精品解析：安徽省合肥市五十中学东校2025--2026学年第二学期八年级期末考试数学试卷

2025-2026学年八年级第二学期期末考试 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. ，2， C. 1，，2 D. 7，24，25 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 5. 若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A. B. C. 1 D. 4 6. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为13 7. 长鑫存储作为国内存储芯片的龙头企业，近几年营收实现了高速增长．已知2023年公司营收为亿元，到2025年营收达到亿元．设这两年间的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为（ ） A. 16 B. 12 C. 18 D. 14 9. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使二次根式有意义的实数x的取值范围是_______． 12. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 13. 如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为__________． 14. 在矩形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最大值为_______；的最小值为_______． 三、解答题（本大题4小题，每小题8分，满分32分） 15. 解方程： 16. 计算： 17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中作出的菱形面积是 ． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 四、解答题（本大题2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若的面积为，求菱形的面积． 五、解答题（本大题2小题，每小题12分，满分24分） 21. 某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 （1）根据甲组数据，求a，m，b． （2）在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． （3）根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 22. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额-收购总成本-冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 六、（本题满分14分） 23. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： （1）【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； （2）【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级第二学期期末考试 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A，的被开方数6不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合定义，是最简二次根式，选项A正确； 选项B ，的被开方数含有分母，不符合定义，不是最简二次根式，选项B错误； 选项C ，，它的被开方数含有能开得尽方的因数，化简后为，不符合定义，不是最简二次根式，选项C错误； 选项D ，，它的被开方数含有分母，不符合定义，不是最简二次根式，选项D错误． 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. ，2， C. 1，，2 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两较小数平方和等于最大数平方的三个正整数，据此逐一判断即可． 【详解】解：首先，勾股数要求三个数均为正整数，选项B中含有小数，选项C中含有无理数，因此B，C不符合题意； 对选项A：∵ ，，，∴ A不是勾股数． 对选项D：∵ ，，∴ ，且7，24，25均为正整数，∴ D是勾股数． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式合并法则、二次根式乘法法则、带分数开方的运算方法逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，，∴A错误； B选项：，∴B错误； C选项：∵，∴C正确； D选项：，∴，而，，∴D错误． 4. 已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，边形内角和公式为，根据题目给出的倍数关系列方程即可求解． 【详解】解：设该多边形的边数为， ∵该多边形内角和等于外角和的2倍，多边形外角和为，内角和为， ∴列方程得： 解得． 5. 若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用方程根的定义求解，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得：， 化简得， 解得． 6. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为13 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线图读取每天校外锻炼的时间数据，分别计算平均数、众数、中位数和方差，然后与各选项进行对比判断即可． 【详解】解：由折线图可知，小亮该周每天校外锻炼时间为： ， 平均数为 （分钟），故A选项错误；  在这组数据中，67出现了2次，出现的次数最多 ， 众数为67分钟，故B选项正确 ； 将这组数据由小到大排列为： ， 中位数为70分钟，故C选项错误； 方差 ，故D选项错误 ． 7. 长鑫存储作为国内存储芯片的龙头企业，近几年营收实现了高速增长．已知2023年公司营收为亿元，到2025年营收达到亿元．设这两年间的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解题思路是根据年平均增长率依次推导得到2025年营收的表达式，进而得到正确方程． 【详解】解：∵已知2023年营收为亿元，年平均增长率为， ∴2024年营收为亿元， ∴2025年营收为亿元 又∵2025年营收为亿元 ∴可列方程． 8. 如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为（ ） A. 16 B. 12 C. 18 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ． 9. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、根的判别式、根与系数的关系，逐一判断每个说法的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：①将代入方程，得左边， 因此是方程的根，方程一定有解，故①正确； ②是方程的一个根，代入得， 提取公因式得， 当时，不一定等于，故②错误； ③是的两根，且，对两边同除以，得， 同理也满足该等式， 因此是方程的根，故③正确； ④， ， 判别式， ， ，又， 因此，方程必有两个不相等的实数根，故④正确； ⑤， ，得或， ， 异号，因此，可得， 方程化为，判别式， 异号，， ，方程有两个实数根，两根之和为， 因此两实数根互为相反数，故⑤正确； 综上，正确的结论共个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使二次根式有意义的实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：二次根式 有意义， ， 解得． 12. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13. 如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为__________． 【答案】（0，） 【解析】 【详解】解：过D作DE⊥AC于E， ∵四边形ABCO是矩形，B（4，3）， ∴OC=AB=3，OA=BC=4，∠COA=90°， ∵AD平分∠OAC， ∴OD=DE， 由勾股定理得：OA2=AD2﹣OD2，AE2=AD2﹣DE2， ∴OA=AE=4， 由勾股定理得：AC=5， 在Rt△DEC中，DE2+EC2=CD2， 即OD2+（5﹣4）2=（3﹣OD）2， 解得：OD=， 所以D的坐标为（0，）． 考点：矩形的性质；坐标与图形性质． 14. 在矩形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最大值为_______；的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过坐标法设点，推导得到动点的轨迹为固定线段，利用三角形两边之差小于第三边的性质，可得，长度等于，即得到的最大值；延长，使得，连接，作点关于的对称点，交于点，连接，过点作，然后利用将军饮马问题，计算得到的最小值即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 根据三角形两边之差小于第三边可得，在中，， ，即的最大值为； 延长，使得，连接，作点关于的对称点，交于点，连接，过点作，如图所示： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：的最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理可得， ∵， ∴， 由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得 ∴的最小值为，即为的最小值． 三、解答题（本大题4小题，每小题8分，满分32分） 15. 解方程： 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：  ， 或， 解得：， ． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中作出的菱形面积是 ． 【答案】（1）见详解；（2）20 【解析】 【分析】（1）构造边长为5的菱形即可； （2）根据菱形的面积＝底×高计算即可． 【详解】解：（1）如图所示菱形ABCD即为所求， ； （2）S菱形ABCD＝5×4＝20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）先根据平行四边形的性质得，再通过勾股定理可得，得到，进而根据勾股定理，求出，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若的面积为，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵菱形的对角线，相交于点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形为矩形； （2）根据矩形的性质得出，根据的面积为得出，根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形为矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴菱形的面积为． 五、解答题（本大题2小题，每小题12分，满分24分） 21. 某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 （1）根据甲组数据，求a，m，b． （2）在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． （3）根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】（1），， （2）；或93， （3）甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【解析】 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【小问1详解】 解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； 【小问2详解】 解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； 【小问3详解】 解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 22. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额-收购总成本-冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【答案】（1）符合要求 （2）在第10天出售 【解析】 【分析】（1）由中间部分种植面积是，列出一元二次方程，求解方程得的值，再进行取值即可； （2）设草莓存放了天，根据利润=总销售额一收购成本-冷库费用，且利润为800元列一元二次方程并求解即可. 【小问1详解】 解：当中间部分种植面积是时，则有： 整理得：， 解得，，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 答：小路的宽为3米符合要求； 【小问2详解】 解：设草莓存放了天，根据题意得： ， 整理得： 解得，（超出最大保存期限，舍去） 答：在第10天出售． 六、（本题满分14分） 23. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： （1）【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； （2）【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 【答案】（1）30 （2）①，；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； （2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解 【小问1详解】 解：， ， ， 如图，取的中点O，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：30； 【小问2详解】 ①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ， ， ，， 同法（1）可得：， ， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， ， ， 故答案为：15，； ②，理由如下： ，， ， ； 【小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，， ， ， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ； 当点Q在点F的上方时，如图， ，， ， 由（2）可知，， 设， 即， 解得：， ， 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $