6.3 三角形的中位线 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形中位线定理的系统应用，通过基础计算、综合证明及动态问题构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-3、填空11-14|直接应用中位线定理（平行且等于第三边一半）|从“中点连线”概念到性质推导，解决线段长度计算| |综合应用|单选4-6、解答16-18|构造中位线（连对角线）、结合平行四边形性质|中位线与四边形、梯形结合，强化知识迁移| |动态与创新|单选7、9-10、填空15、解答19-20|中位线转化动点轨迹、折叠问题中的线段关系|从静态到动态，培养空间观念与推理意识|

6.3 三角形的中位线 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点．若，则B，C两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，为了测量一块不规则绿地B、C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出、的中点分别为点D、E，若测量出D、E两点间的距离是，则绿地B、C两点间的距离是（     ）． A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，连接，、分别为、的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图，在中，，分别是上的动点，连接，E，F分别为的中点，则的最小值是（     ） A．2 B．1 C． D． 8．如图，每个小正方形的边长均为1，四边形为平行四边形，它的两条边、分别交网格格线于点M、N，点A、B、G都为网格格点，点C、D在网格格线上，线段交网格格线于点E，若点F为线段的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，线段，点是线段上的动点，分别以为边在作等边、等边，连接，点是的中点，当点从点A运动到点时，点经过的路径的长是（    ）    A．3 B．2.8 C．2.5 D．2 二、填空题 11．如图，为等腰三角形，，点M，N分别为中点，点D、E在边上，且，连接，则图中阴影部分的面积为________________． 12．如图，平行四边形中，、分别是边、的中点，、分别是边、上的动点，如果，那么________． 13．如图，点、、、分别是四边形四条边上的中点，，，则四边形的周长是________． 14．如图，梯形中，，，点，分别是，的中点，若，，则线段的长是______． 15．在矩形中，，．将矩形沿折叠，使得点落在边的处，点落在点处，点是的中点，连接交于点，连接，则的最小值是_______． 三、解答题 16．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 17．如图，在中，对角线，相交于点O，，平分，交于点E，连接． (1)当时，求证：是等边三角形； (2)若，求的周长． 18．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，，点，分别为，的中点，连接并延长与的外角的平分线交于点，连接． (1)若，求直线的函数解析式和点的坐标； (2)是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在中，，，是边上的中线，点是直线上一点，连接，在右侧作等腰，，． (1)如图1，点在线段上，与相交于点，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在线段的延长线上，点是边上的中点，连接交的延长线于点，连接，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点在线段上，点在线段上，且，连接，，当取得最小值时，若，请直接写出四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C A B C D C A 1．D 【分析】根据三角形中位线定理计算即可解题． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴． 2．B 【详解】解：如图，连接， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．C 【分析】根据题意可知、分别为、的中点，利用三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 为的中位线， ， ， ． 4．C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 5．A 【分析】连接，根据线段中点的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 为线段的中点，， ， ，， ， ，分别为，的中点， ． 6．B 【分析】根据三角形中位线的性质求出，，，然后利用周长公式求解． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴的周长为． 7．C 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，当时，最小，即最小，利用平行四边形性质和勾股定理求出的最小值即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 要使最小，则需最小， ∵G是上的动点，A是定点， ∴当时，最小， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的最小值． 8．D 【分析】过点作于，延长交于，证明，进而证明点是的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，推出点是的中点，则是的中位线，可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于，延长交于， 由题意知， ∴，， ∵相邻两条格线间的距离相等， ， ， ， ， 点是的中点； 如图所示，连接，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 根据网格特点可得， 四边形是平行四边形， 点是的中点， ∴点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ． 9．C 【分析】图中，连接，延长交于；由题意易知：，，是的中位线，，则可求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图中，连接，延长交于．    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， ，， 由折叠知：G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ，，， ∴， ，， 是的中位线， ； 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考选择题中的压轴题． 10．A 【分析】分别延长交于点H，易证四边形为平行四边形，得出G为中点，则G的运行轨迹为三角形的中位线．最后运用中位线的性质求出的长度即可解答． 【详解】解：如图：分别延长交于点H，则是等边三角形， ∴, ∵等边、等边， ∴ ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分．M为的中点， ∴M也正好为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点， ∴M的运行轨迹为三角形的中位线． ∴． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线，发现点M移动的规律，判断出其运动轨迹是解答本题的关键． 11．6 【分析】过点作，勾股定理求出的长，根据三角形的中位线定理，求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵点M，N分别为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 观察可知，阴影部分的面积等同于底边为，高为的三角形的面积， ∴阴影部分的面积． 12． 【分析】连接交于点O，连接，根据三角形中位线的性质得出经过点O，且，确定四边形为平行四边形，，过点A作交于点N，利用平行四边形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接交于点O，连接， ∵平行四边形中，、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴经过点O，且， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 过点A作交于点N，交于点， ∵， ∴， ∴． 13． 【分析】根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，分别求出四边形各边的长，进而求得周长即可． 【详解】点、、、分别是四边形四条边上的中点， ，分别是，的中位线，，分别是，的中位线， ，，，， ， 即四边形的周长是． 14． 【分析】连接，根据直角梯形性质及勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点，分别是，的中点， ． 15． 【分析】先根据三角形中位线性质得，进而得，再由轴对称的性质，对应线段相等得，得，通过找对称点构造直角三角形计算最小值，进而计算的最小值即可． 【详解】解：连接， 由折叠得，垂直平分，点为的中点， 在中，点为的中点，点是的中点， ， ， 由折叠得，点与点关于对称，点与点关于对称， 由轴对称的性质得，， ， 如图，作点关于直线的对称点，连接，则 ∴， ∴最小为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为：． 16．见解析 【分析】由中位线的性质可得，由平行四边形的性质可得，命题得证． 【详解】证明：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 17．(1)证明：在中，，，， ， 平分， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， 是等边三角形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，，再根据角平分线的定义和平行线的性质，证，最后根据等边三角形的判定，即可求证； （2）根据（1）可知，再根据题意，可得点是的中点，从而得是的中位线，最后根据中位线的性质，可得，，从而求出周长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 根据（1）可知， ， ， 点是的中点， 的对角线，相交于点O， 是的中点， 是的中位线， ， ，， ， 的周长为． 18．(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 19．(1)， (2)存在点，使得四边形为平行四边形 【分析】（1）设直线的函数解析式为，代入两点坐标即可，由中位线定理可得的长度即点的横坐标，代入直线的函数解析式可得点的坐标； （2）当四边形为平行四边形时，有，，再由角平分线得，在中，根据勾股定理列方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设直线的函数解析式为， 由题意，得 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵点分别为的中点， ， 当时，解得， ； （2）解：设点在的延长线上，如图， 当四边形为平行四边形时，， 平分， ， ∵点分别为的中点， ， ， ， ， 在中，由，得， 解得，即． 20．(1)； (2)解：，理由如下： 作交的延长线于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴是的中位线， ∴； (3) 【分析】（1）利用等边对等角结合三角形的外角性质求解即可； （2）作交的延长线于点，证明，求得，再证明，求得，得到是的中位线，据此求解即可； （3）作，使，连接，，证明，求得，当共线时，取得最小值，即取得最小值，证明是等腰直角三角形，求得，设，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：略 （3）解：作，使，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，即取得最小值， 如图，记交于点， ∵，又， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $