲车的速度为280-120 15。W=600m+1000(20-m)=-400m+20000。:-400<0, 2 .W随m的增大而减小。.当m=15时，W取最小值 =80(km/h),即甲车的速度是80km/h。(2)相遇 W小=-400x15+20000=14000。此时20-m=5。答：当 时间为00-2。由题意，可得+器-02 80+60 购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低， a 解得a=75。经检验，a=75是原分式方程的解，即a的 最低总费用为14000元。 值是75。 第六章平行四边形 8.解：(1)设这项工程的规定时间为x天。根据 1平行四边形的性质（第1课时） 题意，得+15+10-1。解得x=30。经检验， 1.142°，38°，142°2.26°3.20或284.3 2 x=30是原分式方程的解。答：这项工程的规定时间是 5.C6.B 30天。(2)设这项工程由甲、乙队合作完成，所 7.解：∠ABC=135°，∠C=45°，CD=BD=3V2。 需的时间为y天，则动01。解得)-25。 8.证明：：四边形ABCD是平行四边形，AB= CD,AB∥CD,即BE∥CD。∴.∠D=∠EAF。又AF= 该工程施工费用为22.5×(6500+3500)=225000（元）。 AB,.AF=CD.BE=AD,BE=AB+AE,AD=AF+DF. 答：该工程施工费用为225000元。 .'AE=DF。∴.△AEF≌△DFC(SAS)。 9.解：(1)设人工每人每小时分拣x件，则每台 9.解：(1)AE⊥BC于点E,.∠AEB=90°。 参考答案与提示 ∠BAE=90°-∠B。四边形ABCD是平行四边形，∴.∠C= CD的中点，：DE=CE。∠AED=∠FEC,∴.△ADE≌ ∠BAD,AD∥BC。∴.∠B+∠C=180°。∠C=4∠BAE, △FCE(ASA)。∴FC=AD=5。:.BF=BC+FC=5+5=10 ∴.∠BAD=∠C=4∠BAE=4(90°-∠B)。∴.∠B+4(90°- 1平行四边形的性质（第2课时）】 ∠B)=180°。..∠B=60°。 (2):∠AEB=90°，∠B= 1.BE,0C2.123.B4.D5.C 60°，AB=8,∠EAB=30°。BE=7AB=4。AE= 6.解：四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD, AB=CD,AD=BC。AB+AD=10cm。又OE⊥BD, VAB2-BE=V82-平=4V3。.CE=4BE,BC=BE+ .·BE=ED。·.△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+ED+AE= 4BE=5BE=20。设AB和CD之间的距离为d,:AB·d= AB+AD=10 cmo BCAE=SaAw,:.8d=20x4V3。:d=10V3。AB和 7.解：(1)如图1，过点A作AE⊥BC于点E, CD之间的距离为10V3。 过点D作DF⊥BC于点F,.∴AE∥DF,∠AEB= 10.证明：(1)四边形 ∠DFC=90°。：四边形ABCD是等腰梯形，.AD∥BC, ABCD是平行四边形，AB=CD, AB=DC。∴.∠B=∠C。.△ABE≌△DCF(AAS)。BE= AD=BC,∠ABC=∠ADC。BC= CF。AD∥BC,AE∥DF,.四边形AEFD为平行四 BF,CD=DE,.BF=AD,AB= 边形（平行四边形的定义）。∴.EF=AD=6。:BC=12, DE。.·∠ADE+∠ADC+∠EDC= .BE=CF=(BC-EF)=3。:四边形ABCD的面积等于 360P°，∠ABF+∠ABC+∠CBF= 360P,∠EDC=∠CBF,.∠ADE= 36。×AD+BC)AE=36。AE=4。在R△ABE中， ∠ABF。.△ABF≌△EDA。 由勾股定理，得CD=AB=VAE+BE=V4+3=5。 (2)如图，延长FB交AD于点 第10题答图 H。AE⊥AF,.∠EAF=90。△ABF≌△EDA, ∠EAD=∠AFB。∠EAD+∠FAH=90°，.∠FAH+ ∠AFB=90°。∴.∠AHF=90°，即FB⊥AD。:四边形 ABCD是平行四边形，AD∥BC。BF⊥BC。 11.解：(1)①如图1所示，：四边形ABCD是 平行四边形，.CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD。 ∠DEA=∠BAE。:AE平分∠DAB,∴.∠DAE=∠BAE。 ∴∠DEA=∠DAE。DE=AD=5。同理，可得BC=CF=5。 :点E与点F重合，.AB=CD=DE+CF=10.②如图2 图3 第7题答图 所示，点E与点C重合，·DE=DC=5。CF=BC=5, DC=BC,.点F与点D重合。EF=DC=5。(2)分 (2)t为3s或9s时，以点A,P,C,D为顶点 三种情况：①当点E,F在DC上，且点F在点E的右 的四边形是平行四边形。理由：①如图2，当四边形 边时，与(1)方法相同，可证AD=DE。点C,D, APCD为平行四边形时，PC=AD=6。,BP=BC-PC=6。 E,F相邻两点间的距离相等，AD=DE=EF=CF。 :点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在射 船}②当点E,F在DC上，且点E在点F的右 线BC上运动，：1=6÷2=3(s)。②如图3，当四边形 ACPD为平行四边形时，PC=AD=6。∴BP=BC+PC=18。 边时，与(1)方法相同，可证AD=DE=CF。DFFE= 点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在射 CR4n,治号。③当点E,F分别在DC,D 线BC上运动，1=18÷2=9(s)。∴.当t为3s或9s 时，以点A,P,C,D为顶点的四边形是平行四边形。 AD=2。 的延长线上时，AD=DE=CE,DF=DC=CE, 8.(1)解：AH=3,HE=1,AB=AE=4。又在 综上所述，治的值为号或号安2。 R△ABH中，BM=VAB-AF=V7,Su-AE Bm=x4xV72V7。 E(F) (P) C(E) (2)证明：如图，过点A作 AM⊥BC于点M,交BG于点 K,过点G作GN⊥BC于点N, 则∠AMB=∠AME=∠BNG=90° 图1 图2 .∵∠ACB=45°，.∴.∠MAC=∠NGC= B M EN 第11题答图 12.2或3或4或5或613.214.515.D16.C 4。ABE,BW=EM=E, 第8题答图 17.证明：：四边形ABCD是平行四边形，BC= ∠BAM=∠EAM。又.AE⊥BG,.∠AHK=9O°=∠BMK AD=5,BC∥AD,即BF∥AD。.∠D=∠FCE。E是 而∠AKH=∠BKM,·.∠MAE=∠NBG。设∠BAM=平行四边形 第六章 第分章 平行四边形 知识网络 定义：两组对边分别平行的四边形基本元素，边、角、对角线 中心对称，两条对角线的交点是它的对称中心 性质 对边平行且相等 对角相等，对角线互相平分 平行四边形 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 判定 组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边形 应用 梯形 定义：连接三角形两边中点的线段 三角形的中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 平行四边形的性质（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 在口ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连接 DF并延长，交CB的延长线于点G,求证：BG=CE。 【分析】利用平行四边形的性质证出AD∥BC,AD=BC,进而 E 例题图 ∠ADF=∠EGF,∠DAF=∠FEG,由此可证△AFD≌△EFG。再由三角形 全等的性质可证AD=GE,进而易证BG=CE。 【证明】·点F为AE的中点，AF=FE。四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC, AD=BC。.∠ADF=∠EGF,∠DAF=∠FEG。.△AFD≌△EFG(AAS)。∴AD=GE。∴.GE=BC。 ·.GE-BE=BC-BE。∴BG=CE。 【点拨】此题主要考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出GE=BC是 解题关键。 119 口数学 八年级下册（北师大版） 基础巩固飞达标闯关 1.若口ABCD的一个内角是38°，则口ABCD其他内角的度数分别为 2.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是口ABCD 的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE,∠D=1O2°，则∠BAC的大小是 3.四边形ABCD是平行四边形，AB=6,∠BAD的平分线交直线BC于点E,若CE=2, 则口ABCD的周长为 4.如图，口ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G 为DE的中点，连接CG。若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 第2题图 第4题图 第6题图 5.在口ABCD中，若∠A+∠C=200°，则∠B的度数是() A.1009 B.160° C.80° D.609 6.如图，在□ABCD中，AD=2AB,∠B=60°，CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE= 3,则EC的长为() A.4 B.3 C.2.5 D.2 7.如图，在□ABCD中，∠A=∠ADB=45°，AD=6。试求∠ABC和∠C的度数以及CD, BD的长。 第7题图 8.如图，在口ABCD中，点E在BA的延长线上，且BE=AD,点F在AD上，AF=AB。 求证：△AEF≌△DFC。 第8题图 @ 平行四边形 第六章 能力提升钟综合拓展 9.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E,∠C=4∠BAE。 (1)求∠B的度数。 (2)若CE=4BE,AB=8,求AB与CD之间的距离。 第9题图 1O.如图，在口ABCD中，分别以边BC,CD为腰作等腰三角形BCF、等腰三角形CDE, 使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE。 (1)求证：△ABF≌△EDA。 (2)延长AB与CF相交于点G。若AF⊥AE,求证：BF⊥BC。 第10题图 11.问题：如图，在□ABCD中，AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别 与直线CD交于点E,F,求EF的长。 答案：EF=2。 探究：(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变。 ①当点E与点F重合时，求AB的长； ②当点E与点C重合时，求EF的长。 (2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉，其余条件不变，当点C,D,E,F相 邻两点间的距离相等时，求AD的值。 AB 第11题图 @ 口数学 八年级下册（北师大版） 中考链接©真题演练 12.(2025·河北)平行四边形的一组邻边长分别为3,4，一条对角线长为n。若n为整 数，则n的值可以为 。(写出一个即可) 13.(2025·新疆)如图，在口ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则 BE= 第13题图 第14题图 第15题图 14.(2025·陕西)如图，在□ABCD中，AB=6,AD=8,∠B=60°。动点M,N分别在边 AB,AD上，且AM=AN,以MW为边作等边三角形MNP,使点P始终在口ABCD的内部或边 上。当△MWP的面积最大时，DN的长为 15.(2025·贵州)如图，在□ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长 为半径作弧，交BC于点E,则EC的长为() A.5 B.4 C.3 D.2 16.(2025·安徽)在如图所示的口ABCD中，E,G分别为边AD,BC D 的中点，点F,H分别在边AB,CD上移动（不与端点重合），且满足 AF=CH,则下列为定值的是() F A.四边形EFGH的周长 B.∠EFG的大小 第16题图 C.四边形EFGH的面积 D.线段FH的长 17.(2025.宜宾)如图，点E是口ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长 线于点F,AD=5。 求证：△ADE≌△FCE,并求BF的长。 D4 第17题图 @