6.2 平行四边形的判定(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级下册（北师大版） 平行四边形的判定（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 如图，口ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延 长线交于点E,F。 求证：四边形AECF是平行四边形。 【分析】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种方 法应分析题目中给的是哪一方面的条件，本题所给的条件为 0 四边形ABCD是平行四边形，可证OF=OE,OA=OC,根据条 件在图形中的位置，可利用“对角线互相平分的四边形是平 例题图 行四边形”来判定。 【证明】四边形ABCD是平行四边形，∴.OD=OB,OA=OC,AB∥CD。 .∴AE∥FC。∴.∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EB0。 ∴.△FD0≌△EB0(AAS)。∴.OF=OE。 又OA=OC,∴.四边形AECF是平行四边形。 【点拨】平行四边形的判定方法有多种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同 时要根据条件合理、灵活地选择判定方法。 基础巩固飞U达标闯关 L.在四边形ABCD中，AD∥BC,要使四边形ABCD是平行四边形，则还需满足的条件 是 (不添加任何辅助线)。 2.能够判断一个四边形是平行四边形的条件是() A.一组对角线相等 B.两条对角线互相平分 C.两条对角线互相垂直 D.一对邻角的和为180° 3.如图，AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别为OC,OD的中点，连接 AE,AF,BE,BF。求证：四边形AEBF是平行四边形。 第3题图 @ 平行四边形 第六章 能力提升钟综合拓展 4.如图，口ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E,G分别是OA,OC的中点， 过点O任作一条直线交AD于点H,交BC于点F.猜想EF与HG的关系，并证明你的猜想。 第4题图 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上，满足 EAO=∠DCO. (1)求证：四边形AECD是平行四边形。 (2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积。 第5题图 中考链接©真题演练 一下多与 6.(2023.杭州)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD 上，且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA。 (1)求证：四边形AECF是平行四边形。 (2)若△ABE的面积等于2，求△CF0的面积。 第6题图参考答案与提示 2平行四边形的判定（第2课时） O,A0=C0。E,F,H,G分别是AB,BC,AD, 1.AD=BC或AB∥DC或∠BAD+∠ADC=180°或 CD的中点，∴AE=BE,BF=CF,AH=DH,CG=DG。∴点 ∠BAD=∠BCD M,N在BDL。:S△im=SN,S4 FSACOD,.S△orS△4o= 2.B SAB-SAN。:∵.S△iDN=S△DCO同理，可证S△C=S△NCO 3.证明：AC∥DB,∠D=∠C。又A0=B0, :Sam=Saa=SAw=了Sar。又AC是平行四边形 ∠A0C=∠B0D,.△AOC≌△B0D。.OC=OD。E,F 分别是0C,0D的中点，0E=号0C,0F=号0D, AMCN和平行四边形ABCD的对角线，SDAMCN=4, 5-cw-2,Som-35m-6.SoM-26w-12, .OE=OF。又AO=BO,.四边形AEBF是平行四边形。 H 4.解：EF∥HG,EFHG。证明：连接HE,GF。: 四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,AD∥BC。 ∠DAO=∠BC0,∠AH0=∠CF0。∴.△AHO≌△CF0。 .0H=0F。又E,G分别是0A,0C的中点，.0E-0G F ∴.四边形EFGH是平行四边形。∴EF∥HG,EF=HG。 第7题答图 5.(1)证明：在△AOE和△C0D中，：∠EA0= ∠DC0,A0=C0,∠AOE=∠C0D,.△AOE≌△C0D 3三角形的中位线 (ASA)。OD=OE。又AO=C0,.四边形AECD是 1.62.103.144°4.B5.A 平行四边形。(2)解：AB=BC,AO=C0,.0B1 6.证明：D,E分别为AC,AB的中点，DE为 AC,即DB⊥AC。AC=8,C0=)AC=4。在R△C0D △ABC的中位线。DE∥BC,即DE∥CF。又，∠ACB= 90°，∴.∠ADE=∠ACB=90°。：ED⊥AD。又AD=CD, 中，由勾股定理，得0D=VCD-C0=V5-4=3。 AE=CE。.∠A=∠ACE。又.∠CDF=∠A,..∠CDF= 0E-0D-3。7AC~D0+7AC~E0-2x× ∠ACE。∴.DF∥CE。又DE∥CF,.四边形DECF为 平行四边形。 8×3=24。 7.证明：CD平分∠ACB,.∠ACD=∠BCD。 6.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .EF∥BC,.∠FEC=∠BCD。.∴.∠ACD=∠FEC。.∴EF= AO=C0,B0=D0。BE=DF,E0=FO。.四边形 CF。.AE⊥CD,.∠AEC=90°。.∠EAC+∠ACD=90° AECF是平行四边形。(2)解：BE=EF,S△= ∠AEF+∠FEC=90°。∴.∠EAC=∠AEF。·AF=EF。 S△B=2。四边形AECF是平行四边形，SA4=SAB= AF=CF。F是AC的中点。G是BC的中点，.GF 2。E0=F0。∴.△CF0的面积等于1。 2平行四边形的判定（第3课时） 是△ABC的中位线。FGAB。 1.答案不唯一，如AB=BF2.(1)15 (2)15 8.证明：如图，连接BD,交AC于点O。E是 3.B4.C AB的中点，G,H是AC的三等分点，.G是AH的中 5.图2结论：PD+PE+PF=AB 点。EG是△ABH的中位线。∴.EG∥BH,即GD∥ 证明：如图，过点P作MW∥BC分 BH。同理HD∥BG,∴.四边形BHDG是平行四边形。 别交AB,AC于M,N两点。 .0B=0D,OG=0H。又AG=HC,∴.OA=0C。∴.四边 PE∥AC,PF∥AB,∴.四边形AEPF 形ABCD是平行四边形， 是平行四边形，∠EPM=∠ANM, G AE=PF。MN∥BC,PF∥AB, 四边形BDPM是平行四边形。 第5题答图 ∠EPM=∠ANM=∠C,∠EMP=∠B。AB=AC,.∠B= ∠C。∴.∠EMP=∠EPM。.∴PE=EM。PE+PF=AE+EM= AM。四边形BDPM是平行四边形，MB=PD。PD+ PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB。图3结论： 第8题答图 第9题答图 PE+PF-PD=AB。 6.C 9.证明：(1)DA平分∠BAC,.∠BAD= 7.(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∠CAD。AD∥EM,∴.∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE AD∥BC,AD=BC。E,F,G,H分别是平行四边 .∠AEF=∠AFE。AE=AF。(2)如图，延长BE至 形ABCD各边的中点，AH∥CF,AH=CF。.四边形 点G,使EG=BE,连接GC。BM=CM,EM∥CG。 AFCH是平行四边形。AM∥CN。同理可证，四边形 ∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE。∠AEF=∠AFE,.∠G AECG是平行四边形。∴AN∥CM。∴四边形AMCN是 平行四边形。(2)解：如图，连接AC,BD交于点 ∠ACc。AG=AC。BE=BG=(BMMG)=MB+ 2