第一周 第1天 集合的概念 暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 第1天 集合的概念 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题.(重点) 2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.(重点) 3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(重难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 元素与集合 问题1　下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根. 问题2　问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？ 知识梳理 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为 .元素通常用 拉丁字母a，b，c，…表示. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做 (简称为 ).集合通常用 拉丁字母A，B，C，…表示. 3.集合中元素的特征： ， ， . 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两个集合是相等的. 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关. 例1　(1)下列说法中正确的是(　　) A.与定点A，B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 (2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为　　　　　　. 延伸探究　在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4，且集合A=B”，则a=　　　　　. (1)判断元素是否能够构成集合，主要是看集合中的元素是否满足确定性、互异性、无序性. (2)若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，但是要注意其中的元素顺序不一定对应. 反思 归纳 知识点2 元素与集合之间的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写. (2)0属于自然数集. 例2　(1)(多选)下列所给关系正确的是(　　) A.π∈R B.∉Q C.0∈N* D.|-5|∉N* (2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1，若-3∈A，则实数a=　　　　. 判断元素和集合关系的方法 (1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 反思 归纳 知识点3 集合的表示 角度1　列举法表示集合 问题3　用A表示“地球上的四大洋”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？请把集合A中的所有元素逐一列举出来. 知识梳理 列举法——把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做 . 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可，不必考虑元素间的顺序. (3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. (4)这里，集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 例3　(课本例1)用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合. 例4　用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C； (4)方程组的解组成的集合D. 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来. 反思 归纳 角度2　描述法表示集合 问题4　不等式x-7<3的解集能用列举法表示吗？为什么？ 问题5　阅读课本，请仿照上面的例子表示出偶数集. 知识梳理 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为 . 注意点： (1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性. (2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. (3)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}是错误的. 例5　(课本例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 例6　用描述法表示下列集合： (1)不等式2x-3<1的解集组成的集合A； (2)B={2，4，6，8，10}； (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C. (4)方程+|x-2y-4|=0的解集. 用描述法表示集合的三个步骤 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示. (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围. (3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件. 反思 归纳 跟踪训练　选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D. 自学小结 集合的概念 1.知识清单： (1)元素与集合的概念. (2)元素与集合的关系. (3)常用数集的记法. (4)集合表示方法：列举法和描述法. 2.方法归纳：直接法、推理法、分类讨论. 3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素；集合中忽略对互异性的判断；列举法与描述法的乱用. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A.接近于1的所有正整数 B.小于0的实数 C.(2 025，1)与(1，2 025) D.未来世界的高科技产品 2.由大于-3且小于11的奇数所组成的集合是(　　) A.{x|-3<x<11，x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11，x=2k+1} D.{x|-3<x<11，x=2k+1，k∈Z} 3.用列举法表示集合D={(x，y)|y=-x2+8，x∈N，y∈N}为　　　　　　　　　　. 4.若由a1组成的集合A与由a2，a+b，0组成的集合B相等，则a2 026+b2 026的值为　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 第1天 集合的概念 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题.(重点) 2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.(重点) 3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(重难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 元素与集合 问题1　下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根. 提示　以上例子描述的内容都是某种研究对象的总体组成的，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中的事物或人等. 问题2　问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？ 提示　都能构成集合.(1)中的元素是：2，4，6，8，10；(2)中的元素是：立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)中的元素是：正方形；(4)中的元素是：到直线l的距离等于定长d的点；(5)中的元素是：1，2. 知识梳理 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 3.集合中元素的特征：确定的，互异性，无序的. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关. 例1　(1)下列说法中正确的是(　　) A.与定点A，B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 答案　C 解析　A不正确，与定点A，B等距离的点在线段AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由“title”中的字母构成的集合中的元素为t，i，l，e，共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合. (2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为　　　　　　. 答案　a≠±1 解析　由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1. 延伸探究　在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4，且集合A=B”，则a=　　　　　. 答案　±2 解析　由题意得a2=4，a=±2，符合题意. (1)判断元素是否能够构成集合，主要是看集合中的元素是否满足确定性、互异性、无序性. (2)若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，但是要注意其中的元素顺序不一定对应. 反思 归纳 知识点2 元素与集合之间的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写. (2)0属于自然数集. 例2　(1)(多选)下列所给关系正确的是(　　) A.π∈R B.∉Q C.0∈N* D.|-5|∉N* 答案　AB 解析　对于选项A，π是实数，所以π∈R正确；对于选项B是无理数，所以∉Q正确；对于选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误；对于选项D，|-5|=5为正整数，所以|-5|∉N*错误. (2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1，若-3∈A，则实数a=　　　　. 答案　0或-1 解析　因为-3∈A， 所以解得a=0或a=-1. 判断元素和集合关系的方法 (1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 反思 归纳 知识点3 集合的表示 角度1　列举法表示集合 问题3　用A表示“地球上的四大洋”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？请把集合A中的所有元素逐一列举出来. 提示　这是用自然语言表示的集合；太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋. 知识梳理 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可，不必考虑元素间的顺序. (3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. (4)这里，集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 例3　(课本例1)用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合. 解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}. 例4　用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C； (4)方程组的解组成的集合D. 解　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A={0，2，4，6，8，10}. (2)小于8的质数有2，3，5，7， 所以B={2，3，5，7}. (3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1所以C=. (4) 解方程组所以D={(3，2)}. 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来. 反思 归纳 角度2　描述法表示集合 问题4　不等式x-7<3的解集能用列举法表示吗？为什么？ 提示　不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}. 问题5　阅读课本，请仿照上面的例子表示出偶数集. 提示　{x∈Z|x=2k，k∈Z}. 知识梳理 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性. (2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. (3)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}是错误的. 例5　(课本例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解　(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2-2=0.因此，用描述法表示为 A={x∈R|x2-2=0}. 方程x2-2=0有两个实数根}. (2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为 B={x∈Z|10<x<20}. 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为 B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}. 例6　用描述法表示下列集合： (1)不等式2x-3<1的解集组成的集合A； (2)B={2，4，6，8，10}； (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C. (4)方程+|x-2y-4|=0的解集. 解　(1)不等式2x-3<1的解集组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设x∈A，则x满足2x-3<1，则A={x|2x-3<1}， 即A={x|x<2}. (2)设x∈B，则x=2n，n∈Z，且2≤x≤10， 所以x=2n，n≤5，n∈N*. 所以B={x|x=2n，n≤5，n∈N*}. (3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为C={(x，y)|x<0，y>0}. (4)由题意可得，2x+y-3和x-2y-4需同时为0. 解集用描述法可以表示为 解集用列举法可以表示为(2，-1). 用描述法表示集合的三个步骤 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示. (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围. (3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件. 反思 归纳 跟踪训练　选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D. 解　(1)列举法A={0，1，2，3，4，5，6，7}， 描述法A={x∈N|x<8}. (2)描述法B={x|x=n2，n∈N}. (3)列举法C={(2，1)}， 描述法C=. (4)描述法D={(x，y)|y=x2+2x-10}. 自学小结 集合的概念 1.知识清单： (1)元素与集合的概念. (2)元素与集合的关系. (3)常用数集的记法. (4)集合表示方法：列举法和描述法. 2.方法归纳：直接法、推理法、分类讨论. 3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素；集合中忽略对互异性的判断；列举法与描述法的乱用. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A.接近于1的所有正整数 B.小于0的实数 C.(2 025，1)与(1，2 025) D.未来世界的高科技产品 答案　BC 解析　A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 025，1)与(1，2 025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品标准不明确，不能构成一个集合. 2.由大于-3且小于11的奇数所组成的集合是(　　) A.{x|-3<x<11，x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11，x=2k+1} D.{x|-3<x<11，x=2k+1，k∈Z} 答案　D 解析　由题意可知，满足题设条件的只有D. 3.用列举法表示集合D={(x，y)|y=-x2+8，x∈N，y∈N}为　　　　　　　　　　. 答案　{(0，8)，(1，7)，(2，4)} 4.若由a1组成的集合A与由a2，a+b，0组成的集合B相等，则a2 026+b2 026的值为　　　　. 答案　1 解析　由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0， 所以=0，所以b=0， 所以a2=1，即a=±1， 又当a=1时，集合A，B均不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以a=-1. 所以a2 026+b2 026=1. 学科网（北京）股份有限公司 $